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1、均匀随机数的产生1 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望1.1.会用计算器或计算机产生均匀随机数；会用计算器或计算机产生均匀随机数；2.2.会用模拟方法求简单的几何概型的概率；会用模拟方法求简单的几何概型的概率；3.3.通过实例，体会概率知识在生活中的应用通过实例，体会概率知识在生活中的应用.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，他打开收音机的时刻电台报时，他打开收音机的时刻x x是随机的，可以
2、是是随机的，可以是0 06060之间的任何一刻，并且是等可能的之间的任何一刻，并且是等可能的.我们称我们称x x服从服从0,600,60上的均匀分布，上的均匀分布，x x为为0,600,60上的均匀随机数上的均匀随机数.在前面我们已经会用计算器或计算机产生整数值的随在前面我们已经会用计算器或计算机产生整数值的随机数，那么能否利用计算机或计算器产生在区间机数，那么能否利用计算机或计算器产生在区间0,10,1上上的均匀随机数呢？的均匀随机数呢？我们常用的是我们常用的是 上的均匀随机数上的均匀随机数.用计算器产生用计算器产生0 01 1之间均匀随机数，方法如下：之间均匀随机数，方法如下：PRBPRB
3、RANDRAND RANDI RANDI STAT DEG STAT DEGENTERENTER RAND RAND 0.052745889 0.052745889 STAT DEG STAT DEGENTERENTER均匀随机数的产生均匀随机数的产生如何利用计算机产生如何利用计算机产生0 01 1之间的均匀随机数？之间的均匀随机数？用用ExcelExcel演示演示.（1 1）选定）选定A A1 1格，键入格，键入“RANDRAND（）（）”，按，按EnterEnter键，则在键，则在此格中的数是随机产生的此格中的数是随机产生的00，11上的均匀随机数；上的均匀随机数；（2 2）选定）选定A
4、A1 1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如比如A A2 2A A100100，点击粘贴，则在，点击粘贴，则在A A1 1A A100100的数都是的数都是00，11上上的均匀随机数的均匀随机数.这样我们很快就得到了这样我们很快就得到了100100个个0 01 1之间的之间的均匀随机数，相当于做了均匀随机数，相当于做了100100次随机试验次随机试验.如果试验的结果是区间如果试验的结果是区间aa，bb上等可能出现的任何一个上等可能出现的任何一个值，则需要产生值，则需要产生aa，bb上的均匀随机数，对此，你有什上的均匀随机数，对此，你有什么办法解决
5、？么办法解决？首先利用计算器或计算机产生首先利用计算器或计算机产生00，11上的均匀随机数上的均匀随机数X=RAND,X=RAND,然后利用伸缩和平移变换：然后利用伸缩和平移变换：Y=X*(bY=X*(b a)a)a a计计算算Y Y的值，则的值，则Y Y为为aa，bb上的均匀随机数上的均匀随机数.随机模拟方法随机模拟方法例例1 1 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6:306:307:307:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上早上7:007:008:008:00之间，问你父亲在离开家
6、之前能得到报纸之间，问你父亲在离开家之前能得到报纸（称为事件（称为事件A A）的概率是多少？）的概率是多少？法一（几何法）法一（几何法）解：解：设送报人到达的时间为设送报人到达的时间为x x，父亲离开家的时间为，父亲离开家的时间为y.y.(x,y)(x,y)可以看成平面中的点可以看成平面中的点.实验的全部结果所构成的区实验的全部结果所构成的区域面积为域面积为S S=1=11=1.1=1.事件事件A A构成的区域为构成的区域为A=(x,y)|yx,6.5x7.5,7y8A=(x,y)|yx,6.5x7.5,7y8即图中的阴影部分，面积为即图中的阴影部分，面积为思考思考1 1 你能设计一种随机模拟
7、的方法，近似计算你能设计一种随机模拟的方法，近似计算上面事件上面事件A A发生的概率吗？（包括手工的方法或用计发生的概率吗？（包括手工的方法或用计算器、计算机的方法算器、计算机的方法.）法二（随机模拟法）法二（随机模拟法）我们可以做两个带有指针（分针）的圆盘，标上时间，我们可以做两个带有指针（分针）的圆盘，标上时间，分别旋转两个圆盘，记下父亲在离开家前能得到报纸的分别旋转两个圆盘，记下父亲在离开家前能得到报纸的次数，则次数，则思考思考2 2 设设X X、Y Y为为00，11上的均匀随机数，上的均匀随机数，6.56.5X X表示表示送报人到达你家的时间，送报人到达你家的时间，7 7Y Y表示父亲
8、离开家的时间，表示父亲离开家的时间，若事件若事件A A发生，则发生，则X X、Y Y应满足什么关系？应满足什么关系？7 7Y 6.5Y 6.5X X，即，即YXYX0.5.0.5.思考思考3 3：如何利用计算机做：如何利用计算机做100100次模拟试验，计算事件次模拟试验，计算事件A A发发生的频率，从而估计事件生的频率，从而估计事件A A发生的概率？发生的概率？（1 1）在）在A A1 1A A100100，B B1 1B B100100产生两组产生两组00，11上的均匀随机上的均匀随机数；数；（2 2）选定）选定D D1 1格，键入格，键入“=A=A1 1-B-B1 1”，按，按Enter
9、Enter键键.再选定再选定D D1 1格，拖动至格，拖动至D D100100，则在，则在D D1 1D D100100的数为的数为Y-XY-X的值；的值；（3 3）选定）选定E E1 1格，键入格，键入“=FREQUENCY=FREQUENCY（D D1 1：D D100100，0.50.5）”，统计，统计D D列中小于列中小于0.50.5的数的频数；的数的频数；对于复杂的实际问题对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型解题的关键是要建立模型,找找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转把问题转化为几何概率问题化为几何概率问题,利用几何概率
