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1、世纪金榜二轮专题辅导与练习专题四第三讲 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望1.(20131.(2013南京模拟南京模拟)设等比数列设等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n(nN(nN*)，若若S S3 3,S,S9 9,S,S6 6成等差数列，则成等差数列，则 的值是的值是_._.【解析】【解析】依题设知，依题设知，2S2S9 9=S=S3 3+S+S6 6,显然公比显然公比q1,q1,所以所以即即2(1-q2(1-q9 9)=1-
2、q)=1-q3 3+1-q+1-q6 6,所以所以2q2q9 9=q=q3 3+q+q6 6.又因为又因为q0,q0,所以所以2q2q6 6=1+q=1+q3 3,答案：答案：2.(20132.(2013天津模拟天津模拟)在等差数列在等差数列aan n 中，中，a a1 1=1,a=1,a7 7=4,=4,数列数列bbn n 是等比数列，且是等比数列，且b b1 1=6,b=6,b2 2=a=a3 3,则满足则满足b bn na a26261 1的最小正整数的最小正整数n n为为_._.【解析】【解析】因为等差数列因为等差数列aan n 中，中，a a1 1=1,a=1,a7 7=4,=4,所
3、以所以1+6d=4,1+6d=4,解得解得因为数列因为数列bbn n 是等比数列，且是等比数列，且b b1 1=6,b=6,b2 2=a=a3 3,所以所以解得解得因为因为b bn na a26261,1,所以所以整理，得整理，得所以所以n-1n-14,4,解得解得n n5,5,所以最小正整数所以最小正整数n=6.n=6.答案：答案：6 63.(20133.(2013昆明模拟昆明模拟)已知数列已知数列aan n 为等比数列，且为等比数列，且a a1 1a a1313+2a+2a7 72 2=5=5，则，则cos(acos(a2 2a a1212)的值为的值为_._.【解析】【解析】在等比数列中
4、在等比数列中,a a1 1a a1313+2a+2a7 72 2=a=a7 72 2+2a+2a7 72 2=3a=3a7 72 2=5=5，所以，所以a a7 72 2=所以所以cos(acos(a2 2a a1212)=cos(a)=cos(a7 72 2)=)=答案答案:4.(20134.(2013青岛模拟青岛模拟)在如图的表格中，每格填上一个数字后，在如图的表格中，每格填上一个数字后，使得每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则使得每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a+b+ca+b+c的的值为值为_._.【解析】【解析】由题意知由题意知2a=12a=1，所以，所以 第三列和第
5、五列的公比都第三列和第五列的公比都为为 设第四行第五列数为设第四行第五列数为m m，则，则 所以所以 即即 所以所以答案答案:1 15.(20135.(2013安庆模拟安庆模拟)已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和是项和是S Sn n，且，且(nN(nN*).).(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.(2)(2)设设b bn n=log=log3 3(1-S(1-Sn+1n+1)(nN)(nN*)，求适合方程，求适合方程 的正整数的正整数n n的值的值.【解析】【解析】(1)(1)当当n=1n=1时，时，a a1 1=S=S1 1，由，由 得得当当n2n2时，因为
