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1、3.3.2 均匀随机数的产生2.2.几何概型的概率公式：几何概型的概率公式： .构成事件 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积A（A（）P(A)=P(A)=（） 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度域的长度( (面积或体积面积或体积) )成比例成比例, ,则称这样的则称这样的概率模型为几何概率模型概率模型为几何概率模型, ,简称为几何概型简称为几何概型. .1.1.几何概型的定义及其特点几何概型的定义及其特点? ?用几何概型解简单试验问题的方法：1.1.适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解；适当选择观察角度，把问题转
2、化为几何概型求解；2.2.把基本事件转化为与之对应的区域把基本事件转化为与之对应的区域D D；3.3.把随机事件把随机事件A A转化为与之对应的区域转化为与之对应的区域d d；4.4.利用几何概型概率公式计算利用几何概型概率公式计算. .注意：基本事件是等可能的注意：基本事件是等可能的. . 我们可以利用计算器或计算机产生整数值随机数，我们可以利用计算器或计算机产生整数值随机数，还可以通过随机模拟方法求古典概型的概率近似值，还可以通过随机模拟方法求古典概型的概率近似值，对于几何概型，我们也可以进行上述工作对于几何概型，我们也可以进行上述工作. . 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，某人午
3、觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，他打开收音机的时刻想听电台报时，他打开收音机的时刻x x是随机的，是随机的，可以是可以是0 06060之间的任何一刻，并且是等可能的之间的任何一刻，并且是等可能的. . 我们称我们称x x服从服从0,600,60上的均匀分布，上的均匀分布，x x为为0,600,60上的上的均匀随机数均匀随机数. . 在前面我们已经会用计算器或计算机产生整数值在前面我们已经会用计算器或计算机产生整数值的随机数，那么能否利用计算器或计算机产生在区间的随机数，那么能否利用计算器或计算机产生在区间0,10,1上的均匀随机数呢？上的均匀随机数呢？1.1.了解均匀随机数的概
4、念了解均匀随机数的概念. .( (重点重点) )2.2.掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法法. .3.3.会用模拟方法求简单的几何概型的概率会用模拟方法求简单的几何概型的概率. .( (重点重点) )4.4.会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题题( (难点难点) ) 我们常用的是我们常用的是 上的均匀随机数上的均匀随机数. .用计算器产用计算器产生生0 01 1之间之间的的均匀随机数，方法如下：均匀随机数，方法如下：PRBPRBRANDRAND RANDI RANDI STAT DEG STAT DE
5、GENTERENTER RAND RAND 0.052745889 0.052745889 STAT DEG STAT DEGENTERENTER探究点探究点1 1 均匀随机数的产生均匀随机数的产生 0,1注意：每次结果会有不同注意：每次结果会有不同. .(1)(1)计算器上产生区间计算器上产生区间0,10,1上的均匀随机数的函上的均匀随机数的函数是数是_._.(2)Excel(2)Excel软件产生区间软件产生区间0,10,1上的均匀随机数的函上的均匀随机数的函数为数为_._.RANDRANDrand( )rand( )探究点探究点2 2 随机模拟方法随机模拟方法例例1 1 假设你家订了一份
6、报纸，送报人可能在早上假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6:306:307 7：3030之间把报纸送到你家，你父亲离开家之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上去工作的时间在早上7 7：00008 8：00 00 之间，问你父之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件亲在离开家前能得到报纸（称为事件A A）的概率是）的概率是多少？多少？法一（几何概型法）法一（几何概型法）解：解：设送报人到达的时间为设送报人到达的时间为x x，父亲离开家的时间为，父亲离开家的时间为y. (x,y)y. (x,y)可以看成平面中的点可以看成平面中的点. .试验的全部结果所构试验的全部结果所构成的
