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1、世纪金榜二轮专题辅导与练习专题三第三讲 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一、主干知识一、主干知识实际问题中的常用角实际问题中的常用角(1)(1)仰角和俯角：仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角在水平线下方的角叫俯角(如图如图1)1)(2)(2)方位角：方位角：指从正北方向指从正北方向_转到目标方向线的水平角，如转到目标方向线的水平角，如B B点的
2、点的方位角为方位角为(如图如图2)2)(3)(3)方向角：方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东相对于某正方向的水平角，如南偏东3030，北偏西，北偏西4545等等(4)(4)坡度：坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数的正切值坡面与水平面所成的二面角的度数的正切值顺时针顺时针二、必记公式二、必记公式1.1.正弦定理：正弦定理：定理定理变变形公式形公式变变形形1 1变变形形2 2 =2R =2R(2R(2R为为ABCABC外接外接圆圆的直径的直径)a=_a=_b=_b=_c=_c=_sinA=sinA=sinB=sinB=sinC=sinC=重要重要结论结论:abc=sinAsinBsinC:
3、abc=sinAsinBsinC2RsinA2RsinA2RsinB2RsinB2RsinC2RsinC2.2.余弦定理：余弦定理：定理定理推推论论a a2 2=_=_b b2 2=_=_c c2 2=_=_cosA=cosA=cosB=cosB=cosC=cosC=b b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosAa a2 2+c+c2 2-2accosB-2accosBa a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosC3.3.面积公式：面积公式：S SABCABC1.(20131.(2013常州模拟常州模拟)在在ABCABC中，若中，若tan Atan Btan Ctan
4、Atan Btan C=123=123，则，则A=_.A=_.【解析】【解析】因为因为tan Atan Btan C=123tan Atan Btan C=123，可设，可设tan A=x,tan B=2x,tan C=3xtan A=x,tan B=2x,tan C=3x，tan C=-tan(A+B)=tan C=-tan(A+B)=解得解得x=1x=1，所以所以tan A=1tan A=1，A=A=答案：答案：2.(20132.(2013扬州模拟扬州模拟)ABC)ABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边分别为所对的边分别为a,b,ca,b,c，a=5,b=7,B=60,a=5,b
5、=7,B=60,则则c=_.c=_.【解析】【解析】由余弦定理知由余弦定理知：b b2 2=a=a2 2+c+c2 2-2accos B,-2accos B,即即49=25+c49=25+c2 2-5c,-5c,解上式，得解上式，得c=8c=8，负值舍去，负值舍去.答案：答案：8 83.(20133.(2013湖南高考改编湖南高考改编)在锐角在锐角ABCABC中，角中，角A A，B B所对的边长所对的边长分别为分别为a a，b.b.若若2asin B=2asin B=则角则角A A等于等于_._.【解析】【解析】由由2asin B=2asin B=得得2sin Asin B=sin B,2si
6、n Asin B=sin B,得得sin A=sin A=所以锐角所以锐角A=A=答案：答案：4.(20134.(2013山东高考改编山东高考改编)ABC)ABC的内角的内角A A，B B，C C的对边分别是的对边分别是a a，b b，c,c,若若B=2AB=2A，a=1a=1，b=b=则则c=_.c=_.【解析】【解析】由由B=2A,B=2A,得得sin B=sin 2Asin B=sin 2A，由正弦定理知，由正弦定理知即即 所以所以cos A=cos A=所以所以 所以所以C=C=B BA=A=所以所以c c2 2=a=a2 2+b+b2 2=1+3=4=1+3=4，c=2.c=2.答案
7、：答案：2 25.(20135.(2013重庆模拟重庆模拟)如图，在某灾区的搜救现场，一条搜救犬如图，在某灾区的搜救现场，一条搜救犬从从A A点出发沿正北方向行进点出发沿正北方向行进x mx m到达到达B B处发现生命迹象，然后向处发现生命迹象，然后向右转右转105105，行进，行进10 m10 m到达到达C C处发现另一生命迹象，这时它向右处发现另一生命迹象，这时它向右转转135135回到出发点，那么回到出发点，那么x x_ m._ m.【解析】【解析】由题图可知，由题图可知，ABABx x，ABCABC1801801051057575，BCABCA1801801351354545.因为因为
