《随机样本和统计量.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机样本和统计量.pptx（59页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 也就是说,我们获得的只是局部观察资料.因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次观察，但客观上只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验，被研究的随机现象的规律性一定能清楚地呈现出来.数理统计就是在概率论的基础上研究怎样以有效的方式收集、整理和分析可获的有限的,带有随机性的数据资料,由于大量随机现象必然呈现出它的规律性.对所考察问题的统计性规律尽可能地作出精确而可靠的推断或预测，为采取一定的决策和行动提供依据和建议.第1页/共59页2这部分内容的重点在于介绍数理统计的一些重要概念和典型的统计方法，它们是实际中最常用的知识.学习统计无须把过多时间化在计算上,应更有效地把时间用在基本概念、方法
2、原理的正确理解上.在数理统计中，不是对所研究的对象全体(称为总体)进行观察，而是抽取其中的部分(称为样本)进行观察获得数据（抽样），并通过这些数据对总体进行推断.数理统计方法具有“部分推断整体”的特征.第2页/共59页总体中的每个元素例如:某工厂生产的灯泡寿命是一个总体,每个灯泡的寿命是一个个体;某学校男生的身高的全体是一个总体,每个男生的身高是一个个体一、总体、个体、随机样本总体 研究对象全体元素组成的集合 所研究的对象的某个(或某些)数量指标 的全体,它是一个随机变量.记为X X.X X 的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征.个体:6.1 6.1 随机样本和统计量第3页/共59
3、页从总体中抽取一部分个体来进行观察或试验,称为抽样;被抽出的部分个体称为总体的一个样本抽取样本的目的在于对总体的统计规律进行推断或估计,故要求所抽取的样本能很好的反映总体的特性.最常用的是简单随机样本。总体容量有限的称为有限总体,称总体中所含个体的数目为总体容量,总体容量无限的称为无限总体.第4页/共59页定义:设X1,X2,.,Xn为来自总体X的样本,如果X1,X2,.,Xn相互独立,且每一个都是与总体X有相同分布的随机变量,则称X1,X2,.,Xn为总体X的容量为n的简单随机样本,简称为随机样本或样本,其观察值x1,x2,.,xn称为样本值.第5页/共59页6 它要求抽取的样本X1,X2,
4、Xn 满足下面两点:2.代表性：Xi(i=1,2,n)与所考察的总体X 同分布.1.独立性：X1,X2,Xn 是相互独立的随机变量;今后,说到“X1,Xn 是取自某总体的样本”时,若不特别说明,就指简单随机样本.简单随机样本是应用中最常见的情形,第6页/共59页由定义知,若X1,X2,.,Xn为X的一个样本,X的分布函数为F(x),则X1,X2,.,Xn的联合分布函数为:若X的概率密度为f(x),则X1,X2,.,Xn的联合概率密度为:第7页/共59页8求样本(X1,X2,X3)的 概率分布.例1 设总体 X B(1,p),),即 P(X=x)=p x(1-(1-p)1-1-x,X=0,1.设
5、X1,X2,X3为X 的一个样本,解x i=0,1;i=1,2,3.(X1,X2,X3)的分布列 P(X1=x1,X2=x2,X3=x3)又 x1+x2+x3=0,1,2,3,P(X1=x1,X2=x2,X3=x3)k=0,1,2,3.第8页/共59页9例2解第9页/共59页10第10页/共59页11二、频率直方图 这是一种根据样本观察值来近似地求总体的概率密度的图解法.设总体X是一个连续型随机变量，样本观察值x1,x2,xn,找个区间包括这些观察值，再把区间分成若干部分.第11页/共59页12三、经验分布函数第12页/共59页13第13页/共59页例如,估计一个物体的重量,重复n次称重,其结
6、果依次记为X1,X2,.,Xn通常用样本的算术平均值,或其它某个由样本计算出来的且看上去合理的量来估计重量在获得了样本之后,下一步对样本进行统计分析,即对样本进行加工、整理,从中提取有用信息.一个有效的方法就是构造一些样本的函数,通过样本函数把样本中所含的(某一方面)的信息集中起来.四、统计量第14页/共59页定义:设X1,X2,.,Xn是总体X的一个样本,随机变量g(X1,X2,.,Xn)是X1,X2,.,Xn的一个连续函数,且g中不包含任何未知参数,则称g(X1,X2,.,Xn)为一个统计量统计量是样本的函数,它是一个随机变量,统计量的分布称为抽样分布设(x1,x2,.,xn)是样本(X1
7、,X2,.,Xn)的样本值,则称g(x1,x2,.,xn)是g(X1,X2,.,Xn)的一个观察值.这种不含任何未知参数、完全由样本决定的量称为统计量第15页/共59页16例例 是未知参数,若 ,已知,则为统计量是一样本,是统计量,其中则但不是统计量.第16页/共59页C例3设总体XB(2,p),其中p为未知参数,(X1,X2,X3)是取自总体X的样本,则_不是统计量(A)X1+X2(B)maxX1,X2,X3(C)X3+2p(D)(X2 X1)2第17页/共59页设X1,X2,.,Xn是总体X的一个样本,样本平均值:样本方差:样本标准差:常用统计量:第18页/共59页样本k阶(原点)矩:(k
