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1、世纪金榜二轮专题辅导与练习专题三第二讲 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望必记公式必记公式1.1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：两角和与差的正弦、余弦、正切公式：S S()()：sin()=_.sin()=_.C C()()：cos()=_.cos()=_.T T()()：tan()=_.tan()=_.sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos cos cos sin sin sin sin 2.2.二倍角的正
2、弦、余弦、正切公式：二倍角的正弦、余弦、正切公式：S S22：sin 2=_.sin 2=_.C C22：cos 2=_=2coscos 2=_=2cos2 21=11=12sin2sin2 2.T T22：tan 2=tan 2=3.3.降幂公式：降幂公式：sinsin2 2=_.=_.coscos2 2=_.=_.2sin cos 2sin cos coscos2 2-sin-sin2 21.(20131.(2013郑州模拟郑州模拟)计算：计算：sin 43cos 13sin 43cos 13cos 43sin 13cos 43sin 13的结果等于的结果等于_._.【解析】【解析】原式原
3、式=sin(43=sin(43-13-13)=sin 30)=sin 30=答案：答案：2.(20132.(2013广东高考改编广东高考改编)已知已知 那么那么cos=_.cos=_.【解析】【解析】答案：答案：3.(20133.(2013浙江高考改编浙江高考改编)已知已知RR，sin+2cos=sin+2cos=则则tan 2=_.tan 2=_.【解析】【解析】由由解得解得 或或所以所以tan=tan=或或tan=3tan=3，当当tan=tan=时，时，当当tan=3tan=3时，时，tan 2=tan 2=答案：答案：4.(20134.(2013苏州模拟苏州模拟)已知已知cos(75+
4、)=cos(75+)=则则cos(30-2)cos(30-2)的值为的值为_._.【解析】【解析】因为因为cos(30cos(30-2)=cos-2)=cos180180-(150-(150+2)+2)=-cos(150=-cos(150+2)=-2cos+2)=-2cos2 2(75(75+)+1+)+1答案：答案：5.(20135.(2013南京模拟南京模拟)已知已知sin=+cos sin=+cos，且，且则则 =_.=_.【解析】【解析】因为因为sin=+cos sin=+cos，所以，所以cos-sin=cos-sin=答案：答案：热点考向热点考向 1 1 两角和与差的正弦、余弦、正
5、切公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式【典例【典例1 1】(1)=_.(1)=_.(2)(2013(2)(2013苏州模拟苏州模拟)若若 sin 2=sin 2=则则cos-sin=_.cos-sin=_.【解题探究解题探究】(1)47(1)47如何拆分？如何拆分？提示：提示：4747=17=17+30+30.(2)(2)当当 时，时，sin sin 与与cos cos 大小关系如何？大小关系如何？提示：提示：sin cos.sin cos.【解析】【解析】(1)(1)答案：答案：(2)(2)因为因为 所以所以sin cos,sin cos,cos-sin=cos-sin=答案：答案：【互动探
6、究】【互动探究】若题若题(2)(2)中中“”“”改为改为“”“”，其他条件不变，结果如何？其他条件不变，结果如何？【解析】【解析】因为因为 所以所以sin cos,sin cos,cos-sin=cos-sin=答案：答案：【变式备选】【变式备选】已知已知 =2 =2，则，则 =_.=_.【解析】【解析】tan x=tan x=所以所以答案：答案：【方法总结】【方法总结】关于两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用关于两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用(1)(1)公式的逆用公式的逆用:对于对于asin x+bcos xasin x+bcos x形式的三角式形式的三角式,当当|a|b|a|b|
7、等于等于11,1,1 11,1,1 时时,可提取可提取 后逆用两角和与差后逆用两角和与差的正弦公式化为的正弦公式化为 sin(x+sin(x+)的形式的形式,其中其中tan tan=(2)(2)公式的变形公式的变形:由两角和与差的正切公式可变形为由两角和与差的正切公式可变形为tan+tan+tan+tan(+)tan tan=tan(+),tan-tan tan+tan(+)tan tan=tan(+),tan-tan-tan(-)tan tan=tan(-)-tan(-)tan tan=tan(-)用于化简求值用于化简求值.(3)(3)拆角变换拆角变换:当已知条件中角比较多时当已知条件中角比
