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1、东关实验中学：侯凌红东关实验中学：侯凌红一一.复习引入复习引入:1.圆心角的定义圆心角的定义?.OBC在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦.弦弦心距有一组量相等，那么它们所对应的其余两心距有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。个量都分别相等。答答:顶点在圆心的角叫圆心角顶点在圆心的角叫圆心角2.上节课我们学习了一个反映圆上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦，弦心距四个量之心角、弧、弦，弦心距四个量之间关系的一个结论，这个结论是间关系的一个结论，这个结论是什么？什么？如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的
2、示意图,人们人们可以通过其中的圆弧形玻璃可以通过其中的圆弧形玻璃AB观看窗内的海洋动物观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心的同学甲站在圆心的O位置，同学已站在正对着玻璃窗位置，同学已站在正对着玻璃窗的靠墙的位置的靠墙的位置C，他们的视角（，他们的视角（AOB和和ACB）有什么关系？如果同学丙丁分别站在他靠墙的位置有什么关系？如果同学丙丁分别站在他靠墙的位置D和和E，他们的，他们的视角（视角（ADB和和AEB）和同学乙的视角相同吗？和同学乙的视角相同吗？AB甲（甲（O）乙（乙（C）丙（丙（D）丁（丁（E）玻璃玻璃观察与思考观察与思考 如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样如下图，同学们能找到圆
3、心角吗？它具有什么样的特征？（的特征？（顶点在圆心的角叫做圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角），今天我们），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角圆周角。(4)(1)(2)(3)(5)二、新授二、新授1、导入、导入圆周角圆周角究竟什么样的角是圆周角呢？像图（究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的角就）中的角就叫做圆周角，而图（叫做圆周角，而图（2）、（）、（4）、（）、（5）中的角都不是圆）中的角都不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。周角。(4)(1)(2)(3)(
4、5)圆周角OOA AB BC C 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。ABC是圆周角.2、圆周角定义、圆周角定义:思考：思考：现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题 1一段弧上所对的圆周角的个数有多少个？一段弧上所对的圆周角的个数有多少个？2同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？3同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？结论结论:1一段弧上所对的圆周角的个数有无数多个一段弧上所对的圆周角的个数有无数多个2通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的周角是没有变化的3通过度
5、量，我们可以得出，同弧上的圆周通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半角是圆心角的一半下面，我们通过逻辑证明来说明下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度同弧所对的圆周角的度数没有变化，数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半的度数的一半”为了解决这个问题为了解决这个问题,我们先探我们先探究究同一段弧所对的圆心角和圆周角之间有什么关系？3、探讨 OOA AB BC C在在同圆同圆或或等圆等圆中中,同弧同弧或或等弧等弧所对的所对的圆心圆心角相等角相等.在在同圆同圆或或等圆等圆中中,同弧同弧或或等弧等弧所所对的对的圆
6、周角圆周角有什么关系？有什么关系？类比圆心角类比圆心角探知探知圆周角圆周角圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系 如图如图,观察圆周角观察圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOC,AOC,它们的大小它们的大小有什么关系有什么关系?n注意：注意：圆心与圆周角的位置关系圆心与圆周角的位置关系.OABCOABCOABC1.1.首先考虑一种特殊情况：首先考虑一种特殊情况：当当圆心圆心(O)(O)在圆周角在圆周角(ABC)(ABC)的一边的一边(BC)(BC)上时上时,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系的大小关系.AOCAOC是是ABOABO的外角，的外角，AOC=B+A.
