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1、一、主干知识1.定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.2.定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.第1页/共69页3.最值问题的两大求解策略：解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别关注用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的结构特征直接或换元后选用基本不等式法、导数法、数形结合法等求最值.第2页/共69页二、重要结论1.直线与
2、圆锥曲线相交的问题，牢记“联立方程，把要求的量转化为根与系数的关系”.2.有关弦长问题，牢记弦长公式 及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要牢记圆锥曲线定义的运用，以简化运算.3.涉及弦中点的问题，牢记“点差法”是联系中点坐标和弦所在直线的斜率的好方法.212AB1kxx12211| yy |k第3页/共69页4.求参数范围的问题，牢记“先找不等式，有时需要找出两个量之间的关系，然后消去另一个量，保留要求的量”.不等式的来源可以是0或圆锥曲线的有界性或是题目条件中的某个量的范围等.5.牢记曲线f1(x,y)+f2(x,y)=0(为参数)过曲线f1(x,y)=0与f2(x,y)=0
3、的交点.第4页/共69页1.(2013昆明模拟)已知直线x=t与椭圆 交于P，Q两点，若点F为该椭圆的左焦点，则 取最小值时t的值为_.【解析】椭圆的左焦点F(-4,0),根据对称性可设P(t,y),Q(t,-y)，则 =(t+4,y), =(t+4,-y),所以 =(t+4,y)(t+4,-y)=(t+4)2-y2.又因为所以 =(t+4)2-y2=t2+8t+16-9+ t2=所以当 时， 取值最小.答案：22xy1259FP FQ FPFQ FP FQ 222t9y9(1)9t ,2525FP FQ 925234t8t7,25b50t2a17 FP FQ 5017第5页/共69页2.(2
4、013重庆模拟)以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x+2=0相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是_.【解析】由抛物线定义知该圆必过抛物线y2=8x的焦点F(2,0).答案：(2，0)第6页/共69页3.(2013江西高考改编)已知点A(2，0)，抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则FM MN=_.【解析】设直线FA的倾斜角为，因为F(0,1)，A(2,0)，所以直线FA的斜率为 即tan = 过点M作准线的垂线交准线于点Q，由抛物线定义得FM=MQ，在MQN中可得 即FMMN=1答案：112 ，12 ，MQ1,QN2MQ1MN5
5、，5.5第7页/共69页4.(2013盐城模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点在原点，焦点为F(1，0)过抛物线在x轴上方的不同两点A，B作抛物线的切线AC，BD，与x轴分别交于C，D两点，且AC与BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N(1)求抛物线的标准方程.(2)求证：MNx轴.(3)若直线MN与x轴的交点恰为F(1，0)，求证：直线AB过定点第8页/共69页【解析】(1)设抛物线的标准方程为y2=2px(p0)，由题意，得 即p=2所以抛物线的标准方程为y2=4x(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且y10，y20由y2=4x(y0)，得所以切线AC的方程为y-y
6、1=即yy1= (xx1)整理，得yy1=2(x+x1)，p12 ，1y2 xyx ，所以111xxx，12y第9页/共69页且C点坐标为(x1，0)同理得切线BD的方程为yy2=2(x+x2)，且D点坐标为(x2，0)由消去y，得xM=又直线AD的方程为 直线BC的方程为 由消去y，得xN=所以xM=xN，即MNx轴122112x yx yyy1212yyxxxx，2112yyxxxx122112x yx yyy第10页/共69页(3)由题意,设M(1,y0),代入(2)中的,得y0y1=2(1+x1),y0y2=2(1+x2).所以A(x1,y1),B(x2,y2)都满足方程y0y=2(1
7、+x).所以直线AB的方程为y0y=2(1+x).故直线AB过定点(-1,0).第11页/共69页热点考向 1 定点的探究与证明问题 【典例1】(1)(2013郑州模拟)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x20)是抛物线y2=4x上的两个动点,O是坐标原点, =0,则直线AB过定点.(2)(2013聊城模拟)如图,已知椭圆C: (ab0)的离心率为 以原点O为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+ =0相切.OA OB 2222xy1ab1,26第12页/共69页求椭圆的标准方程.设P(4,0),A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明
