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1、圆周角探探 究究角的顶点在圆上角的顶点在圆上角的两边都与圆相交角的两边都与圆相交BC.OA问题：将圆心角顶点向上移，直至与问题：将圆心角顶点向上移，直至与问题：将圆心角顶点向上移，直至与问题：将圆心角顶点向上移，直至与 OO相交于点相交于点相交于点相交于点C C，观察得到的，观察得到的，观察得到的，观察得到的ACBACB，角的顶点、两边与圆位，角的顶点、两边与圆位，角的顶点、两边与圆位，角的顶点、两边与圆位置关系分别是什么置关系分别是什么置关系分别是什么置关系分别是什么？你能你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?.OBCA圆周角定义圆周角定义:顶点在圆上顶点
2、在圆上,并且两边都并且两边都和圆相交的角叫圆周角和圆相交的角叫圆周角.圆心角定义圆心角定义:顶点在圆心的角叫做圆周角顶点在圆心的角叫做圆周角顶点在圆心的角叫做圆周角顶点在圆心的角叫做圆周角.判别图中的角是不是圆周角，为什么？判别图中的角是不是圆周角，为什么？.OBCA顶点在圆上；顶点在圆上；顶点在圆上；顶点在圆上；两边都和圆相交两边都和圆相交两边都和圆相交两边都和圆相交.归纳：一个角是圆周角的条件：归纳：一个角是圆周角的条件：归纳：一个角是圆周角的条件：归纳：一个角是圆周角的条件：画劣弧画劣弧ABAB所对的圆心角和圆周角。所对的圆心角和圆周角。.OBAABCOABCOABCO第第第第 一一一一
3、 类类类类：圆圆圆圆 心心心心 在在在在 圆圆圆圆周周周周 角角角角 一一一一 边边边边上上上上第第第第二二二二类类类类：圆圆圆圆心心心心在在在在圆圆圆圆周角内部周角内部周角内部周角内部第第第第三三三三类类类类：圆圆圆圆心心心心在在在在圆圆圆圆周角外部周角外部周角外部周角外部探讨：同弧或等弧所对的圆心角与圆周同弧或等弧所对的圆心角与圆周角大小有何关系？角大小有何关系？在在这这个海洋个海洋馆馆里，人里，人们们可以通可以通过过其中的其中的圆圆弧形弧形玻璃窗玻璃窗观观看窗内看窗内的海洋的海洋动动物物.OCBAEF在圆形海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗在圆形海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻
4、璃窗在圆形海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗在圆形海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗ABAB观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心OO的位置，同学的位置，同学的位置，同学的位置，同学乙分别站在正对着玻璃窗的靠墙的位置乙分别站在正对着玻璃窗的靠墙的位置乙分别站在正对着玻璃窗的靠墙的位置乙分别站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C C、F F、E E，他们，他们，他们，他们的视角的视角的视角的视角(AOBAOB和和和和ACBACB、AOBAOB和和和和AFBAFB、AOBAOB和和和和AEB)AE
5、B)有什么大小关系？有什么大小关系？有什么大小关系？有什么大小关系？用量角器量测量，比较两位同学的视角大小。通过度量你有什么发现？通过度量你有什么发现？同弧所对的圆周角度数等同弧所对的圆周角度数等于这条弧所对的圆心角度于这条弧所对的圆心角度数的一半。数的一半。如何证明你的发现？如何证明你的发现？.OCBAEF首先分析第一种类型：首先分析第一种类型：当圆心当圆心(O)在圆周角在圆周角(ACB)的一边的一边(AC)上时，圆周角上时，圆周角ACB与圆心角与圆心角AOB的的大小关系大小关系证明：证明：AOB是是 ACO的外角的外角 AOBCB OB=OCCB AOB2 C即即ACB AOBA AC C