6、时，因为所以所以所以所以所以所以aan n 是以是以 为首项，为首项，为公比的等比数列为公比的等比数列.故故(2)(2)b bn n=解方程解方程 得得n=100.n=100.热点考向热点考向 1 1 数列与函数的综合数列与函数的综合【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013黄冈模拟黄冈模拟)设函数设函数f(x)=2x-cos x,g(x)=f(x)=2x-cos x,g(x)=2x+sin x,2x+sin x,数列数列aan n 是公差为是公差为 的等差数列，若的等差数列，若则则(2)(2)已知函数已知函数f(x)=M(xf(x)=M(x1 1,y,y1 1),N(x),N(x2
7、 2,y,y2 2)是是f(x)f(x)图象上图象上的两点，横坐标为的两点，横坐标为 的点的点P P是线段是线段MNMN的中点的中点.求证：求证：y y1 1+y+y2 2为定值；为定值；若若 求求S Sn n；在在的条件下，若的条件下，若T Tn n为数列为数列aan n 的前的前n n项的和，若项的和，若T Tn nm(Sm(Sn+1n+1+1)+1)对一切对一切nNnN*都成立，试求实数都成立，试求实数m m的取值范围的取值范围.【解题探究】【解题探究】(1)(1)求求 的关键点的关键点.由由g(x)=2x+sin xg(x)=2x+sin x知知=(2)(2)根据点根据点P P是线段是
8、线段MNMN的中点，可得的中点，可得x x1 1+x+x2 2是多少？是多少？提示：提示：x x1 1+x+x2 2=1.=1.根据根据x x1 1+x+x2 2=1=1，y y1 1+y+y2 2为定值及为定值及 可采用什么方法求可采用什么方法求S Sn n？提示：提示：倒序相加法倒序相加法.求实数求实数m m取值范围的步骤：取值范围的步骤：()()求求a an n:当当n2n2时，时，a an n=,=,当当n=1n=1时，时，a a1 1=适合上式适合上式.()()求求T Tn n:T:Tn n=.=.()()分离参数分离参数m:m:根据根据T Tn nm(Sm(Sn+1n+1+1),+
9、1),可得可得m m 即即m m .()()求最值，确定求最值，确定m m的范围：利用的范围：利用m m大于大于 的最大值，求的最大值，求m m的范围的范围.【解析】【解析】(1)(1)由由g(x)=2x+sin xg(x)=2x+sin x知知 所以由所以由得得答案：答案：0 0(2)(2)由已知可得，由已知可得，x x1 1+x+x2 2=1,=1,所以所以=由由知当知当x x1 1+x+x2 2=1=1时时,y y1 1+y+y2 2=f(x=f(x1 1)+f(x)+f(x2 2)=1.)=1.S Sn n=S Sn n=(b)=(b)(a)+(b)(a)+(b)得得当当n2n2时，时
10、，a an n=又当又当n=1n=1时，时，所以所以故故因为因为T Tn nm(Sm(Sn+1n+1+1)+1)对一切对一切nNnN*都成立，都成立，即即 恒成立，恒成立，又又所以所以m m的取值范围是的取值范围是【方法总结】【方法总结】数列与函数交汇问题的常见类型及解法数列与函数交汇问题的常见类型及解法(1)(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题性质、图象研究数列问题.(2)(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、分式、求
11、和方法对式子化简变形利用数列的范围、分式、求和方法对式子化简变形.另外，解另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解求解.【变式训练】【变式训练】(2013(2013启东模拟启东模拟)已知无穷数列已知无穷数列aan n 中，中，a a1 1,a,a2 2,，a am m是首项为是首项为1010，公差为，公差为-2-2的等差数列；的等差数列；a am+1m+1,a,am+2m+2,，a a2m2m是首项为是首项为 公比为公比为 的等比数列的等比数列(其中其中m3,mNm3,mN*)，并对任意的并对任意的nNnN*，均有