8、动直线AE经过一定点.第13页/共69页【解题探究】(1)由 =0，得y1y2为定值_；当x1x2时，直线AB的斜率kAB=_(用y1,y2表示)直线AB的方程为_.(用y1,y2表示)当x1=x2时，直线AB的方程为x=_.(2)由离心率为 _;由点到直线的距离求得b=_.证明动直线AE经过一定点的关键是什么？提示：关键选与直线PB有关的参数建立直线AE的方程.OA OB -16124yy(y1+y2)y=4(x-4)421,a2得24b33第14页/共69页【解析】(1)因为所以x1x2+y1y2=0，y1y2=-16，当x1x2时，AB方程y-y1=(y1+y2)y-y12-y1y2=4
9、x-4x1(y1+y2)y=4x-16,即(y1+y2)y=4(x-4)经过(4,0)，当x1=x2时，x1=x2=4,即直线AB方程为x=4过点(4，0).答案：(4，0)221122OA OB0,y4x ,y4x , AB124k,yy1124(xx )yy第15页/共69页(2)由题意知所以又因为以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+ =0相切，所以有所以故椭圆的方程为：c1,a22222222cab14,ab ,aa43即66b3,1 1224ab4,322xy1.43第16页/共69页由题意知直线PB的斜率存在；设直线PB的方程为y=k(x-4),由得(4k2+3)x
10、2-32k2x+64k2-12=0.设点B(x1,y1),E(x2,y2),A(x1,-y1),则x1+x2= x1x2= ()直线AE的斜率kAE=所以直线AE的方程为y-y2= (x-x2).22yk x4 ,xy1,432232k,4k32264k124k31221yy,xx1221yyxx第17页/共69页令y=0,得x=x2+ 将y1=k(x1-4),y2=k(x2-4)代入并整理得： ()将()代入()整理得所以，直线AE过定点(1,0).12212xxyyy1212122x x4 xxxxx822222264k1232k244k34k3x1.32k84k3 第18页/共69页【互
11、动探究】若本例(1)中抛物线方程为y2=2px(p0)，且弦AB的中点到直线x-2y=0的距离的最小值为 且 求抛物线方程.【解析】设AB中点C(x,y),则若中点C到直线x-2y=0的距离为d,则所以2 55OA OB0 ，1212xxx,2yyy,21212xx|yy|2d52212121|yyyy|4pd5第19页/共69页当y1+y2=2p时，d有最小值由题设得所以p=2,此时抛物线方程为y2=4x.2222212121212yy2y y4p yy8pyy2p4p4 5p4 5pp,5p2 5,55第20页/共69页【方法总结】动线过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l过定点问题，解
12、法：设动直线方程(斜率存在)为y=kx+t,由题设条件将t用k表示为t=mk,得y=k(x+m),故动直线过定点(-m,0).(2)动曲线C过定点问题,解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.第21页/共69页【变式备选】(2013南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，焦点F的坐标为(1,0)(1)求抛物线C的标准方程.(2)设M,N是抛物线C的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为-4，直线MO,NO与抛物线的交点分别为点A,B，求证：动直线AB恒过一个定点第22页/共69页【解析】(1)设抛物线的标准方程为y2=2px(p0)，
13、则 =1，p=2，所以抛物线C的标准方程为y2=4x(2)抛物线C的准线方程为x=-1，设M(-1,y1)，N(-1,y2)，其中y1y2=-4,则直线MO的方程为y=y1x，将y=y1x与y2=4x联立，解得A点的坐标为 同理可得B点的坐标为则直线AB的方程为整理，得(y1+y2)y4x+4=0.p221144(,yy) ，22244(,),yy22222121244yxyy4444yyyy，第23页/共69页由故动直线AB恒过一个定点(1，0) y0,y0,44x0,x1,解得第24页/共69页热点考向 2 定值的探究与证明问题 【典例2】(2013北京模拟)椭圆T的中心为坐标原点O，右焦
14、点为F(2,0),且椭圆T过点E(2， ).ABC的三个顶点都在椭圆T上，设三条边(AB,BC,AC)的中点分别为M，N，P.(1)求椭圆T的方程.(2)设ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3，且ki0,i=1,2,3.若直线OM，ON，OP的斜率之和为0.求证： 为定值.2123111kkk第25页/共69页【解题探究】(1)设椭圆T的方程为 (ab0),则a=_,b=_.(2)证明 为定值的两关键点:表示:将 中的量k1,k2,k3用_表示；化简：利用约束条件：_化简得定值.2222xy1ab2 22123111kkk123111kkk动点M,N,P的坐标kOM+kON+kO