8、较多时,应设法寻求角度之应设法寻求角度之间的关系间的关系,必要时对角进行拆分必要时对角进行拆分,如如2=(+)+(-),2=(+)+(-),等等.热点考向热点考向 2 2 二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式【典例【典例2 2】(1)(2013(1)(2013四川高考四川高考)设设sin 2=-sin,sin 2=-sin,则则tan 2=_.tan 2=_.(2)(2013(2)(2013徐州模拟徐州模拟)已知已知 则则cos 2=_.cos 2=_.【解题探究】【解题探究】(1)(1)求求tan 2tan 2的值，只需求出的值，只需求出的哪个三角函数值？的哪个三角函数值
9、？提示：提示：因为因为tan 2=tan 2=所以只需求出所以只需求出tan tan 即可即可.(2)(2)求求cos 2cos 2的值，只需求的值，只需求的哪个三角函数值？的哪个三角函数值？提示：提示：cos cos 或或sin sin 都可以都可以.【解析】【解析】(1)(1)因为因为sin 2=-sin sin 2=-sin，所以，所以2sin cos=2sin cos=-sin-sin，即，即cos=cos=又因为又因为 所以所以tan=tan=tan 2=tan 2=答案：答案：(2)(2)因为因为 所以所以即即所以所以cos 2=2coscos 2=2cos2 2-1=-1=答案：
10、答案：【方法总结】【方法总结】1.1.应用二倍角公式的注意事项应用二倍角公式的注意事项(1)(1)由结论选择应用哪个公式由结论选择应用哪个公式.(2)(2)由公式选择求某个角的哪个三角函数值由公式选择求某个角的哪个三角函数值.2.2.关于二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用关于二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用(1)(1)降次与升次降次与升次:正用二倍角公式升次正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次逆用二倍角公式降次.(2)(2)常见变形常见变形:sin xcos x=sin 2x,(sin x:sin xcos x=sin 2x,(sin xcos x)cos x)2 2=1=1sin 2x.
11、sin 2x.【变式训练】【变式训练】已知函数已知函数f(x)=f(x)=(1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的最小正周期和值域的最小正周期和值域.(2)(2)若若为第二象限角，且为第二象限角，且 求求的值的值.【解析】【解析】(1)(1)因为因为f(x)=1+cos x-sin x=1+f(x)=1+cos x-sin x=1+所以所以函数函数f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为22，值域为，值域为-1-1，3 3.(2)(2)因为因为 所以所以1+2cos=1+2cos=即即cos=cos=因为因为又因为又因为为第二象限角，所以为第二象限角，所以sin=sin=所以原式所以原式
12、热点考向热点考向 3 3 三角恒等变换问题的综合应用三角恒等变换问题的综合应用【典例【典例3 3】(2013(2013梅州模拟梅州模拟)已知函数已知函数f(x)f(x)sin xcos x sin xcos x2cos2cos2 2x x1(xR)1(xR)(1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的最小正周期及在区间的最小正周期及在区间 上的最大值和最上的最大值和最小值小值.(2)(2)若若f(xf(x0 0)x x0 0 求求cos 2xcos 2x0 0的值的值.【解题探究】【解题探究】(1)(1)函数函数f(x)f(x)的化简思路：的化简思路：倍角公式：倍角公式：sin xcos x=s
13、in xcos x=_.降幂公式：降幂公式：2cos2cos2 2x x1=1=_.将将f(x)f(x)转化为转化为f(x)=Asin(x+f(x)=Asin(x+)可采用怎样的方法？可采用怎样的方法？提示：提示：可采用配凑法，也可采用辅助角公式可采用配凑法，也可采用辅助角公式asin x+bcos x=asin x+bcos x=sin(x+sin(x+)()(其中其中tan tan=).=).cos 2xcos 2x(2)(2)求求cos 2xcos 2x0 0的值的思路：的值的思路：配角：配角：2x2x0 0=_.求值：求值：cos 2xcos 2x0 0=_.(2x(2x0 0+)-)