12、，均有a an+2mn+2m=a=an n成立成立.(1)(1)当当m=12m=12时，求时，求a a2 0102 010.(2)(2)若若a a5252=试求试求m m的值的值.(3)(3)判断是否存在判断是否存在m(m3,mNm(m3,mN*)，使得，使得S S128m+3128m+32 0102 010成立？成立？若存在，试求出若存在，试求出m m的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由.【解析】【解析】(1)(1)当当m=12m=12时，数列时，数列aan n 的周期为的周期为24.24.因为因为2 010=242 010=2483+18,83+18,而而a a1818是等
13、比数列中的项，是等比数列中的项，所以所以a a2 0102 010=a=a1818=a=a1212+6=+6=(2)(2)设设a am+km+k是第一个周期中等比数列中的第是第一个周期中等比数列中的第k k项，则项，则a am+km+k=因为因为 所以等比数列中至少有所以等比数列中至少有7 7项，即项，即m7m7，则一个，则一个周期中至少有周期中至少有1414项项.所以所以a a5252最多是第三个周期中的项最多是第三个周期中的项.若若a a5252是第一个周期中的项，则是第一个周期中的项，则a a5252=a=am+7m+7=所以所以m=52-7=45;m=52-7=45;若若a a5252
14、是第二个周期中的项，则是第二个周期中的项，则a a5252=a=a3m+73m+7=所以所以3m=45,m=15;3m=45,m=15;若若a a5252是第三个周期中的项，则是第三个周期中的项，则a a5252=a=a5m+75m+7=所以所以5m=45,m=9;5m=45,m=9;综上，综上，m=45m=45或或1515或或9.9.(3)2m(3)2m是此数列的周期是此数列的周期.所以所以S S128m+3128m+3表示表示6464个周期及等差数列的前个周期及等差数列的前3 3项之和项之和.所以所以S S2m2m最大时，最大时，S S128m+3128m+3最大最大.因为因为S S2m2
15、m=当当m=6m=6时时,S,S2m2m=31-=31-当当m5m5时，时，S S2m2m 当当m7m7时，时，S S2m2m-(7-)ccn n恒成立恒成立,由由c cn+1n+1-c-cn n=3=3n+1n+1-t(-2)-t(-2)n+1n+1-3-3n n-t(-2)-t(-2)n n=2=2 3 3n n+3t(-2)+3t(-2)n n00恒成立恒成立.即即 恒成立恒成立.当当n n为奇数时，即为奇数时，即 恒成立恒成立.又又 的最小值为的最小值为1 1，所以，所以t t1.1.当当n n为偶数时，即为偶数时，即 恒成立，恒成立，又又 的最大值为的最大值为 所以所以即即 又又t
16、t为非零整数，为非零整数，所以所以t=-1t=-1，使得对任意，使得对任意nNnN*，都有，都有c cn+1n+1c cn n.热点考向热点考向 3 3 数列与不等式的综合数列与不等式的综合【典例【典例3 3】(2013(2013 宁波模宁波模拟拟)设设公比大于零的等比数列公比大于零的等比数列aan n 的前的前n n项项和和为为S Sn n,且且a a1 1=1,S=1,S4 4=5S=5S2 2,数列数列bbn n 的前的前n n项项和和为为T Tn n,满满足足b b1 1=1,T=1,Tn n=n=n2 2b bn n,nN,nN*.(1)(1)求数列求数列aan n,b,bn n 的
17、通的通项项公式公式.(2)(2)设设c cn n=(S=(Sn n+1)(nb+1)(nbn n-),-),若数列若数列ccn n 是是单调递单调递减数列减数列,求求实实数数的的取取值值范范围围.【解题探究】【解题探究】(1)(1)数列数列aan n,b,bn n 的通项公式的求解思路的通项公式的求解思路:等比数列等比数列aan n 中中,由由a a1 1=1,S=1,S4 4=5S=5S2 2可得关于公比可得关于公比q q的方程为的方程为 ,从而可求得从而可求得q=q=_;数列数列bbn n 中中,由由T Tn n=n=n2 2b bn n可得可得T Tn-1n-1=_,从而可得从而可得 =