8、BCBC1010，BACBAC180180757545456060，所以所以 解得解得答案：答案：热点考向热点考向 1 1 利用正、余弦定理解斜三角形利用正、余弦定理解斜三角形【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013威海模拟威海模拟)如图，在如图，在ABCABC中，已知中，已知B B4545，D D是是BCBC边上的一边上的一点，点，ADAD1010，ACAC1414，DCDC6 6，则，则ABAB的长的长为为_._.(2)(2013(2)(2013西城模拟西城模拟)在在ABCABC中，内角中，内角A A，B B，C C的对边分别为的对边分别为a a，b b，c.c.已知已知求求
9、的值；的值；若若 求求ABCABC的面积的面积.【解题探究】【解题探究】(1)(1)解答本题时如何求解答本题时如何求ADB.ADB.提示：提示：求求ADBADB，可先利用余弦定理求出，可先利用余弦定理求出ADC.ADC.(2)(2)题目所给等式中含有角和边，要求题目所给等式中含有角和边，要求 需把边转化为需把边转化为角，根据正弦定理可知转化后角，根据正弦定理可知转化后本题中本题中 三角形的面积公式为三角形的面积公式为S SABCABC_.【解析】【解析】(1)(1)在在ADCADC中，中，AD=10,AC=14,DC=6AD=10,AC=14,DC=6，由余弦定理得由余弦定理得=所以所以ADC
10、=120ADC=120,ADB=60,ADB=60.在在ABDABD中，中，AD=10,B=45AD=10,B=45,ADB=60,ADB=60,由正弦定理得由正弦定理得所以所以答案答案：(2)(2)由正弦定理得由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,所以所以即即sin Bcos A-2sin Bcos C=2sin Ccos B-sin Acos B,sin Bcos A-2sin Bcos C=2sin Ccos B-sin Acos B,即有即有sin(A+B)=2sin(B+C),sin(A+B
11、)=2sin(B+C),即即sin C=2sin A,sin C=2sin A,所以所以由由知知:即即c=2a.c=2a.又因为又因为b=2,b=2,所以由余弦定理得：所以由余弦定理得：b b2 2=c=c2 2+a+a2 2-2accos B,-2accos B,即即 解得解得a=1(a=1(负值舍去负值舍去),),所以所以c=2.c=2.又因为又因为 所以所以故故ABCABC的面积为的面积为【互动探究】【互动探究】题题(2)(2)在题设不变的情况下，若在题设不变的情况下，若 ABC ABC的周长为的周长为5 5，求，求b b的长的长.【解析】【解析】由由知知 所以有所以有 即即c=2a.c
12、=2a.又因为又因为ABCABC的周长为的周长为5,5,所以所以b=5-3a.b=5-3a.由余弦定理得由余弦定理得：b b2 2=c=c2 2+a+a2 2-2accos B,-2accos B,即即解得解得a=1(a=5a=1(a=5舍舍)，所以，所以b=2.b=2.【方法总结】【方法总结】解三角形常见类型及解法解三角形常见类型及解法在三角形的六个元素中要知三个在三角形的六个元素中要知三个(除三角外除三角外)才能求解，常见类才能求解，常见类型及其解法见下表：型及其解法见下表：已知条件已知条件应用定理应用定理一般解法一般解法一边和二角一边和二角(如如a,B,C)a,B,C)正弦定理正弦定理由
13、由A+B+C=180A+B+C=180,求角求角A;A;由正弦定由正弦定理求出理求出b b与与c;Sc;S=在有解在有解时只有一解时只有一解已知条件已知条件应用定理应用定理一般解法一般解法两边和夹角两边和夹角(如如a,b,C)a,b,C)余弦定理余弦定理由余弦定理求第三边由余弦定理求第三边c;c;由正弦定由正弦定理求出一边所对的角理求出一边所对的角,再由再由A+B+C=A+B+C=180180求出另一角求出另一角.S.S=在有解时只有一解在有解时只有一解三边三边(a,b,c)(a,b,c)余弦定理余弦定理由余弦定理求出角由余弦定理求出角A,B,A,B,再利用再利用A+BA+B+C=180+C=
14、180求出角求出角C.SC.S=在有解时只有一解在有解时只有一解已知条件已知条件应用定理应用定理一般解法一般解法两边和其中两边和其中一边的对角一边的对角(如如a,b,A)a,b,A)正弦定理正弦定理由正弦定理求出角由正弦定理求出角B:B:由由A+B+C=A+B+C=180180求出角求出角C;C;再利用正弦定理求再利用正弦定理求出出c c边边.S.S=可有两解可有两解,一一解或无解解或无解【变式备选】【变式备选】(2013(2013杭州模拟杭州模拟)在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C的对边的对边分别为分别为a a，b b，c.c.已知已知3cos(B3cos(BC)C)1 16
15、cos Bcos C.6cos Bcos C.(1)(1)求求cos A.cos A.(2)(2)若若a a3 3，ABCABC的面积为的面积为 求求b b，c.c.【解析】【解析】(1)(1)由由3cos(B3cos(BC)C)1 16cos Bcos C6cos Bcos C，得得3(cos Bcos C3(cos Bcos Csin Bsin C)sin Bsin C)1 1，即即cos(Bcos(BC)C)从而从而cos Acos Acos(Bcos(BC)C)(2)(2)由于由于0 0A A，cos Acos A 所以所以sin Asin A又又 即即 解得解得bcbc6.6.由余弦