7、区域面积为成的区域面积为S S=1=11=1.1=1.事件事件A A构成的区域为构成的区域为A=(x,y)|yx,6.5x7.5,7y8A=(x,y)|yx,6.5x7.5,7y8即图中的阴影部分，面积为即图中的阴影部分，面积为11171.2228AS 7( ).8ASP AS 思考思考 你能设计一种随机模拟的方法，近似你能设计一种随机模拟的方法，近似计算上面事件计算上面事件A A发生的概率吗？（包括手工的发生的概率吗？（包括手工的方法或用计算器、计算机的方法方法或用计算器、计算机的方法. .）法二（随机模拟法）法二（随机模拟法） 我们可以做两个带有指针（分针）的圆盘，我们可以做两个带有指针（
8、分针）的圆盘，标上时间，分别旋转两个圆盘，记下父亲在离标上时间，分别旋转两个圆盘，记下父亲在离开家前能得到报纸的次数，则开家前能得到报纸的次数，则父父亲亲在在离离家家前前能能得得到到报报纸纸的的次次数数P(A)=.P(A)=.试试验验的的总总次次数数 1.1.设设X X、Y Y为为00，11上的均匀随机数，上的均匀随机数，6.56.5X X表示送报人到达你家的时间，表示送报人到达你家的时间，7 7Y Y表示父亲离表示父亲离开家的时间，若事件开家的时间，若事件A A发生，则发生，则X X、Y Y应满足什么应满足什么关系？关系？7 7Y 6.5Y 6.5X X，即，即YXYX0.5.0.5.【变式
9、练习变式练习】2.2.如何利用计算机做如何利用计算机做100100次模拟试验，计算事件次模拟试验，计算事件A A发发生的频率，从而估计事件生的频率，从而估计事件A A发生的概率？发生的概率？（1 1）在）在A A1 1A A100100，B B1 1B B100100产生两组产生两组00，11上的均匀上的均匀随机数；随机数；（2 2）选定）选定D D1 1格，键入格，键入“=A=A1 1-B-B1 1”，按，按EnterEnter键，再选键，再选定定D D1 1格，拖动至格，拖动至D D100100，则在，则在D D1 1D D100100的数为的数为X-YX-Y的值；的值；（3 3）选定）选
10、定E E1 1格，键入格，键入“=FREQUENCY=FREQUENCY（D D1 1：D D100100，0.50.5）”，统计，统计D D列中小于列中小于0.50.5的数的频数的数的频数. . 对于复杂的实际问题对于复杂的实际问题, ,解题的关键是要建立模型解题的关键是要建立模型, ,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域, ,把问把问题转化为几何概型问题题转化为几何概型问题, ,利用几何概型公式求解利用几何概型公式求解. .利用随机模拟方法可求概率问题，其实质是先求利用随机模拟方法可求概率问题，其实质是先求频率，用频率近似代替概率频率，用频率
11、近似代替概率. .其关键是设计好其关键是设计好“程序程序”或者说或者说“步骤步骤”，并找到各数据需满足的条件，并找到各数据需满足的条件. . 【总结提升总结提升】假设正方形的边长为假设正方形的边长为2,2,则则由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以例例2 2 在正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟在正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估计圆周率的值的方法估计圆周率的值圆的面积圆的面积正方形的面积正方形的面积解：解：豆子落在圆内的概率豆子落在圆内的概率= =落在圆中的豆子数落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数落在正方形中的豆子数圆的面积圆的面积
12、正方形的面积正方形的面积21=.2 24 落在圆中的豆子数落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数落在正方形中的豆子数 4. . .用计算器或计算机模拟上述过程，步骤如下：用计算器或计算机模拟上述过程，步骤如下：（1)1)产生两组产生两组0 01 1之间的均匀随机数，之间的均匀随机数，a a1 1=RAND,b=RAND,b1 1=RAND;=RAND;（2 2）经平移和伸缩变换，）经平移和伸缩变换，a=2(aa=2(a1 1-0.5),b=2(b-0.5),b=2(b1 1-0.5);-0.5);（3 3）数出落在圆内）数出落在圆内x x2 2+y+y2 211的点的点(a,b)(a,b)的个数
13、的个数N N1 1，计算计算 （N N代表落在正方形中的点代表落在正方形中的点(a,b)(a,b)的的个数）个数）. .14=NN 探究点探究点3 3 用随机模拟的方法计算不规则图形的面积用随机模拟的方法计算不规则图形的面积例例3 3 利用随机模拟方法计算图中阴影部分（利用随机模拟方法计算图中阴影部分（y=1=1和和 所围成的部分）的面积所围成的部分）的面积. .解：解：以直线以直线x=1x=1，x=-1x=-1，y=0y=0，y=1y=1为边界作矩形，用随机模为边界作矩形，用随机模拟方法计算落在抛物线区域内的拟方法计算落在抛物线区域内的均匀随机点的频率，则所求区均匀随机点的频率，则所求区域的