8、=1,2,)样本k阶中心矩:(k=1,2,)例如第19页/共59页样本平均值:样本方差:样本k阶中心矩:样本k阶(原点)矩:(k=1,2,)它们的观察值分别为:第20页/共59页由样本平均值和样本方差的表达式可得:第21页/共59页22注注 样本方差样本方差 与样本二阶中心矩与样本二阶中心矩 的不同的不同故推导推导关系式关系式1）第22页/共59页23例例4 4 从一批机器零件毛坯中随机地抽取10件,测得其重量为(单位:公斤):210,243,185,240,215,228,196,235,200,199求这组样本值的均值、方差、二阶原点矩与二阶中心矩.解解令第23页/共59页24则则第24页
9、/共59页25例例5 5 在总体 中,随机抽取一个容量为36的样本,求样本均值 落在50.8到53.8之间的概率.解解故第25页/共59页261.标准正态分布2.2分布3.t分布4.F分布6.26.2 数理统计中常用的分布 正态总体是最常见的总体正态总体是最常见的总体,本节介绍本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言的几个抽样分布均对正态总体而言.第26页/共59页27设XN(0,1),对任给的,0 z0.05=1 0.05=0.95PX1.64=0.9495PX1.65=0.9505z0.05(1.64+1.65)/2=1.645公式:(z)=1 常用数字第28页/共59页29设Xi N(0,
10、1)(i=1,2,.,n),且它们相互独立,则称随机变量2 2分布定义:服从自由度为n的 2分布,记为 2 2(n)2分布最常用的是拟合优度检验第29页/共59页30一般其中，在x 0时收敛，称为函数，具有性质的密度函数为自由度为 n 的第30页/共59页3110设Y1 2(m),Y2 2(n),且Y1,Y2相互独立，2 分布的基本性质则 2分布的可加性Y1+Y2=?20若Y 2(n),则 =n,=2n.EY DY =1=330设X1,Xn相互独立,且都服从正态分布N(,2),),40若Y 2分布,近似服从N(0,1).应用中心极限定理可得则则当n 充分大时,第31页/共59页32o 2(n)
11、x f(x)设 2 2(n),其密度函数为f(x),对于给定的正数 (0 1),称满足条件的点 2(n)为 2(n)分布的上 分位点 2分布的上 分位点:当n充分大时,第32页/共59页33例2(练习九.五)设XN(,2),(X1,X2,.,X16)是取自总体X的样本,求概率:解:X1,X2,.,X16相互独立且第33页/共59页34 0.95 0.01=0.94第34页/共59页36设XN(0,1),Y 2(n),且X与Y相互独立,则称随机变量3 t分布定义:服从自由度为n的t分布,记为Tt(n)T 的密度函数为：第36页/共59页37o tf(t)t分布的上 分位点:设Tt(n),其密度函
12、数为f(t),对于给定的正数 (0 45时,t(n)z 第38页/共59页39且XN(2 ,1),),Y i N(0 ,4),),i=1,2,3,4,设 X,Y1,Y2,Y3,Y4相互独立,例4令解 X-2N(0,1),i=1,2,3,4.t(4),即 Z 服从自由度为4的t 分布.求Z 的分布.由t分布的定义Y i/2N(0 ,1),),第39页/共59页40题题 设随机变量 X 与Y 相互独立，X N(0,16),Y N(0,9),X1,X2,X9 与Y1,Y2,Y16 分别是取自 X 与 Y 的简单随机样本,求统计量所服从的分布.解解第40页/共59页41从而第41页/共59页42t分布
13、用于在小样本场合下的正态分布(大样本场合下可以用正态分布来近似),有时候在信息不足的情况下,只能用t分布,比如在整体方差不知的情况下,对总体均值的估计和检验通常要用t统计量第42页/共59页43记作F F(m,n).由F 分布的定义可见，若F F(m,n)，定义:设随机变量X 与Y 独立，所服从的分布为第一自由度为m,第二自由度为n的F 分布，4、F 分布则F 的概率密度为则称统计量其图形参见172F分布多用于比例的估计和检验第43页/共59页44o xf(x)F分布的上 分位点:设FF(m,n),其密度函数为f(x),对于给定的正数 (0 F1 1 )=0.025,P(F F3 3 )=0.
14、95.1/F F(15(15,24),查附表7知统计三大分布的定义和基本性质在后面的学习中常用到,要牢记！第46页/共59页471.单个正态总体的抽样分布2.两个正态总体的抽样分布6.3 抽样分布定理第47页/共59页48设X1,X2,.,Xn是来自正态总体N(,2)的样本,则1.单个正态总体的抽样分布定理:(1)(2)与S2相互独立(3)(4)第48页/共59页49(1)为n个相互独立的正态服从正态分布=随机变量的线性组合第49页/共59页50(4)且它们相互独立由t分布的定义,即 2(n 1)第50页/共59页51例1(练习九.二.(1)设(X1,X2,Xn)是取自总体X的样本,是样本均值
15、,如果总体XN(,4),则样本容量n应取多大,才能使解:第51页/共59页520.95n1536.64n1537第52页/共59页53第53页/共59页54设总体XN(1,12),总体YN(2,22).X1,X2,.,是总体X的样本,Y1,Y2,.,是总体Y的样本,且这两个样本相互独立.则2.两个正态总体的抽样分布定理:(1)(2)第54页/共59页55其中称为混合样本方差进一步,若 12=22=2,有第55页/共59页56 2(n1 1),2(n2 1)且它们相互独立 2(n1+n2 2)第56页/共59页57由t分布的定义,即t(n1+n2 2)t(n1+n2 2)第57页/共59页58小结1.理解总体、个体、样本和统计量的概理解总体、个体、样本和统计量的概念念,掌握样本均值和样本方差的计算及掌握样本均值和样本方差的计算及基本性质基本性质2.掌握掌握 2分布、分布、t分布、分布、F分布分布的定义的定义,会会查表计算查表计算3.理解正态总体的某些统计量的分布理解正态总体的某些统计量的分布第58页/共59页59谢谢您的观看！第59页/共59页