15、P=0第26页/共69页【解析】(1)设椭圆T的方程为 (ab0),由题意知：左焦点为F(-2,0),所以2a=EF+EF=解得a= b=2.故椭圆T的方程为2222xy1ab23 24 2,2 2,22xy1.84第27页/共69页(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),M(s1,t1),N(s2,t2), P(s3,t3).方法一：由两式相减，得到(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0，所以即同理所以又因为直线OM，ON，OP的斜率之和为0,所以22221122x2y8,x2y8,12121112121yyxxs11k,xx2 yy2 t 1
16、11t12,ks 322233tt112,2,ksks 312123123ttt1112(),kkksss 1231110.kkk第28页/共69页方法二：设直线AB:y-t1=k1(x-s1),代入椭圆x2+2y2=8,得到化简得以下同方法一.222111 1111 112kx4 tk sk x2 tk s80 ，11 11121214 tk skxx2s ,12k111s1k.2 t 第29页/共69页【方法总结】求解定值问题的两大途径(1)由特例得出一个值(此值一般就是定值)证明定值：将问题转化为证明代数式与参数(某些变量)无关(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约
17、束条件正负项抵消或分子分母约分得定值.第30页/共69页【变式训练】(2013天津模拟)已知E(2,2)是抛物线C:y2=2px上一点，经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A，B两点(不同于点E)，直线EA，EB分别交直线x=-2于点M，N.(1)求抛物线方程及其焦点坐标.(2)已知O为原点，求证： 为定值.OM ON 第31页/共69页【解析】(1)将E(2,2)代入y2=2px,得p=1,所以抛物线方程为y2=2x,焦点坐标为(2)设 M(xM,yM),N(xN,yN).方法一：因为直线l不经过点E，所以直线l一定有斜率.设直线l方程为y=k(x-2),与抛物线方程联立得到消去x,得：k
18、y2-2y-4k=0，则由根与系数的关系得：y1y2=-4,y1+y2=1( ,0).2221212yyA(,y ),B(,y ),222yk x2 ,y2x,2,k第32页/共69页直线AE的方程为:即令x=-2,得yM=同理可得：yN=又 =(-2,yM), =(-2,yN),所以121y2y2x2 ,y2212yx22,y2112y4,y2222y4.y2OM ON12MN12121212122y4 2y4OM ON4y y4y2y244( 44)4 y y2 yy4k440.4y y2 yy444k 第33页/共69页方法二：设直线l方程为x=my+2,与抛物线方程联立得到消去x,得:
19、y2-2my-4=0.则由根与系数的关系得：y1y2=-4,y1+y2=2m,直线AE的方程为:即 (x-2)+2,令x=-2,得2xmy2,y2x,121y2y2x2 ,y2212yy21M12y4y,y2第34页/共69页同理可得：又 =(-2,yM), =(-2,yN), =4+yMyN=4+2N22y4yy2OM ONOM ON 12124 y2y2y2 (y2)121212124 y y2 yy44y y2 yy4444m440.44m4 第35页/共69页热点考向 3 与圆锥曲线有关的最值(范围)问题【典例3】(1)(2013厦门模拟)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x
20、=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_.(2)(2013昆明模拟)直线y=kx-2与椭圆 相交于A，B两点，O为原点，在OA，OB上分别存在异于O点的M，N，使得O在以MN为直径的圆外，则直线斜率k的取值范围为_.22xy143第36页/共69页(3)(2013徐州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E: (ab0)的离心率 A1,A2分别是椭圆E的左、右两个顶点，圆A2的半径为a，过点A1作圆A2的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q.求直线OP的方程.求 的值.设a为常数，过点O作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E于点B，C，分别交圆A2