14、面积域的面积= =频率频率2.2.x xy y0 01 1-1-11 12yx 用计算器或计算机模拟上述过程，步骤如下：用计算器或计算机模拟上述过程，步骤如下：（1)1)产生两组产生两组0 01 1之间的均匀随机数，之间的均匀随机数，a a1 1=RAND,b=RAND;=RAND,b=RAND;（2 2）经平移和伸缩变换，）经平移和伸缩变换，a=2(aa=2(a1 1-0.5);-0.5);（3 3）数出落在阴影内的样本点数）数出落在阴影内的样本点数N N1 1, ,用几何概型公用几何概型公式计算阴影部分的面积式计算阴影部分的面积. .例如做例如做1 0001 000次试验，即次试验，即N=
15、1 000,N=1 000,模拟得到模拟得到N N1 1=698,=698,所以所以121.396.NSN 根据几何概型计算概率的公式，概率等于面根据几何概型计算概率的公式，概率等于面积之比，如果概率用频率近似表示，在不规则的积之比，如果概率用频率近似表示，在不规则的图形外套上一个规则图形，则不规则图形的面积图形外套上一个规则图形，则不规则图形的面积近似等于规则图形的面积乘频率近似等于规则图形的面积乘频率. .【总结提升总结提升】1.1.下列说法与均匀随机数特点不符的是下列说法与均匀随机数特点不符的是( )( )A.A.我们常用的是我们常用的是0,10,1内的均匀随机数内的均匀随机数B.B.它
16、是一个随机数它是一个随机数C.C.出现每一个实数是等可能的出现每一个实数是等可能的D.D.是随机数的平均数是随机数的平均数D D2 2如图如图, ,在圆心角为直角的扇形在圆心角为直角的扇形OABOAB中中, ,分别以分别以OA,OBOA,OB为直径作两个半圆为直径作两个半圆. . 在扇形在扇形OABOAB内随机取一点内随机取一点, ,则此点取自阴影部分的概率是（）则此点取自阴影部分的概率是（）A A B B C C D D 1221112A A3.3.已知事件已知事件“在矩形在矩形ABCDABCD的边的边CDCD上随机取一点上随机取一点P P，使使APBAPB的最大边是的最大边是AB”AB”发
17、生的概率为发生的概率为 ，则则 = ( )= ( )A. B. C. D.A. B. C. D.ADAB1212143274解：解：选选D.D.如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，分别以中，分别以A A，B B为圆为圆心，心，ABAB为半径作圆交为半径作圆交CDCD分别于分别于F,E,F,E,当点当点P P在线段在线段EFEF上运动时满足题设要求，由对称性可知上运动时满足题设要求，由对称性可知E E、F F为为CDCD的的四等分点，设四等分点，设 ，则，则 ，在直角三角形在直角三角形ADFADF中，中， ，所以所以 . .4ABEFDABC4, 3ABAFDF722DFAFAD47AB
18、AD4.4.在利用随机模拟法计算如图阴影部分在利用随机模拟法计算如图阴影部分( (曲线曲线y=( y=( ）x x与与x x轴轴,x=,x=1 1围成的部分围成的部分) )的面积时的面积时, ,需要经过伸缩变换得到需要经过伸缩变换得到哪两个区间上的均匀随机数哪两个区间上的均匀随机数( )( )(A)(A)-1,1, 0,1 -1,1, 0,1 (B) -1,1, 0,2(B) -1,1, 0,2(C) 0,1, 0,2 (C) 0,1, 0,2 (D) 0,1, 0,1(D) 0,1, 0,1【解析解析】由图可知需产生的两组均匀随机数所在区间为由图可知需产生的两组均匀随机数所在区间为 -1,1
19、-1,1与与 0,2.0,2.12B B5.5.甲、乙二人约定在甲、乙二人约定在0 0点到点到5 5点之间在某地会面，先到点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去者等一个小时后即离去, ,设二人在这段时间内的各时设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响，求二人能会面刻到达是等可能的，且二人互不影响，求二人能会面的概率的概率. .解：解：以以 x , y 分别表示甲分别表示甲、乙二人到达的时刻，于乙二人到达的时刻，于是是0 x5,0y5.0 x5,0y5.试验的全部结果构成的区域为正方形，面积为试验的全部结果构成的区域为正方形，面积为25.25.二人会面的条件是二人会面的条件是|x-y|1,|x-y|1,0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5yx54321y=x+1y=x+1记记“二二人会面人会面”为事件为事件A.A.阴阴影影（红红色色）部部分分的的面面积积正正方方形形的的面面积积 2( )1252492=.2525P Ay=x-1y=x-1均匀随机数的产生均匀随机数的产生产生方法产生方法随机模拟方法随机模拟方法用随机模拟的方法计用随机模拟的方法计算不规则图形的面积算不规则图形的面积计算器计算器计算机计算机环境不会改变，解决之道在于改变自己.