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1、2011 山东高考数学答案(理科)一、选择题1A2D3D4D5B6C7B8A9C10B11A12D二、填空题136814415三、解答题17解：（I）由正弦定理，设x162nn(2 1)x2abc k,sin Asin BsinC2ca2ksinC ksin A2sin C sin A,则bksin Bsin Bcos A2cos C2sin C sin A.所以cosBsin B即(cos A2cos C)sin B (2sin C sin A)cos B，化简可得sin(A B)2sin(BC).又A B C，所以sinC 2sin A因此sinC 2.sin A（II）由sinC 2得c
2、 2a.由余弦定理sin A1b2 a2c22accosB及cosB,b 2,41得4=a24a24a2.4解得 a=1。因此 c=2又因为cosB 115,且G B.所以sinB.44因此S 111515acsin B 12.224418解：（I）设甲胜 A 的事件为 D，乙胜 B 的事件为 E，丙胜 C 的事件为 F，则D,E,F分别表示甲不胜 A、乙不胜 B，丙不胜 C 的事件。因为P(D)0.6,P(E)0.5,P(F)0.5,由对立事件的概率公式知P(D)0.4,P(E)0.5,P(F)0.5,红队至少两人获胜的事件有：DEF,DEF,DEF,DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比
3、赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P P(DEF)P(DEF)P(DEF)P(DEF)0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.5 0.55.（II）由题意知可能的取值为 0，1，2，3。又由（I）知DEF,DEF,DEF是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P(0)P(DEF)0.40.50.5 0.1,P(1)P(DEF)P(DEF)P(DEF)0.40.50.50.40.50.50.60.50.5 0.35P(3)P(DEF)0.60.50.5 0.15.由对立事件的概率公式得P(2)1 P(0)P(1)P(3)0.4,所以的分布列为：P0
4、0110352043015因此E 00.110.3520.430.15 1.6.19（I）证法一：因为 EF/AB，FG/BC，EG/AC，ACB 90，所以EGF 90,ABCEFG.由于 AB=2EF，因此，BC=2FC，连接 AF，由于 FG/BC，FG 1BC,21BC,2在 ABCD中，M 是线段 AD 的中点，则 AM/BC，且AM 因此 FG/AM 且 FG=AM，所以四边形 AFGM 为平行四边形，因此GM/FA。又FA 平面 ABFE，GM 平面 ABFE，所以 GM/平面 AB。证法二：因为 EF/AB，FG/BC，EG/AC，ACB 90，所以EGF 90,ABCEFG.
5、由于 AB=2EF，因此，BC=2FC，取 BC 的中点 N，连接 GN，因此四边形 BNGF 为平行四边形，所以 GN/FB，在 ABCD中，M 是线段 AD 的中点，连接 MN，则 MN/AB，因为MN GN N,所以平面 GMN/平面 ABFE。又GM 平面 GMN，所以 GM/平面 ABFE。（II）解法一：因为ACB 90,所以CAD=90，又EA 平面 ABCD，所以 AC，AD，AE 两两垂直，分别以 AC，AD，AE 所在直线为 x 轴、y 轴和 z 轴，建立如图所法的空间直角坐标系，不妨设AC BC 2AE 2,则由题意得 A（0，0，0，），B（2，-2，0），C（2，0，
6、0，），E（0，0，1），所以AB (2,2,0),BC (0,2,0),1AB,2 所以F(1,1,1),BF (1,1,1).又EF 设平面 BFC 的法向量为m (x1,y1,z1),则mBC 0,mBF 0,所以 y1 0,取z11得x11,所以m (1,0,1),x1 z1,设平面 ABF 的法向量为n (x2,y2,z2)，则nAB 0,nBF 0,x2 y2,所以取y21,得x21,则n (1,1,0)，z 0,2所以cos m,n mn1.因此二面角 ABFC 的大小为60.|m|n|2解法二：由题意知，平面ABFE 平面 ABCD，取 AB 的中点 H，连接 CH，因为 AC
7、=BC，所以CH AB，则CH 平面 ABFE，过 H 向 BF 引垂线交 BF 于 R，连接 CR，则CR BF.所以HRC为二面角 ABFC 的平面角。由题意，不妨设 AC=BC=2AE=2。在直角梯形 ABFE 中，连接 FH，则FH AB，又AB 2 2,所以HF AE 1,BH 2,因此在RtBHF中，HR 6.3由于CH 1AB 2,所以在RtCHR中，tanHRC 223,63因此二面角 ABFC 的大小为60.20解：（I）当a13时，不合题意；当a1 2时，当且仅当a2 6,a318时，符合题意；当a110时，不合题意。因此a1 2,a2 6,a318,所以公式 q=3，故a