21、于点M，N，记OBC和OMN的面积分别为S1,S2,求S1S2的最大值.2222xy1ab3e,21PQQA第37页/共69页【解题探究】(1)关键：将动点P到直线l2:x=-1的距离，转化为动点P到抛物线焦点F_的距离，进而数形结合知，当点F，P及P在直线l1上的射影三点_时，和最小.(2)关键：根据_构建关于k的不等式求解.(3)A2OP= _,xP=_,xQ=_, _.求最大值的三个步骤：()引入变量：设直线OM的方程为_(1，0)共线O在以MN为直径的圆外60a2a71PQQA1PQQAxxxxy=kx(k0)第38页/共69页()构建函数：S1S2= _()求最值：根据S1S2的结构
22、特征，应选择用什么方法求其最值？提示：应分子、分母同除以k后，用基本不等式法求最值.【解析】(1)如图，因为抛物线的方程为y2=4x，所以焦点坐标F(1,0)，准线方程为x=-1.所以设P到准线的距离为PB,422a k14k(4k )第39页/共69页则PB=PF.P到直线l1:4x-3y+6=0的距离为PA，所以PA+PB=PA+PFFD,其中FD为焦点到直线4x-3y+6=0的距离，所以所以距离之和最小值是2.答案：22240610FD2,534第40页/共69页(2)联立方程组消去y整理得(4k2+3)x2-16kx+4=0,因为直线与椭圆有两个交点，所以=(-16k)2-16(4k2
23、+3)0,解得 因为原点O在以MN为直径的圆外，所以MON为锐角，即 0,而M，N分别在OA，OB上且异于O点，22ykx2,xy143，21k4OM ON 第41页/共69页即 0.设A，B两点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2), =(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=(k2+1)x1x2-2k(x1+x2)+4=(k2+1)解得 综合可知：k答案：OA OB OA OB 22416k2k40,4k34k324k,32 311 2 3(,)( ,).32232 311 2 3(,)( ,)3223第42页/共69页(3)连结A2P,则A2PA1P,且A2P=a,又A1
24、A2=2a,所以A1A2P=60.所以A2OP=60，所以直线OP的方程为y= x.由知，直线A2P的方程为y=- (x-a),A1P的方程为联立解得xP= 因为 所以故椭圆E的方程为333yxa ,3a,23c3e,2a2即222231ca ,ba ,442222x4y1.aa第43页/共69页所以Q22223yxa ,a3x.7x4y1,aa 由解得1aa()PQ327.aQA4a7 第44页/共69页不妨设OM的方程为y=kx(k0),联立方程组22222222ykx,aakB(,),x4y1,14k14kaa1kOBa.14k解得所以第45页/共69页用 代替上面的k，得同理可得，所以
25、S1S2= OBOCOMON=a4因为当且仅当k=1时等号成立，所以S1S2的最大值为1k221kOCa.4k222a2akOM,ON,1k1k1422k.14k4k2222k11,1514k4k4(k)17k4a.5第46页/共69页【方法总结】1.与圆锥曲线有关最值的两种解法(1)数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解.(2)构建函数法:先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值.第47页/共69页2.与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解.(2)构建不等式法
26、：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域.第48页/共69页【变式训练】(2013长春模拟)已知椭圆C的方程为(ab0)，其离心率为 经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦长为3.(1)求椭圆C的方程.(2)设直线l:y=kx+m(|k| )与椭圆C交于A，B两点，P为椭圆上的点，O为坐标原点，且满足 求 的取值范围.2222xy1ab12，12OPOAOB ，|OP| 第49页/共69页【解析】(1)由已知可得所以3a2=4b2.又解之得a2=4,b2=3.故椭圆C的方程为2222ab1e,a42b3,a222xy1.
27、43第50页/共69页(2) 消y化简整理得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(3+4k2-m2)0设A，B，P点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x0,y0),则x0=x1+x2=y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=由于点P在椭圆C上，所以从而22ykxm,xy1,43由28km,34k26m.34k2200 xy1.43222222216k m12m1,34k34k第51页/共69页化简得4m2=3+4k2,经检验满足式.又因为 得34k2+34,有故2222222002222224m16k964k m