16、定理由余弦定理a a2 2b b2 2c c2 22bccos A2bccos A，得，得b b2 2c c2 213.13.解方程组解方程组【典例】【典例】1.ABC1.ABC中内角中内角A,B,CA,B,C的对边分别为的对边分别为a a，b b，c,c,向量向量m=n=且且mn，则角，则角A A的大小的大小为为_._.2.2.在在ABCABC中，已知中，已知 边边 设设B=xB=x，周长为，周长为y.y.则函则函数数y=f(x)y=f(x)的解析式为的解析式为_._.3.(20133.(2013海淀模拟海淀模拟)已知函数已知函数f(x)=f(x)=ABCABC三个内角三个内角A,B,CA,
17、B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c,a,b,c,且且f(A)=1.f(A)=1.求角求角A A的大小的大小.【解析】【解析】1.1.由条件可知，因为由条件可知，因为mn，所以所以解得解得又又A(0,),A(0,),所以所以答案：答案：2.ABC2.ABC的内角和的内角和A+B+C=A+B+C=，由由 B B0 0，C C0 0得得0 0B B由正弦定理，知由正弦定理，知因为因为y=AB+BC+ACy=AB+BC+AC，所以所以答案：答案：3.3.因为因为f(x)=f(x)=又又f(A)=f(A)=因为因为A(0,),A(0,),所以所以所以所以 所以所以 【方法总结】【方法总结】与三角形
18、有关的交汇问题的求解思路与三角形有关的交汇问题的求解思路(1)(1)公式应用：在解决三角形与平面向量交汇的问题时应熟练公式应用：在解决三角形与平面向量交汇的问题时应熟练掌握平面向量中常见的公式，如向量的平行、垂直的运算公式掌握平面向量中常见的公式，如向量的平行、垂直的运算公式.(2)(2)边角转化：在三角形中考查三角函数变换，它是在新的载边角转化：在三角形中考查三角函数变换，它是在新的载体上进行的三角变换：体上进行的三角变换：作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发余弦定理及有
19、关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；现解决问题的思路；常见的三角变换方法和原则都是适用的，常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意注意“三统一三统一”，即，即“统一角、统一函数、统一结构统一角、统一函数、统一结构”.热点考向热点考向 2 2 三角形形状的判定三角形形状的判定【典例【典例2 2】(1)(2013(1)(2013陕西高考陕西高考)设设ABCABC的内角的内角A,B,CA,B,C所对的边所对的边分别为分别为a,b,c,a,b,c,若若bcos C+ccos B=asin A,bcos C+ccos B=asin A,则则ABCABC为为_三角形三角形.(.(填
20、锐角、直角或钝角填锐角、直角或钝角)(2)(2013(2)(2013玉溪模拟玉溪模拟)在在ABCABC中，中，a a，b b，c c分别表示三个内角分别表示三个内角A A，B B，C C的对边，如果的对边，如果(a(a2 2+b+b2 2)sin(A)sin(AB)=(aB)=(a2 2b b2 2)sin(A+B),)sin(A+B),则则ABCABC为为_三角形三角形.(.(填等边、直角、等腰、等腰或直角填等边、直角、等腰、等腰或直角)【解题探究】【解题探究】(1)(1)本题中本题中bcos C+ccos B=asin Abcos C+ccos B=asin A，把边化为角可变为，把边化为
21、角可变为_,_,在在ABCABC中中sin(B+C)sin(B+C)=_.=_.(2)(2)题目中所给等式展开后利用两角和与差的正弦公式化简可题目中所给等式展开后利用两角和与差的正弦公式化简可得得_.(*)_.(*)sin Bcos C+sin Ccos B=sinsin Bcos C+sin Ccos B=sin2 2 A A sin Asin A2a2a2 2cos Asin B=2bcos Asin B=2b2 2cos Bsin Acos Bsin A思路一：把思路一：把(*)(*)式化边为角可得式化边为角可得_，然后找出角之间的关，然后找出角之间的关系求解系求解.思路二：把思路二：把
22、(*)(*)式化角为边可得式化角为边可得_,_,然后找出边之间的关系求解然后找出边之间的关系求解.sin 2Asin Asin B=sin 2Bsin Asin Bsin 2Asin Asin B=sin 2Bsin Asin Ba a2 2(b(b2 2+c+c2 2-a-a2 2)=b)=b2 2(a(a2 2+c+c2 2-b-b2 2)【解析】【解析】(1)(1)因为因为bcosC+ccosB=asinA,bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sinsinBcosC+sinCcosB=sin2 2A,A,所以所以sin(