18、(n=(n1),1),故可用故可用_求求b bn n.2 2(n-1)(n-1)2 2b bn-1n-1累乘法累乘法(2)(2)求实数求实数的取值范围的三个关键点：的取值范围的三个关键点：把把c cn n用用n,n,表示为表示为计算计算c cn+1n+1c cn n=；由数列由数列ccn n 是单调递减数列可知是单调递减数列可知,c,cn+1n+1-c-cn n00对对nNnN*都成立都成立,把把所求问题转化为求函数的最值问题所求问题转化为求函数的最值问题.【解析】【解析】(1)(1)由由S S4 4=5S=5S2 2，q q0,0,知知q q0 0且且q1q1，所以，所以 所以所以q=2,a
19、q=2,an n=2=2n-1n-1,又又则得则得所以所以 当当n=1n=1时也满足时也满足.(2)S(2)Sn n=2=2n n1 1，所以，所以 若数列若数列ccn n 是单调递减数是单调递减数列，列，则则 对对nNnN*都成立，都成立，即即当当n=1n=1或或2 2时，时，所以所以【方法总结】【方法总结】1.1.证明与数列交汇的不等式问题的常用方法证明与数列交汇的不等式问题的常用方法(1)(1)作差比较法证明作差比较法证明.(2)(2)判断数列的单调性，根据数列的取值范围证明判断数列的单调性，根据数列的取值范围证明.(3)(3)合理利用放缩法证明合理利用放缩法证明.2.2.数列中不等式的
20、放缩技巧数列中不等式的放缩技巧(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)利用利用(1+x)(1+x)n n的展开式进行放缩的展开式进行放缩【变式训练】【变式训练】(2013(2013南通模拟南通模拟)已知数列已知数列aan n 满足：满足：a a1 1=a+2(a0),a=a+2(a0),an+1n+1=nN=nN*.(1)(1)若若a=0,a=0,求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.(2)(2)设设b bn n=|a=|an+1n+1-a-an n|，数列，数列bbn n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,证明：证明：S Sn na0.0.两边取对数，得两边取对数，得l
21、g 2+2lg alg 2+2lg an+1n+1=lg a=lg an n,化为化为lg alg an+1n+1+lg 2=(lg an+lg 2),+lg 2=(lg an+lg 2),因为因为lg alg a1 1+lg 2=2lg 2,+lg 2=2lg 2,所以数列所以数列lg alg an n+lg 2+lg 2是以是以2lg 22lg 2为首项，为首项，为公比的等比数列为公比的等比数列.所以所以lg alg an n+lg 2=+lg 2=所以所以a an n=(2)(2)由由a an+1n+1=得得2a2an+1n+12 2=a=an n+a,+a,当当n2n2时，时，2a2a
22、n n2 2=a=an-1n-1+a,+a,-，得，得2(a2(an+1n+1+a+an n)(a)(an+1n+1-a-an n)=a)=an n-a-an-1n-1,由已知得由已知得a an n0,0,所以所以a an+1n+1-a-an n与与a an n-a-an-1n-1同号同号.因为因为a a2 2=且且a0a0，所以，所以a a1 12 2-a-a2 22 2=(a+2)=(a+2)2 2-(a+1)=a-(a+1)=a2 2+3a+30+3a+30恒成立，恒成立，所以所以a a2 2-a-a1 10,0,所以所以a an+1n+1-a-an n0.0.因为因为b bn n=|a
23、=|an+1n+1-a-an n|,|,所以所以b bn n=-(a=-(an+1n+1-a-an n),),所以所以S Sn n=-=-(a(a2 2-a-a1 1)+(a)+(a3 3-a-a2 2)+)+(a+(an+1n+1-a-an n)=-(a=-(an+1n+1-a-a1 1)=a)=a1 1-a-an+1n+1aa1 1.【典例】【典例】设设数列数列bbn n 的前的前n n项项和和为为S Sn n,且且b bn n=2-2S=2-2Sn n;数列数列aan n 为为等等差数列差数列,且且a a5 5=14,a=14,a7 7=20.=20.(1)(1)求数列求数列bbn n