28、36mOPxy34k34k34k 22216k934.4k34k31k,22331,44k3133OP.2 第52页/共69页转化与化归思想 解决圆锥曲线中的定点、定值与最值问题【思想诠释】1.主要类型：(1)动直线、曲线过定点问题的求解，转化为含参数二元一次或二次方程恒成立问题.(2)与动点、动线有关式子为定值问题的求证，转化为代数式的表示、化简、求值问题.(3)与圆锥曲线有关的最值问题的求解，转化成函数的最值问题求解.第53页/共69页2.解题思路：常常引入适量的参变量(如动点坐标、动直线斜率等)，根据题设条件，构建方程、不等式或函数，将几何问题转化为方程恒成立或代数式的化简及函数的最值、
29、不等式的求解等问题求解.3.注意事项：(1)恰当引入参变量，搞清量与量间的关系，将几何问题代数化.(2)对一些参变量若取值情况不明确(如斜率)要准确分类讨论.第54页/共69页【典例】(16分)(2013广州模拟)在平面直角坐标系xOy中，动点P在椭圆C1: +y2=1上，动点Q是动圆C2:x2+y2=r2(1r2)上一点.(1)设椭圆C1上的三点A(x1,y1), C(x2,y2)与点F(1,0)的距离依次成等差数列，线段AC的垂直平分线是否经过一个定点？说明理由.(2)若直线PQ与椭圆C1和动圆C2均只有一个公共点，求P,Q两点的距离PQ的最大值.2x22B(1,2) ，第55页/共69页
30、【审题】分析信息，形成思路(1)切入点：求线段AC的中点、斜率，进而确定线段AC的垂直平分线的方程.关注点：用好线段AC的垂直平分线.(2)切入点：引入参变量，将PQ用参变量表示.关注点：直线PQ的斜率不明确，需说明存在情况.第56页/共69页【解题】规范步骤，水到渠成(1)椭圆C1: 的离心率 右焦点为(1,0)，由题意可得因为2BF=AF+CF,所以即得x1+x2=2.3分因为A,C在椭圆上，故有两式相减，整理得： 5分22xy122e2，12222AF2x,BF2 1 ,CF2x.222122222x2x22 1 ,22222221212xxy1,y1,222121AC2121yyxxk
31、xx2(yy ) 211.yy 第57页/共69页设线段AC的中点为(m,n),而所以与直线AC垂直的直线斜率为k=y2+y1=2n.则线段AC的垂直平分线的方程为y-n=2n(x-1),即y=n(2x-1)经过定点 7分(2)依题意得，直线PQ的斜率显然存在，设方程为y=kx+t,设P(x1,y1),Q(x2,y2),由于直线PQ与椭圆C1相切，点P为切点，从而有1212xxyym1,n,221( ,0).2112211ykxt,xy12 ，第58页/共69页得(2k2+1)x12+4ktx1+2(t2-1)=0.10分故=(4kt)2-42(t2-1)(2k2+1)=0,从而可得t2=1+
32、2k2,x1= 直线PQ与圆C2相切，则得t2=r2(1+k2),12分由得k2= 并且PQ2=OP2-OQ2=x12+y12-r2=x12+（1- ）-r2=1+ -r2=1+=3-r2- 14分即PQ -1,当且仅当r2= (1,4)时取等号，故P，Q两点的距离PQ的最大值为 -1.16分2kt2tr,1k22r12r，21x221x22222kr12k22r232 221 .222第59页/共69页【点题】规避误区，失分警示 失分失分点一点一不能建立处的线段不能建立处的线段ACAC的垂直平分线方程的垂直平分线方程, ,而而导致该问不得分导致该问不得分失分失分点二点二忽略处讨论导致解题不全
33、而失分忽略处讨论导致解题不全而失分失分失分点三点三不能将不能将PQPQ表示成处的关于表示成处的关于r r的函数的函数, ,导致无导致无法求其最值而失分法求其最值而失分第60页/共69页【变题】变式训练，能力迁移(2013南通模拟)如图，已知定点R(0,-3)，动点P，Q分别在x轴和y轴上移动，延长PQ至点M，使 且(1)求动点M的轨迹C1.(2)圆C2:x2+(y-1)2=1，过点(0,1)的直线l依次交C1于A，D两点(从左到右)，交C2于B，C两点(从左到右)，求证: 为定值.1PQQM2 ，PR PM0. AB CD 第61页/共69页【解析】(1)方法一：设M(x,y),P(x1,0)
34、,Q(0,y2),则由 及R(0,-3),得化简，得x2=4y.所以，动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线.1PR PM0,PQQM2 111xxx3 y0,1xx.2 第62页/共69页方法二：设M(x,y),所以，由即 化简得x2=4y.所以，动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线.1xyPQQM,P(,0),Q(0,).223 由得x3xPR(, 3),PM(,y).22 x3PR PM0, 3) (x,y)0,22 ，得(23x3y04 ，第63页/共69页(2)由题意，得 =ABCD,C2的圆心即为抛物线C1的焦点F.设A(x3,y3),D(x4,y4),则AB=FA-FB=y3+1-1=y3,同理CD=y4.当直线斜率为0时，y3=y4=1，可得当直线斜率不为0时，设直线的方程为x=k(y-1),AB CD AB CD1; 第64页/共69页即k2y2-(2k2+4)y+k2=0,所以, =ABCD=y3y4=1.222xk y1 ,1yky1,14yx ,4由得AB CD 第65页/共69页第66页/共69页第67页/共69页第68页/共69页感谢您的观看！第69页/共69页