7、AOC=B+A.OA=OBOA=OB，OA AB BC CA=B.A=B.AOC=2B.AOC=2B.即即 ABC=AOC.ABC=AOC.一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半.如果圆心不在圆周角的一边上如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样结果会怎样?2.2.当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的内部时的内部时,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系会怎样的大小关系会怎样?过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得:O ABC=AOC.ABC=AOC.A AB BC CD DABD=
8、AOD,CBD=COD,ABD=AOD,CBD=COD,一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半.ODABC过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得:ABC=AOC.ABC=AOC.ABD=AOD,CBD=COD,ABD=AOD,CBD=COD,一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半.如果圆心不在圆周角的一边上如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样结果会怎样?3.3.当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的外部时的外部时,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOC
9、AOC的大小关系会怎样的大小关系会怎样?探究：有关圆周角的度数探究：有关圆周角的度数探究：有关圆周角的度数探究：有关圆周角的度数 1 探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？的圆周角所对的弦是否是直径？的圆周角所对的弦是否是直径？线段线段ABAB是是OO的的直径直径，点，点C C是是OO上任意一点上任意一点（除点（除点A A、B B）,那么，那么，ACB ACB 就是直径就是直径AB AB 所对的圆周角所对的圆周角.想想看，想想看，ACB ACB 会是怎么样的角会是怎么样的角？为什么呢？为什么呢？证明：证明：因为因为OAOAOBOBOCOC，所以，所以AOC
10、AOC、BOC BOC 都是等腰三角形，所以都是等腰三角形，所以 OACOACOCAOCA，OBCOBCOCBOCB.又又OACOACOBCOBCACBACB180180，所以所以ACBACBOCAOCAOCBOCB9090.因此，不管点因此，不管点C C在在O O上何处（除点上何处（除点A A、B B），），ACBACB总等于总等于9090，结论：结论：结论：结论：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90909090（直角）。反过来也是成立的，即（直角）。反过来也是成立的，即（直角）。
11、反过来也是成立的，即（直角）。反过来也是成立的，即90909090的圆的圆的圆的圆周角所对的弦是圆的直径。周角所对的弦是圆的直径。周角所对的弦是圆的直径。周角所对的弦是圆的直径。圆周角圆周角定理定理 在在同圆同圆或或等圆等圆中，中，同弧同弧或或等弧等弧所对的所对的圆周角相等圆周角相等，都等于这条弧所对的，都等于这条弧所对的圆心角圆心角的的一半一半 半圆半圆（或直径）（或直径）所对的所对的圆周角圆周角是是直角直角;9090的圆周角所的圆周角所对的对的弦弦是是直径直径BC1OC2C34、圆周角定理、圆周角定理87654321EHFG如果如果A=44,则则BOC=_.如果如果BOC=44,则则A=_
12、.如果如果A=35,则则BDC=_.OABCD如图，点如图，点E、F、G、H在圆上，在圆上，你会找出几对相等的圆周角？你会找出几对相等的圆周角？5、一、判断：（1）等弧所对的圆周角相等。（）（2）相等的圆周角所对的弧也相等。（）（3）90。的角所对的弦是直径。（）（4）同弦所对的圆周角相等。（）OABC巩 固 练 习 二、选择题、选择题1如图，A、B、C三点在O上，AOC=100，则ABC等于（）A140 B110 C120 D1302如图，1、2、3、4的大小关系是（)A4123 B41=32C4132 D413=22 2、在、在O O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分中，一条弧所对的圆心角和