24、的通的通项项公式公式.(2)(2)若若c cn n=a=an nbbn n(n=1,2,3,),T(n=1,2,3,),Tn n为为数列数列ccn n 的前的前n n项项和和,求求证证:【解析】【解析】(1)(1)由由b bn n=2-2S=2-2Sn n,令令n=1,n=1,则则b b1 1=2-2S=2-2S1 1,又又S S1 1=b=b1 1,所以所以当当n2n2时时,由由b bn n=2-2S=2-2Sn n,可得可得b bn-1n-1=2-2S=2-2Sn-1n-1,所以所以b bn n-b-bn-1n-1=-2(S=-2(Sn n-S-Sn-1n-1)=-2b=-2bn n,即即
25、所以所以bbn n 是以是以 为首项，为首项，为公比的等比数列，于是为公比的等比数列，于是(2)(2)由数列由数列aan n 为等差数列，且为等差数列，且a a5 5=14,a=14,a7 7=20,=20,可得公差可得公差可得可得a an n=3n-1,=3n-1,从而从而c cn n=a=an nb bn n=所以所以所以所以所以所以=则则所以所以所以数列所以数列TTn n 单调递增单调递增.所以所以T Tn nTT1 1,而而即即 成立成立.【方法总结】【方法总结】证明不等式的常用方法证明不等式的常用方法(1)(1)比较法比较法:最基本的方法是作差比较法最基本的方法是作差比较法.(2)(
26、2)分析法与综合法分析法与综合法:一般是利用分析法分析一般是利用分析法分析,再利用综合法证再利用综合法证明明.(3)(3)反证法反证法:常用来证明一些否定性命题常用来证明一些否定性命题.(4)(4)放缩法放缩法:主要是通过分子、分母的扩大或缩小，项数的增加主要是通过分子、分母的扩大或缩小，项数的增加与减少等手段达到证明的目的与减少等手段达到证明的目的.函数与方程思想函数与方程思想解决数列中的最值问题解决数列中的最值问题【思想诠释】【思想诠释】1.1.主要类型：主要类型：(1)(1)数列中的恒成立问题的求解数列中的恒成立问题的求解.(2).(2)数列中最大数列中最大项与最小项问题的求解项与最小项
27、问题的求解.(3).(3)数列中前数列中前n n项和的最值问题项和的最值问题.(4).(4)证证明不等式时构建函数求最值明不等式时构建函数求最值(值域值域).).2.2.解题思路：结合条件与待求问题，把所求问题转化为关于解题思路：结合条件与待求问题，把所求问题转化为关于n n的函数或方程问题求解的函数或方程问题求解.3.3.注意事项：注意事项：(1)(1)数列是定义在数列是定义在N N*或其子集上的特殊函数，因此或其子集上的特殊函数，因此树立函数意识是解决数列问题的最基本要求树立函数意识是解决数列问题的最基本要求.(2)(2)求解过程中要注意项数求解过程中要注意项数n n的取值范围，防止出错的
28、取值范围，防止出错.【典例】【典例】(14(14分分)(2013)(2013天津模拟天津模拟)已知函数已知函数f(x)=logf(x)=logm mx(mx(m为常数，为常数，0 0m m1)1)，且数列，且数列f(af(an n)是首项为是首项为2 2，公差为，公差为2 2的等差数列的等差数列.(1)(1)若若b bn n=a=an nf(af(an n)，当，当 时，求数列时，求数列bbn n 的前的前n n项和项和S Sn n.(2)(2)设设c cn n=a=an nlg alg an n，如果，如果ccn n 中的每一项恒小于它后面的项，中的每一项恒小于它后面的项，求求m m的取值范