6、B BO你能证明第二种类型吗？你能证明第二种类型吗？当圆心当圆心(O)在圆周角在圆周角(AFB)的内部时，圆的内部时，圆周角周角AFB与圆心角与圆心角AOB的大小关系怎样？的大小关系怎样？BFAO你能证明第二种类型吗？你能证明第二种类型吗？当圆心当圆心(O)在圆周角在圆周角(AFB)的内部时，圆的内部时，圆周角周角AFB与圆心角与圆心角AOB的大小关系怎样？的大小关系怎样？BFAO你能证明第二种类型吗？你能证明第二种类型吗？当圆心当圆心(O)在圆周角在圆周角(AFB)的内部时，圆的内部时，圆周角周角AFB与圆心角与圆心角AOB的大小关系怎样？的大小关系怎样？提示：作射线提示：作射线FO交交 O
7、于于D。转化。转化为第为第1种类型种类型BFAOD1 23 4你能证明第二种类型吗？你能证明第二种类型吗？当圆心当圆心(O)在圆周角在圆周角(AFB)的内部时，圆的内部时，圆周角周角AFB与圆心角与圆心角AOB的大小关系怎样？的大小关系怎样？FAOD13BFOD24BFAOD1 23 4 你能证明第二种类型吗？你能证明第二种类型吗？当圆心当圆心(O)在圆周角在圆周角(AFB)的内部时，圆的内部时，圆周角周角AFB与圆心角与圆心角AOB的大小关系怎样？的大小关系怎样？证明证明：作射线：作射线FO交交 O于于D。由第。由第1种情况种情况得得 1 3 2 4 12 (34)即即AFB=AOBBFAO
8、D1 23 4你能证明第三种类型吗？你能证明第三种类型吗？当圆心当圆心(O)在圆周角在圆周角(AEB)的外部时，圆的外部时，圆周角周角AEB与圆心角与圆心角AOB的大小关系怎样的大小关系怎样？A A A AB BE EOOB BE EOO你能证明第三种类型吗？你能证明第三种类型吗？当圆心当圆心(O)在圆周角在圆周角(AEB)的外部时，圆的外部时，圆周角周角AEB与圆心角与圆心角AOB的大小关系怎样？的大小关系怎样？A A A AB BE EOOB BE EOO你能证明第三种类型吗？你能证明第三种类型吗？当圆心当圆心(O)在圆周角在圆周角(AEB)的外部时，圆的外部时，圆周角周角AEB与圆心角与
9、圆心角AOB的大小关系怎样？的大小关系怎样？提示：作射线提示：作射线EO交交 O于于D。转化。转化为第为第1种类型种类型A A A AB BE EOOD DB BE EOO当圆心当圆心(O)在圆周角在圆周角(AEB)的外部时，圆周的外部时，圆周角角AEB与圆心角与圆心角AOB的大小关系怎样？的大小关系怎样？B BE EOOD DA AB BE EOO B BE EOOD DA A当圆心当圆心(O)在圆周角在圆周角(AEB)的外部时，圆周的外部时，圆周角角AEB与圆心角与圆心角AOB的大小关系怎样？的大小关系怎样？B BE EOOD DA A B BE EOOD DD DB BE EOOD DA
10、 A 当圆心当圆心(O)在圆周角在圆周角(AEB)的外部时，圆的外部时，圆周角周角AEB与圆心角与圆心角AOB的大小关系怎样？的大小关系怎样？证明证明：作射线：作射线EO交交 O于于D。由第由第1种情况得种情况得 BED BOD AED AOD即即AEB=AOB AEDBED (AOD BOD)A A A AB BE EOOD DB BE EOOCBAODBFAO综上所述综上所述:同弧所对的圆周角度数等于它所对圆心角同弧所对的圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半度数的一半，即，即 AOB2 ACB、AOB2 AFB、AOB2 AEB DBAEOO.OCBAEF在圆形海洋馆里，视角在圆形海洋馆里
11、，视角在圆形海洋馆里，视角在圆形海洋馆里，视角 AOBAOB2 2 ACBACB、AOBAOB2 2 AFBAFB、AOBAOB2 2 AEBAEB 思考：思考：思考：思考：1.视角视角视角视角 ACBACB、AFBAFB、AEBAEB大小有什么关系？大小有什么关系？大小有什么关系？大小有什么关系？2.2.弧弧弧弧ABAB所对的圆周角有多少个？所对的圆周角有多少个？所对的圆周角有多少个？所对的圆周角有多少个？弧弧弧弧ABAB所对的圆周角都相等吗？所对的圆周角都相等吗？所对的圆周角都相等吗？所对的圆周角都相等吗？在同圆或等圆中，同弧或等弧所对在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧
