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1、 第六章： 样本和抽样分布 一一个统计问题有它明确的研究对象个统计问题有它明确的研究对象.1.1.总体总体研究对象全体称为研究对象全体称为总体总体(母体母体).总体中每个成员称为总体中每个成员称为个体个体.一、总体和样本一、总体和样本总体可以用随机变量及其分布来描述总体可以用随机变量及其分布来描述. 例如例如:总体总体X为某批灯泡的寿命为某批灯泡的寿命, 为推断总体分布及各种特征，从总体中为推断总体分布及各种特征，从总体中抽取抽取n个个体，所抽取的部分个体称为个个体，所抽取的部分个体称为样本样本. 样本中所包含的个体数目样本中所包含的个体数目n称为称为样本容量样本容量.2. 样本样本2(400
2、0,20 ).XN 样本的二重性：样本的二重性：抽样之前，样本为随机变量抽样之前，样本为随机变量, 记记 X1, X2 , Xn .抽样之后，样本为一组数值抽样之后，样本为一组数值, 记记 x1, x2 , xn . 2. 独立性独立性： X1,X2,Xn是相互独立的是相互独立的随机变量随机变量. “简单随机抽样简单随机抽样”，要求抽取的样本满足，要求抽取的样本满足： 1. 代表性代表性： X1,X2,Xn中每一个与所中每一个与所考察的总体有相同的分布考察的总体有相同的分布. 说明：我们所考虑的都是简单随机抽样说明：我们所考虑的都是简单随机抽样的样本。从而有：的样本。从而有：X1,X2,Xn独
3、立同分布，与总体分布相同。独立同分布，与总体分布相同。 例例 1 设设X1,X2,X3是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本的样本,写出样本写出样本X1的概率密度函数。的概率密度函数。221()( )exp22xf xxR 二、统计量二、统计量12,nXXX12( ,)nf x xx设为总体X 的样本，为一个n元连续函数，若样本函数12(,)nf X XX不含任何未知参数，则称12(,)nf XXX为统计量. 例例 2 设设X1,X2,X3是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本的样本, 指出下列哪个不指出下列哪个不是统计量是统计量. 12312222123123111. ()2
4、. (2)3313.max(,)() 4.XXXXEXX X XXXX,已知，未知2 几个常见统计量几个常见统计量样本均值样本均值修正的样本方差修正的样本方差niiXnX112211()1niiSXXn 样本成数样本成数11niipXn修正的样本标准差修正的样本标准差2211()1niiSSXXn 三三. 抽样分布抽样分布 统计量既然是依赖于样本的，而后统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫量，因而就有一定的分布，这个分布叫做做 “抽样分布抽样分布” . 1. 样本均值的正态分布样本均值的正态分布 a
5、. 单个正态总体下的样本均值的分布单个正态总体下的样本均值的分布211( ,).niiXXNnn设总体设总体X 服从正态分布服从正态分布 2( ,),N 12,nX XX为来自总体的一个样本，为来自总体的一个样本，定理定理1.则则X为样本均值，为样本均值， b. 两个正态总体下的样本均值的分布两个正态总体下的样本均值的分布22121212(,).XYNnn设总体设总体X 服从正态分布服从正态分布 2(,),11N 112,nX XX为分别来自为分别来自X 与与Y 的样本，的样本，X , Y定理定理2.相互独立，相互独立，总体总体Y 服从正态分布服从正态分布 2(,),22N 212,nY YY
6、 和,X Y分别为它们的样本均值，则分别为它们的样本均值，则 c. 非正态总体下的样本均值的分布非正态总体下的样本均值的分布211( ,).niiXXNnn定理定理3. 设总体设总体X 为任意总体为任意总体,其其 2,EXDX12,nX XX为来自总体的一个样本，为来自总体的一个样本，则则222,.EXDXESn且且n较大时，近似地有较大时，近似地有_.n为样本均值，要使X2()0.1E X成立，则样本容量2( ,2 )XN12(,)nXXX例3 设为来自母体X的样本，n 402(20,3 )N122,XXX51625117182iiiiPXX( . ).2 80 997)例4 设总体X服从正
7、态分布，来自总体X，计算.2(30,3 )N1220,X XX1225,Y YY0.4XY( .).0 4440 67)设总体X和Y相互独立,且都服从正态分布，和是分别来自X和Y的样本，求的概率。 例5 定理定理 4 (样本方差的分布样本方差的分布)222122()(1)(3)(1).niiXXnSn 设设X1,X2,Xn是来自正态总体是来自正态总体),(2 N的样本的样本,2XS和分别为样本均值和修正的样本方差分别为样本均值和修正的样本方差,则有则有2(2).XS与与独独立立2212()(1)( ). niiXn 2. 样本方差的卡方分布样本方差的卡方分布 定理定理 5 (单正态总体样本均值
8、的单正态总体样本均值的 t 分布分布) 设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本的样本,2XS和和分别为样本均值和修正的样本方差分别为样本均值和修正的样本方差,则有则有 (1)Xt nSn 3. 样本均值的学生氏分布样本均值的学生氏分布 定理定理 6 (两总体样本均值差的两总体样本均值差的 t 分布分布) 22121211221212() (2)(1)(1)112XYt nnnSnSnnnn ，设),(),(2221 NYNX两个样本独立两个样本独立,样本修正的样本方差样本修正的样本方差,则有则有2212SS和和X1,X2,1nX是来自是来自X的样本的样本,是取自是取自Y的样本的样本,Y1,Y2,2nYYX和分别是这两个样本的分别是这两个样本的样本均值，样本均值，是这两个是这两个设设 两样本相互独立两样本相互独立, 定理定理 7 (两总体样本方差比的两总体样本方差比的F分布分布) 221122(,)(,)XNYN ，YX和分别是这两个样本的分别是这两个样本的X1,X2,1nX是来自是来自X的样本的样本,是取自是取自Y的样本的样本,为这两个样本修正的样本方差为这两个样本修正的样本方差,则有则有2212SS和和Y1,Y2,2nY样本均值，样本均值，21112222(1,1)2 22 2SF nnS 4. 样本方差比的样本方差比的F分布分布