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1、 请仔细观察下图请仔细观察下图,ABC内接于内接于 O,A、B、C有什么共同特点有什么共同特点?ABCO顶点在圆上顶点在圆上两边都与圆相交两边都与圆相交圆周角圆周角 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做做圆周角圆周角.练习练习:指出下图中的圆周角指出下图中的圆周角.（1）（2）（3）（4）（5）（6）OBCA 如图如图,ABC是等边三形是等边三形,BAC与与BOC的大小有什么关系的大小有什么关系?(BAC与与BOC分别是分别是弧弧BC所对所对的圆周角和圆心角的圆周角和圆心角)CABO分别量出图中分别量出图中 AB 所对的圆周角所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，
2、你和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现？有什么发现？COAB即即 OC=OB，OCB=OBC又又 AOB=OCB+OBCAOB=2 OCBAB1.如图，在如图，在 O中，中，AC为直径，为直径，AOB和和ACB分别是分别是所对的圆心角和所对的圆心角和圆周角，你认为圆周角，你认为AOB 与与ACB的大小具的大小具有什么关系？说出你的理由有什么关系？说出你的理由.COABCOABDD2.如图，在如图，在O中，当所对的圆心角中，当所对的圆心角AOB与圆周角与圆周角ACB具有如图所示的两种位置关系时，它们是否还具具有如图所示的两种位置关系时，它们是否还具有上述的数量关系？为什么？有上述的数量关系？为
3、什么？ABCOABD（2）圆心在）圆心在BCA的内部的内部.作直径作直径CD.由于由于AOD=2ACDBOD=2BCD，所以所以AOD+BOD=2（ACD+BCD）即即AOB=2 ACB（3）圆心在）圆心在 BAC的外部的外部.作直径作直径CD.由于由于BOD=2BCDAOD=2ACD，所以所以BOD-AOD=2（BCD-ACD）即即AOB=2ACBOBDCA结论：圆周角定理结论：圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半圆心角的一半.ACB=；ADB=；=.如图：则有如图：则有ACBADB同弧或等弧所对的圆周角相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周
4、角所对的弧也相等相等的圆周角所对的弧也相等.1.在一个圆中，并画出在一个圆中，并画出AB所对的圆周角能所对的圆周角能 画多少个？它们有什么关系？画多少个？它们有什么关系？ABDEOC2.在同圆和等圆中，如果两个弧在同圆和等圆中，如果两个弧相等，它们所对的圆周角一定相等，它们所对的圆周角一定相等吗？为什么？反过来呢？相等吗？为什么？反过来呢？推论推论1：如图，如图，ABC内接于内接于 O,请思考当请思考当AOB为为180时时,ACB的度数是的度数是多少多少?从而你得到什么结从而你得到什么结论论?三、探索半三、探索半圆圆或直径所或直径所对对的的圆圆周角周角的度数的度数 ABCO 推论推论2：半圆：
5、半圆(或直径或直径)所对的圆周角是直所对的圆周角是直角角;90的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径.AOC、BOC都都是等腰三角形是等腰三角形OACOCA，OBCOCB又又 OACOBCACB 180 ACBOCAOCB 90 因此，不管点因此，不管点C在在 O上何处（除点上何处（除点A、B），），ACB总等于总等于90 证明：因为证明：因为OAOBOC，例例1.如图如图,AB是是O的直径的直径,弦弦CD交交AB于点于点P,ACD=60,ADC=70.求求APC的度数的度数.OADCPB解解:连接连接BC,则则ACB=90,DCBACBACD9060=30.又又BAD=DCB=30,A
6、PC=BADADC3070100.例例2.如图，如图，O的的直径直径AB为为10cm，弦，弦AC6cm，ACB的平分线交的平分线交 O于于D，求，求BC、AD、BD的长的长又在又在Rt ABD中，中，AD2+BD2=AB2，ABCDO解：解：AB是直径，是直径，ACB=ADB=90在在Rt ABC中，中，CD平分平分ACB，AD=BD.AD=BD.1.如图，点如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形在同一个圆上，四边形ABCD的对的对角线把角线把4个内角分成个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？个角，这些角中哪些是相等的角？ABCD12345678 1=4 5=8 2=7 3=63.如图
7、，圆心角如图，圆心角AOB=100，则，则ACB=_.OABCBAO.70 x2.求圆中角求圆中角x的度数。的度数。AO.X1204、如图，在直径为如图，在直径为AB的半的半圆中，圆中，O为圆心，为圆心，C、D为半为半圆上的两点，圆上的两点，COD=500，则则CAD=_35120130255.如图，如图，P是是ABC的外接圆上的一点，的外接圆上的一点，APC=CPB=60.求证：求证：ABC是等边三角形是等边三角形.APBCO证明：证明：ABC和和APC 都是都是 所对的圆周角所对的圆周角.ACABC=APC=60(同弧所对的圆周角相等）同弧所对的圆周角相等）同理同理:BAC=CPB=60.
8、ABC等边三角形等边三角形.6.已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC,以以AB为直径的圆交为直径的圆交BC于于D,交交AC于于E,求证：求证：BD=DE证明：连结证明：连结AD.AB是圆的直径，点是圆的直径，点D在圆上，在圆上，ADB=90，AD BC，AB=AC，AD平分顶角平分顶角BAC，即，即BAD=CAD，BD=DE（同圆或等圆中，相等的圆周角（同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等）所对的弧相等）ABCDE.O7.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆三角
9、形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆.）ABCO已知：已知：ABC，CO为为AB边上的中线，边上的中线，求证：求证：ABC 为直角三角形为直角三角形.证明：证明：CO=AB,以以AB为直径作为直径作 O，AO=BO，AO=BO=CO.点点C在在 O上上.又又AB为直径为直径,ACB=180=90.且且CO=AB ABC 为直角三角形为直角三角形.(1)(1)一个概念一个概念（圆周角）（圆周角）内容小结：内容小结：(2)一个定理一个定理：一条弧所对的圆周角等于：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半它所对圆心角的一半.(3)二个推论二个推论：半圆或直径所对的圆周角是直角；半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径.同圆或等圆中同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.内容小结：内容小结：思想方法：一种方法和一种思想思想方法：一种方法和一种思想.在证明中，运用了数学中的分在证明中，运用了数学中的分类方法和化归思想类方法和化归思想.分类时要做到不重不漏；化归思想是分类时要做到不重不漏；化归思想是将复杂问题转化成一系列的简单问题将复杂问题转化成一系列的简单问题或已证问题或已证问题.