12、所对的的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。圆心角的一半。圆周角定理圆周角定理分类讨论分类讨论完全归纳法完全归纳法1.如图，在如图，在 O中，中，ABC50，则，则AOC等于（等于（）A.50B.80C.90D.100ABCOC2.如图，点如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边在同一个圆上，四边形形ABCD的对角线把的对角线把4个内角分成个内角分成8个角，弧个角，弧DC所对的哪些角相等？图中还有哪些角是所对的哪些角相等？图中还有哪些角是相等的？相等的？D12345678ABC14273658解：解：3.如图，已知圆心角如图，已知圆心角AOB的度数为的度数为100，则圆周角则圆周角ACB
13、 OCBA130在同圆或等圆中，同弧或等弧同弧或等弧同弧或等弧同弧或等弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。4.足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进行无人足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进行无人防守的射门训练，如图所示，边巴、扎西两名运动员防守的射门训练，如图所示，边巴、扎西两名运动员分别在分别在B、D两地，他们争论不休，都说自己的位置两地，他们争论不休，都说自己的位置射门好。如果你是教练，请评一评他们的说法。射门好。如果你是教练，请评一评他们的说法。球员射中球门球员射中球门的难易程度与的难易程度与他所处的位置他所处的位置对球门对球门AC的张的张角有关角有关BACDEBACDEOCB
14、AD弧弧AC所对圆周角是所对圆周角是 与与 。当球员在当球员在当球员在当球员在B,DB,D处射门时处射门时处射门时处射门时,所处的位置对球门所处的位置对球门所处的位置对球门所处的位置对球门ACAC分别分别分别分别形成两个张角形成两个张角形成两个张角形成两个张角ABC,ABC,ADC.ADC.这两个角有何特点这两个角有何特点这两个角有何特点这两个角有何特点?它们它们它们它们的大小有什么关系的大小有什么关系的大小有什么关系的大小有什么关系?想一想：边巴、扎西谁所在的位置射门好？想一想：边巴、扎西谁所在的位置射门好？想一想：边巴、扎西谁所在的位置射门好？想一想：边巴、扎西谁所在的位置射门好？ABC
15、ABC ADCADC5.如图，如图，OA、OB、OC是是 O的半径，的半径，AOB=2BOC，求证：，求证：ACB2BAC（提示：（提示：AOB与与ACB，BAC与与BOC有怎样的关系）有怎样的关系）OCAB解：解：在在 O中，中，弧弧AB所对的圆周角是所对的圆周角是 ACB 所对的圆心角是所对的圆心角是AOB 2ACBAOB同理同理2BACBOC AOB2 BOC ACB2 BAC 以下是潘多同学默写的圆周角以下是潘多同学默写的圆周角定理，她默写的对吗？定理，她默写的对吗？在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等圆周角相等.在同圆或等圆中，同在同圆或等圆中，同弦弦或等或等弦弦所对的所对的圆周角相等。圆周角相等。在在 O中，画出弦中，画出弦AB所对的圆周所对的圆周角角A AOB BD DA AOB BC C这节课我们都有什么收获？这节课我们都有什么收获？这节课主要学习这节课主要学习1.圆周角的定义圆周角的定义2.圆周角定理及其定理的应用圆周角定理及其定理的应用3.用用“分分类类”、“化化归归”数学思想解决数学思想解决问题问题