23、B+C)=sinsin(B+C)=sin2 2A,sinA=sinA,sinA=sin2 2A,A,sinA=1,sinA=1,所以三角形所以三角形ABCABC是直角三角形是直角三角形.答案：答案：直角直角(2)(2)方法一方法一:由已知由已知(a(a2 2+b+b2 2)sin(A-B)sin(A-B)=(a=(a2 2-b-b2 2)sin(A+B),sin(A+B),得得a a2 2sin(A-B)-sin(A+B)sin(A-B)-sin(A+B)=b=b2 2-sin(A+B)-sin(A-B),-sin(A+B)-sin(A-B),所以所以2a2a2 2cosAsinB=2bcos
24、AsinB=2b2 2cosBsinA.cosBsinA.由正弦定理得由正弦定理得sinsin2 2AcosAsinB=sinAcosAsinB=sin2 2BcosBsinA,BcosBsinA,即即sin2AsinAsinB=sin2BsinAsinB.sin2AsinAsinB=sin2BsinAsinB.因为因为0A,0B,0A,0B,所以所以sin2A=sin2B,sin2A=sin2B,所以所以2A2A2B2B或或2A2A2B2B，即，即A AB B或或A AB B所以所以ABCABC是等腰三角形或直角三角形是等腰三角形或直角三角形.方法二：同方法一可得方法二：同方法一可得2a2a
25、2 2cos Asin Bcos Asin B2b2b2 2cos Bsin Acos Bsin A，由正、余弦定理得由正、余弦定理得所以所以a a2 2(b(b2 2c c2 2a a2 2)b b2 2(a(a2 2c c2 2b b2 2)，即即(a(a2 2b b2 2)(c)(c2 2a a2 2b b2 2)0.0.所以所以a ab b或或c c2 2a a2 2b b2 2，所以所以ABCABC是等腰三角形或直角三角形是等腰三角形或直角三角形.答案：答案：等腰或直角等腰或直角【方法总结】【方法总结】确定三角形的形状主要的途径及方法确定三角形的形状主要的途径及方法途径一途径一:化边
26、为角化边为角途径二途径二:化角为边化角为边主主要要方方法法(1)(1)通过正弦定理实现边角互化通过正弦定理实现边角互化(2)(2)通过余弦定理实现边角互化通过余弦定理实现边角互化(3)(3)通过三角变换找出角之间的关系通过三角变换找出角之间的关系(4)(4)通过三角函数值的符号的判断以及正、余弦通过三角函数值的符号的判断以及正、余弦函数有界性的讨论函数有界性的讨论【变式训练】【变式训练】已知已知ABCABC，A A，B B，C C所对的边分别为所对的边分别为a a，b b，c c，且且acsin Aacsin A 则则ABCABC为为_角三角形角三角形(填锐、钝或直填锐、钝或直).).【解析】
27、【解析】因为因为acsin Aacsin A又又 =accos B =accos B，所以所以acsin Aaccos Bacsin AACBDACBC,BC,所以所以S SABDABDSSABCABC，1212分分由已知建造费用与用地面积成正比，故选择由已知建造费用与用地面积成正比，故选择ABCABC建造环境标建造环境标志费用较低志费用较低.即小李的设计使建造费用较低即小李的设计使建造费用较低.1414分分【点题】【点题】规避误区，规避误区，失分失分警示警示 失分点一失分点一题中题中处对余弦定理公式掌握不准出错处对余弦定理公式掌握不准出错失分点二失分点二忽略忽略处的处的C=D.C=D.导致无
28、法求解导致无法求解失分点三失分点三处不能将三角形问题还原为实际问题而处不能将三角形问题还原为实际问题而导致失分导致失分【变题】【变题】变式训练，能力迁移变式训练，能力迁移某港口某港口O O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口上，在小艇出发时，轮船位于港口O O北偏西北偏西3030且与该港口且与该港口相距相距2020海里的海里的A A处，并正以处，并正以3030海里海里/小时的航行速度沿正东方小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过向匀速行驶，经过t t小时与轮船相遇小时与轮船相遇.假设小艇的最高航行速假设小艇的最高
29、航行速度只能达到度只能达到3030海里海里/小时，试设计航行方案小时，试设计航行方案(即确定航行方向即确定航行方向和航行速度的大小和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由并说明理由.【解析】【解析】设小艇与轮船在设小艇与轮船在B B处相遇，且速度为处相遇，且速度为v v，如图，如图.由余弦定理得，由余弦定理得，(vt)(vt)2 2(20)(20)2 2(30t)(30t)2 22 2202030t30tcos 60cos 60，故故 因为因为0v300v30，所以所以 即即解得解得 又又 时，时，v v3030，故，故v v3030时，时，t t取最小值，且最小值为取最小值，且最小值为 此时，在此时，在OABOAB中，中，OAOAOBOBABAB2020，故设计航行方案如下：航行方向为北偏东，故设计航行方案如下：航行方向为北偏东3030，航行速度，航行速度为为3030海里海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.