14、-cos(2xcos(2x0 0+)cos)cos+sin(2x+sin(2x0 0+)sin)sin【解析】【解析】(1)(1)由由f(x)f(x)sin xcos x sin xcos x2cos 2cos 2 2x x1 1，得，得f(x)f(x)(2sin xcos x)(2sin xcos x)(2cos(2cos2 2x x1)1)sin 2xsin 2xcos 2xcos 2x所以函数所以函数f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为.因为因为f(x)f(x)在区间在区间 上为增函数，在区间上为增函数，在区间 上为减函数，上为减函数，又又f(0)f(0)1 1，所以函数所以函数
15、f(x)f(x)在区间在区间 上的最大值为上的最大值为2 2，最小值为，最小值为1.1.(2)(2)由由(1)(1)可知可知f(xf(x0 0)又因为又因为f(xf(x0 0)所以所以由由x x0 0 得得从而从而所以所以cos 2xcos 2x0 0【方法总结】【方法总结】1.1.三角函数式化简的思路与方法三角函数式化简的思路与方法(1)(1)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的运用另外，还可
16、以用切化对于二次根式，注意二倍角公式的运用另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法弦、变量代换、角度归一等方法(2)(2)化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂等或升幂等2.2.常用角的变形常用角的变形(1)(1)().(2)(.(2)().(3)(3)()()2.(4)(2.(4)()()2.2.(5)(5)【变式训练】【变式训练】已知函数已知函数f(x)=2sin xcos x+cos 2x(xR).f(x)=2sin xcos x+cos 2x(xR).(1)(1)当当x x取什么值时，函数取什么值时，函数f(x)
17、f(x)取得最大值，并求其最大值取得最大值，并求其最大值.(2)(2)若若为锐角，且为锐角，且 求求tan tan 的值的值.【解析】【解析】(1)f(x)=2sin xcos x+cos 2x(1)f(x)=2sin xcos x+cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin 2x+cos 2x=所以当所以当 (kZ)(kZ)，即，即x=k+(kZ)x=k+(kZ)时，时，函数函数f(x)f(x)取得最大值，其值为取得最大值，其值为(2)(2)因为因为 所以所以所以所以cos 2=cos 2=因为因为为锐角，即为锐角，即0 0 所以所以02,02,所以所以sin 2=sin 2=所以所以
18、tan 2=tan 2=所以所以 所以所以 tantan2 2+tan-=0,+tan-=0,所以所以(tan-1)(tan+)=0,(tan-1)(tan+)=0,所以所以tan=tan=或或tan=(tan=(不合题意，舍去不合题意，舍去),),所以所以tan=tan=【典例】【典例】已知已知A A，B B，C C是是ABCABC的三个内角，向量的三个内角，向量n(cos A(cos A，sin A)sin A)，且，且mn1.1.(1)(1)求角求角A.A.(2)(2)若若 求角求角B.B.三角恒等变换的交汇问题三角恒等变换的交汇问题【解题探究】【解题探究】(1)(1)本题中本题中mn=
19、_.(2)(2)已知三角函数之间的关系求角已知三角函数之间的关系求角B B的思路：的思路：化简：利用三角公式将化简：利用三角公式将 化简；化简；求值：化简求得求值：化简求得tan Btan B的值，这里用到的值，这里用到_的的求解方法求解方法.三角函数的齐次式三角函数的齐次式【解析】【解析】(1)(1)因为因为mn所以所以因为因为0 0A A，所以，所以所以所以(2)(2)因为因为所以所以所以所以所以所以所以所以 解得解得所以所以【方法总结】【方法总结】与三角恒等变换交汇问题的解题思路与三角恒等变换交汇问题的解题思路(1)(1)与平面向量交汇：利用平面向量坐标表示、数量积、向量与平面向量交汇：
20、利用平面向量坐标表示、数量积、向量的模、向量的夹角等进行运算，将平面向量问题转化为三角恒的模、向量的夹角等进行运算，将平面向量问题转化为三角恒等变换问题等变换问题.(2)(2)与三角形交汇：利用三角形内角和为与三角形交汇：利用三角形内角和为180180度，确定角的范围，度，确定角的范围，有时结合正余弦定理解答有时结合正余弦定理解答.【变式备选】【变式备选】已知已知a=(1,cos x),=(1,cos x),b=x(0,).=x(0,).(1)(1)若若ab，求，求 的值的值.(2)(2)若若ab，求，求sin x-cos xsin x-cos x的值的值.【解析】【解析】(1)(1)因为因为