10、公式求解利用几何概率公式求解.利用随机模拟方法可求概率问题，其实质是先求频利用随机模拟方法可求概率问题，其实质是先求频率，用频率近似代替概率率，用频率近似代替概率.其关键是设计好其关键是设计好“程序程序”或者或者说说“步骤步骤”，并找到各数据需满足的条件，并找到各数据需满足的条件.例例2 2 在正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法在正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估计圆周率的值（假设正方形的边长为估计圆周率的值（假设正方形的边长为2 2）.圆的面积圆的面积正方形的面积正方形的面积解：解：豆子落在圆内的概率豆子落在圆内的概率=落在圆中的豆子数落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数落在正
11、方形中的豆子数圆的面积圆的面积正方形的面积正方形的面积落在圆中的豆子数落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数落在正方形中的豆子数用计算器或计算机模拟上述过程，步骤如下：用计算器或计算机模拟上述过程，步骤如下：（1)1)产生两组产生两组0 01 1之间的均匀随机数，之间的均匀随机数，a a1 1=RAND,b=RAND,b1 1=RAND;=RAND;（2 2）经平移和伸缩变换，）经平移和伸缩变换，a=(aa=(a1 1-0.5)2,b=(b-0.5)2,b=(b1 1-0.5)2;-0.5)2;（3 3）数出落在圆内）数出落在圆内x x2 2+y+y2 211的点的点(a,b)(a,b)的个数的
12、个数N N1 1，计算计算 （N N代表落在正方形中的点代表落在正方形中的点(a,b)(a,b)的个数）的个数）.用随机模拟的方法计算不规则图形的面积用随机模拟的方法计算不规则图形的面积例例3 3 利用随机模拟方法计算图中阴影部分（由利用随机模拟方法计算图中阴影部分（由y=1=1和和 所围成的图形）的面积所围成的图形）的面积.解：解：以直线以直线x=1x=1，x=-1x=-1，y=0y=0，y=1y=1为边界作矩形，用随机模为边界作矩形，用随机模拟方法计算落在抛物区域内的拟方法计算落在抛物区域内的均匀随机点的频率，则所求区均匀随机点的频率，则所求区域的面积域的面积=频率频率2.2.x xy y
13、0 01 1-1-11 1用计算器或计算机模拟上述过程，步骤如下用计算器或计算机模拟上述过程，步骤如下（1)1)产生两组产生两组0 01 1之间的均匀随机数，之间的均匀随机数，a a1 1=RAND,b=RAND,b1 1=RAND;=RAND;（2 2）经平移和伸缩变换，）经平移和伸缩变换，a=(aa=(a1 1-0.5)2;-0.5)2;（3 3）数出落在阴影内的样本点数）数出落在阴影内的样本点数N N1 1,用几何概型计算阴用几何概型计算阴影部分的面积影部分的面积.例如做例如做10001000次试验，即次试验，即N=1000,N=1000,模拟得到模拟得到N N1 1=698,=698,
14、所以所以 根据几何概型计算概率的公式，概率等于面积之根据几何概型计算概率的公式，概率等于面积之比，如果概率用频率近似表示，在不规则的图形外套比，如果概率用频率近似表示，在不规则的图形外套上一个规则图形，则不规则图形的面积近似等于规则上一个规则图形，则不规则图形的面积近似等于规则图形的面积乘频率图形的面积乘频率.1.1.将将0,10,1内的均匀随机数转化为内的均匀随机数转化为2,52,5内的均匀随机数，内的均匀随机数，则实施的变换为（则实施的变换为（）.A.a=aA.a=a1 13 B.a=a3 B.a=a1 13+23+2C.a=aC.a=a1 13+5 D.a=a3+5 D.a=a1 15+
15、25+2B B2.2.将将100100粒大小一样的豆子随机撒入图中长粒大小一样的豆子随机撒入图中长3cm3cm，宽，宽2cm2cm的的长方形内，恰有长方形内，恰有3030粒豆子落在阴影区域内，则阴影区域的粒豆子落在阴影区域内，则阴影区域的面积约为面积约为_._.1.8cm1.8cm2 23.3.甲、乙二人约定在甲、乙二人约定在0 0点到点到5 5点之间在某地会面，先到者点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响是等可能的，且二人互不影响.求二人能会面的概率求二人能会面的概率.解：解：以以
16、x,y 分别表示甲分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是乙二人到达的时刻，于是0 x5,0y5.0 x5,0y5.试验的全部结果构成的区域为正方形，面积为试验的全部结果构成的区域为正方形，面积为25.25.二人会面的条件是：二人会面的条件是：|x-y|1,|x-y|1,0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5yx54321y=x+1y=x+1记记“两人会面两人会面”为事件为事件A.A.y=x-1y=x-11.1.在区间在区间aa，bb上的均匀随机数与整数值随机数的共同上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间
17、内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.2.2.利用计算机和线性变换利用计算机和线性变换Y=X*(b-a)Y=X*(b-a)a a，可以产生任意，可以产生任意区间区间aa，bb上的均匀随机数，其操作方法要通过上机实上的均匀随机数，其操作方法要通过上机实习才能掌握习才能掌握.3.3.用随机模拟试验求解不规则图形的面积的基本思想用随机模拟试验求解不规则图形的面积的基本思想是，构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通是，构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决均匀随机点的个数之比来解决.“不耻最后。”即使慢，驰而不息，纵令落后，纵令失败，但一定可以达到他所向往的目标。