13、圆周角分别为别为(2x+100)(2x+100)和和(5x-30)(5x-30)，则，则x=x=_ _ _；三填空三填空1.1.如图，在直径为如图，在直径为ABAB的半圆中，的半圆中，O O为圆心，为圆心，C C、D D为半圆上的两点，为半圆上的两点，COD=50COD=50，则，则 CAD=_CAD=_；20202525四四.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆.）ABCO求证：求证：ABC 为直角三角形为直角三角形.证明：证明：
14、CO=AB,以以AB为直径作为直径作 O，AO=BO，AO=BO=CO.点点C在在 O上上.又又AB为直径为直径,ACB=180=90.已知：已知：ABC 中，中，CO为为AB边上的中线，边上的中线，且且CO=AB ABC 为直角三角形为直角三角形.三、小结三、小结圆周角定理：圆周角定理：在在同圆同圆或或等圆等圆中，中，同弧同弧或或等弧等弧所对的所对的圆周角相等圆周角相等，都等于这条弧所对的，都等于这条弧所对的圆心角圆心角的的一半一半 半圆半圆（或直径）（或直径）所对的所对的圆周角圆周角是是直角直角;9090的圆周角所的圆周角所对的对的弦弦是是直径直径BC1OC2C3推论：在同圆和等圆中，相等
15、的圆周角所对的弧相等。四、布置作业课本P88习题24.1第4.5题。导学方案新授：一、圆内接多边形一、圆内接多边形 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆多边形的外接圆.ABCO如图：ABCCDO12二、圆内接四边形的性质如图（24.1-15），四边形ABCD是O的内接四边形，O是四边形ABCD的外接圆.A所对弧为弧BCD,C所对的弧为弧BAD,又弧 BCD与弧BAD所对的圆心角的和是周角，A+C=180.同理 B+D=180.这样，利用圆周角定理，我们得到关于圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的性质：圆内接四边
16、形的性质：圆内接四边形的对角互补。圆内接四边形的对角互补。例例1 如图，如图，O直径直径AB为为10cm，弦，弦AC为为6cm，ACB的平分线交的平分线交 O于于D，求，求BC、AD、BD的长的长又在又在Rt ABD中，中，AD2+BD2=AB2，解：解：AB是直径，是直径，ACB=ADB=90在在Rt ABC中，中，CD平分平分ACB，AD=BD.例题讲解例题讲解练习如图，AD是O的直径，AC是弦，OBAD，若OB=5，且CAD=30，则BC等于（）二、填空题 1半径为2a的O中，弦AB的长为2 a，则弦AB所对的圆周角的度数是_2如图1，A、B是O的直径，C、D、E都是圆上的点，则1+2=
17、_图1 2 2、求圆中角、求圆中角X X的度数的度数BAO.70 xAO.X120练习练习:600BP1、在、在O中，中，CBD=30,BDC=20,求求A1、在、在O中，中，CBD=30,BDC=20,求求A 2、如图，在、如图，在O中，中，AB为直径，为直径，CB=CF,弦弦CG AB，交，交AB于于D，交，交BF于于E 求证：求证：BE=EC1.AB1.AB、ACAC为为O O的两条弦，延长的两条弦，延长CACA到到D D，使，使 AD=ABAD=AB，如果，如果ADB=35ADB=35，求求BOCBOC的度数。的度数。BOC=140BOC=140 巩 固 练 习四四.求证：如果三角形一
18、边上的中线等于这边的一半，那么这求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆.）ABCO求证：求证：ABC 为直角三角形为直角三角形.证明：证明：CO=AB,以以AB为直径作为直径作 O，AO=BO，AO=BO=CO.点点C在在 O上上.又又AB为直径为直径,ACB=180=90.已知：已知：ABC 中，中，CO为为AB边上的中线，边上的中线，且且CO=AB ABC 为直角三角形为直角三角形.2 2、在、在O O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为别为(2x
19、+100)(2x+100)和和(5x-30)(5x-30)，则，则x=x=_ _ _；三填空三填空1.1.如图，在直径为如图，在直径为ABAB的半圆中，的半圆中，O O为圆心，为圆心，C C、D D为半圆上的两点，为半圆上的两点，COD=50COD=50，则，则 CAD=_CAD=_；20205050三、小结三、小结圆周角定理：圆周角定理：在在同圆同圆或或等圆等圆中，中，同弧同弧或或等弧等弧所对的所对的圆周角相等圆周角相等，都等于这条弧所对的，都等于这条弧所对的圆心角圆心角的的一半一半 半圆半圆（或直径）（或直径）所对的所对的圆周角圆周角是是直角直角;9090的圆周角所的圆周角所对的对的弦弦是是直径直径BC1OC2C3四、布置作业课本P88习题24.1第2、4题。练习册对应练习。