21、ab 所以所以(2)(2)因为因为ab 所以所以(sin x-cos x)(sin x-cos x)2 2=1-2sin xcos x=1-2sin xcos x=又因为又因为x(0 x(0，)且且sin xcos xsin xcos x0 0 sin x-cos xsin x-cos x0 0，所以，所以sin x-cos x=sin x-cos x=转化与化归思想转化与化归思想解答三角恒等变换问题解答三角恒等变换问题【思想诠释】【思想诠释】1.1.主要类型：主要类型：(1)(1)求角的问题，如常用到角的转化，即单角转求角的问题，如常用到角的转化，即单角转化为倍角、半角；函数名的转化，将切函
22、数转化为弦函数；函化为倍角、半角；函数名的转化，将切函数转化为弦函数；函数结构式的转化，遵循由繁到简的原则数结构式的转化，遵循由繁到简的原则.(2).(2)求函数的值域、单求函数的值域、单调性、周期，如常先将函数的解析式转化为调性、周期，如常先将函数的解析式转化为y=Asin(x+y=Asin(x+)+B)+B(或或y=Acos(x+y=Acos(x+)+B)+B，y=Atan(x+y=Atan(x+)+B)+B)的形式，即将问题的形式，即将问题转化为求转化为求y=sin x(y=sin x(或或y=cos xy=cos x，y=tan x)y=tan x)的值域、单调性、周的值域、单调性、周
23、期期.2.2.解题思路：一角二名三结构，即用转化与化归的思想解题思路：一角二名三结构，即用转化与化归的思想“去异去异求同求同”的过程，具体分析如下：的过程，具体分析如下：(1)(1)变角：观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形变角：观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心式，角的变换是三角函数变换的核心.(2).(2)变名：看函数名称之变名：看函数名称之间的关系，通常间的关系，通常“切化弦切化弦”，注意诱导公式的运用，注意诱导公式的运用.(3).(3)结构：结构：观察代数式的结构特点，降幂与升幂，巧用观察代数式的结构特点，降幂与升幂，巧用“1”“1”的
24、代换等的代换等3.3.注意事项：注意事项：(1)(1)在运用诱导公式的过程中，常出现三角函数在运用诱导公式的过程中，常出现三角函数名变换错误、三角函数值的符号错误等情况，应加强对公式的名变换错误、三角函数值的符号错误等情况，应加强对公式的理解，避免出现错误理解，避免出现错误.(2).(2)在利用三角恒等变换求三角函数值时在利用三角恒等变换求三角函数值时不要忽略正弦、余弦函数的有界性，重视角的范围的探求不要忽略正弦、余弦函数的有界性，重视角的范围的探求.【典例】【典例】(14(14分分)(2013)(2013合肥模拟合肥模拟)已知函数已知函数f(x)=f(x)=(1)(1)当当m=0m=0时，求
25、时，求f(x)f(x)在区间在区间 上的取值范围上的取值范围(2)(2)当当tan=2tan=2时，时，f()=f()=求求m m的值的值【审题】【审题】分析信息，形成思路分析信息，形成思路(1)(1)切入点：把切入点：把m=0m=0代入代入f(x)f(x)，利用三角恒等变换进行求解，利用三角恒等变换进行求解关注点：含有区间关注点：含有区间 需进行区间转化需进行区间转化(2)(2)切入点：用三角恒等变换进行转化切入点：用三角恒等变换进行转化关注点：给出关注点：给出tan=2tan=2，考虑到三角函数的齐次式，考虑到三角函数的齐次式【解题】【解题】规范步骤，水到渠成规范步骤，水到渠成(1)(1)
26、当当m=0m=0时，时，f(x)=sinf(x)=sin2 2x+sin xcos xx+sin xcos x2 2分分又由又由x x 得得 ，4 4分分所以所以 ，从而从而f(x)=f(x)=所以所以f(x)f(x)在区间在区间 上的取值范围为上的取值范围为 6 6分分(2)f(x)=(2)f(x)=化简得：化简得：f(x)=f(x)=9 9分分由由tan=2tan=2，得：，得：，cos 2=cos 2=1212分分所以所以得得m=-2m=-2 1414分分【点题】【点题】规避误区，失分警示规避误区，失分警示 失分点一失分点一处对三角公式掌握不准转化错误处对三角公式掌握不准转化错误失分点二
27、失分点二忽略了对忽略了对处的有界性的分析导致出错处的有界性的分析导致出错失分点三失分点三处对函数图象把握不牢处对函数图象把握不牢,导致范围出错导致范围出错失分点四失分点四处忽视了三角齐次式的解题技巧处忽视了三角齐次式的解题技巧,导致错误导致错误【变题】【变题】变式训练，能力迁移变式训练，能力迁移(2013(2013嘉兴模拟嘉兴模拟)已知函数已知函数f(x)=xRf(x)=xR，且，且(1)(1)求求A A的值的值(2)(2)设设,求求cos(+)cos(+)的值的值【解析】【解析】(1)(1)因为因为所以所以所以所以A=A=(2)(2)因为因为所以所以所以所以sin=sin=又因为又因为所以所以所以所以cos=cos=又因为又因为,所以所以cos=sin=cos=sin=所以所以cos(+)=cos cos cos(+)=cos cos sin sin sin sin