8、n 23n1.（II）因为bn an(1)nlnan 23n1(1)n(23n1)23n1(1)nln2(n1)ln3 23n1(1)n(ln2ln3)(1)nnln3,所以S2n 2(1332n1)111(1)2n(ln2ln3)125(1)nnln3,n13nnln3 3nln31;所以当 n 为偶数时，Sn 2213213nn1(ln2ln3)(n)ln 3当 n 为奇数时，Sn 2132 3nn1ln3ln21.2综上所述，nn3 ln31,n为偶数2Sn3n-n1ln3-ln2-1,n为奇数221解：（I）设容器的容积为 V，4V r343808044 2023,故l 由题意知V r
9、 l r,又V r(2r)2233r3r33 r由于l 2r因此0 r 2.4 2022所以建造费用y 2rl34r c 2r(2r)34r c,3 r1602,0 r 2.因此y 4(c2)r r1608(c2)320(r),0 r 2.（II）由（I）得y8(c2)r 22rrc2由于c 3,所以c2 0,当r 32020 0时,r 3.c2c2令38(c2)20(r m)(r2rmm2).m,则m 0所以y2rc2（1）当0 m 2即c 9时，2当r=m时,y=0;当r(0,m)时,y0.所以r m是函数 y 的极小值点，也是最小值点。（2）当m 2即3 c 9时，2当r(0,2)时,y
10、 0,函数单调递减，所以 r=2 是函数 y 的最小值点，综上所述，当3 c 9时，建造费用最小时r 2;2当c 920时，建造费用最小时r 3.2c222（I）解：（1）当直线l的斜率不存在时，P，Q 两点关于 x 轴对称，所以x2 x1,y2 y1.因为P(x1,y1)在椭圆上，x12y121因此32又因为SOPQ6,26.26,|y1|1.2所以|x1|y1|由、得|x1|222此时x1 x23,y12 y2 2,（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y kxm,x2y21，得由题意知 m 0，将其代入32(23k2)x26kmx3(m22)0，其中 36k2m212(23k2)(
11、m22)0,即3k 2 m22（*）6km3(m22),x1x2,又x1 x2 2223k23k2 6 3k22m2所以|PQ|1k (x1 x2)4x1x2 1k,223k222因为点 O 到直线l的距离为d|m|1k2,所以SOPQ1|PQ|d2221|m|22 6 3k 2m1k 2223k21k6|m|3k22m2223k又SOPQ6,整理得3k22 2m2,且符合（*）式，22226km23(m22)2 3,此时x x (x1 x2)2x1x2(23k223k2212y12 y222222(3 x12)(3 x2)4(x12 x2)2.333222综上所述，x1 x23;y12 y2
12、 2,结论成立。（II）解法一：（1）当直线l的斜率存在时，由（I）知|OM|x1|6,|PQ|2|y1|2,2因此|OM|PQ|62 6.2x1 x23k,22m（2）当直线l的斜率存在时，由（I）知y1 y2x1 x23k23k22m2 k()m m,222m2mmx1 x22y1 y229k216m22112|OM|()()(3),2222224mm4m2m222(2m21)12224(3k 2m)|PQ|(1k)2(2),(23k2)2m2m2所以|OM|PQ|22111(32)2(2 2)2mm11)(2)22mm1132 22mm)225.(24(3511，当且仅当32 22,即m
13、 2时，等号成立.2mm5综合（1）（2）得|OM|PQ|的最大值为.2所以|OM|PQ|解法二：因为4|OM|2|PQ|2(x1 x2)2(y1 y2)2(x2 x1)2(y2 y1)222 2(x12 x2)(y12 y2)10.4|OM|2|PQ|210 5.所以2|OM|PQ|25即|OM|PQ|5,当且仅当2|OM|PQ|5时等号成立。2因此|OM|PQ|的最大值为.52（III）椭圆 C 上不存在三点 D，E，G，使得SODE SODG SOEG6.26，2证明：假设存在D(u,v),E(x1,y1),G(x2,y2)满足SODE SODG SOEG由（I）得2222u2 x12 3,u2 x2 3,x12 x2 3;v2 y12 2,v2 y2 2,y12 y2 2,322解得u2 x12 x2;v2 y12 y21.25因此u,x1,x2只能从中选取,v,y1,y2只能从1中选取,2因此 D，E，G 只能在(6,1)这四点中选取三个不同点，2而这三点的两两连线中必有一条过原点，与SODE SODG SOEG6矛盾，2所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点D，E，G.