29、围的取值范围.【审题】【审题】分析信息，形成思路分析信息，形成思路(1)(1)切入点：求切入点：求f(af(an n)，进而求出，进而求出a an n；关注点：求关注点：求S Sn n时应注意求和方法的选择时应注意求和方法的选择.(2)(2)切入点：根据切入点：根据a an n求求c cn n,把恒成立问题转化为求函数的最值问把恒成立问题转化为求函数的最值问题；题；关注点：根据函数的单调性求最值关注点：根据函数的单调性求最值.【解题】【解题】规范步骤，水到渠成规范步骤，水到渠成(1)(1)由题意由题意f(af(an n)=2+(n-1)=2+(n-1)2=2n,2=2n,即即loglogm m
30、a an n=2n,=2n,所以所以a an n=m=m2n2n.b bn n=a=an n f(af(an n)=2n)=2n m m2n2n,当当 时，时，2 2分分所以所以 ()()()()()()()()，得，得 =5 5分分所以所以 7 7分分(2)(2)由由(1)(1)知知,c,cn n=a=an nlgalgan n=2n=2nm m2n2nlgm,lgm,要使要使c cn nc cn+1n+1对一切对一切nNnN*成立成立,即即nlgm(n+1)mnlgm(n+1)m2 2lgmlgm对一切对一切nNnN*成立成立.0m1,0m1,所以所以lgm0,lgm(n+1)mn(n+1
31、)m2 2,对一切对一切nNnN*恒成立恒成立,只需只需 1010分分 单调递增，所以当单调递增，所以当n=1n=1时，时，.1212分分所以所以 且且0 0m m1 1，所以所以0 0m m所以所以m m的范围为的范围为 1414分分【点题】【点题】规避误区，失分警示规避误区，失分警示 失分点一失分点一题中题中处容易在作差时出现漏项或符号错误处容易在作差时出现漏项或符号错误失分点二失分点二不能把条件转化为题中不能把条件转化为题中处的不等式导致无处的不等式导致无法求解法求解失分点三失分点三处不会利用函数的单调性求最小值致误处不会利用函数的单调性求最小值致误【变题】【变题】变式训练，能力迁移变式
32、训练，能力迁移数列数列aan n 的各的各项项均均为为正数正数,S,Sn n为为其前其前n n项项和和,对对于任意于任意nNnN*,总总有有2S2Sn n=a=an n2 2+a+an n.(1)(1)求数列求数列aan n 的通的通项项公式公式.(2)(2)设设正数数列正数数列ccn n 满满足足a an+1n+1=(c=(cn n)n+1n+1(nN(nN*),),求数列求数列ccn n 中的最大中的最大项项.【解析】【解析】(1)(1)由已知：对于任意由已知：对于任意nNnN*,总有总有2S2Sn n=a=an n+a+an n2 2成立成立,所以所以2S2Sn-1n-1=a=an-1n
33、-1+a+an-1n-12 2(n2)(n2)-得得2a2an n=a=an n+a+an n2 2-a-an-1n-1-a-an-1n-12 2,所以所以a an n+a+an-1n-1=(a=(an n+a+an-1n-1)(a)(an n-a-an-1n-1),),因为因为a an n,a,an-1n-1均为正数，均为正数，所以所以a an n-a-an-1n-1=1(n2),=1(n2),所以数列所以数列aan n 是公差为是公差为1 1的等差数列，又的等差数列，又n=1n=1时，时，2S2S1 1=a=a1 1+a+a1 12 2,解解得得a a1 1=1,=1,所以所以a an n
34、=n.=n.(2)(2)由已知由已知c cn n0,a0,a2 2=c=c1 12 2=2=2 c c1 1=a a3 3=c=c2 23 3=3=3 同理，同理，易得易得c c1 1c c2 2,c,c2 2c c3 3c c4 4猜想猜想n2n2时，时，ccn n 是递减数列是递减数列.令令 则则因为当因为当x3x3时，时，ln xln x1,1,则则1-ln x1-ln x0,0,即即f(x)f(x)0.0.所以在所以在3,+)3,+)内内f(x)f(x)为单调递减函数为单调递减函数.由由a an+1n+1=(c=(cn n)n+1n+1知知ln cln cn n=所以所以n2n2时，时，ln cln cn n 是递减数列是递减数列.即即ccn n 是递减数列是递减数列.又又c c1 1c c2 2,所以数列所以数列ccn n 中的最大项为中的最大项为c c2 2=