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1、会计学1特征值特征向量特征值特征向量第一页，共20页。例如(lr)：对,取=4，代入方程(fngchng)AX=X,得 AX=4X即（A-4E）X=O由（A-4E）X=O有非零解所以,=4是矩阵(j zhn)A的一个特征值第2页/共20页第二页，共20页。对，取得一个(y)基础解系于是方程(fngchng)（A-4E）X=O的全部解为：则A的属于(shy)=4 的特征向量为：,c0,=4是矩阵A的一个特征值第3页/共20页第三页，共20页。1、求n阶方阵(fn zhn)A的特征值：数0是A的特征值0使方程(fngchng)(A-E)X=O有非零解0使 成立 0是A的特征方程 的根求A的特征值步
2、骤(bzhu)：（1）计算n阶行列式（2）令分析:第4页/共20页第四页，共20页。2、求A的属于(shy)特征值的特征向量：分析(fnx):设i是A的特征值则方程(fngchng)（A-i E）X=O有非零解X0是A的属于特征值 i 的特征向量X0是方程组(A-i E)X=O有非零解求特征向量的步骤：2）求出方程组的一个基础解系V1,V2,Vs 1）把=i代入方程(A-E)X=O 得一齐次线性方程组(A-i E)X=O3）A的属于特征值i 的特征向量为：第5页/共20页第五页，共20页。的n次多项式=不同(b tn)行不同(b tn)列的n个元素的乘积的代数和即方程 是的n次方程 于是在复数
3、域上，方程 有 n个根。-A 的特征(tzhng)多项式方程-A 的特征方程第6页/共20页第六页，共20页。【例(补)】求n阶数量(shling)阵解：（n重根）所以(suy)A的特征值为：的特征值与特征向量第7页/共20页第七页，共20页。把1=a代入方程(fngchng)(A-E)X=O，得：，即 OX=O（A-aE）X=O由于任意(rny)一个 n维向量V都满足方程 OX=O即任意一个(y)n维向量V都是(A aE)X=O的解取(A aE)X=O的一个基础解系：则A的属于1=a的全部特征向量为：第8页/共20页第八页，共20页。定理4.5 n阶方阵(fn zhn)A的不同特征值对应的
4、特征向量线性无关。即 若 是属于特征值1 的特征向量 是属于特征值2的特征向量且1 2证明(zhngmng)略第9页/共20页第九页，共20页。定理4.6 设是A的特征值，是A的属于(shy)的特征向量，则 （1）k是 kA的特征值(k为任意常数)（2）m是Am 的特征值(m为正整数)（3）当A可逆时，0，且-1是A-1的特征值第10页/共20页第十页，共20页。是A的特征值，是A的属于(shy)的特征向量（1）：k是 kA的特征值即是方程(fngchng)AX=X的非零解，有 A=且 0 证明证明(zhngmng)：已知：已知是是A的属于的属于的特征向量的特征向量因为(kA)=k(A)=k(
5、)=(k)所以是方程kAX=kX的非零解第11页/共20页第十一页，共20页。第12页/共20页第十二页，共20页。矛盾(modn)第13页/共20页第十三页，共20页。【例4】设四阶方阵(fn zhn)A满足 求 的一个(y)特征值。解：A可逆,得:=-3是A的一个(y)特征值第14页/共20页第十四页，共20页。证明(zhngmng)：即 A与 有相同的特征多项式故 A与 有相同的特征值定理47 矩阵A与其转置 矩阵 有相同 的特征值第15页/共20页第十五页，共20页。第16页/共20页第十六页，共20页。第17页/共20页第十七页，共20页。【例5】设A为n阶正交矩阵(j zhn)，证明A的实特征 向量所对应的特征值的绝对值等于1证明(zhngmng)：因为(yn wi)A为正交矩阵，左边=右边=第18页/共20页第十八页，共20页。【例6】设A满足 证明(zhngmng)其特征值 只能取1或2证明(zhngmng)：一个(y)数第19页/共20页第十九页，共20页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第20页/共20页第二十页，共20页。