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1、例如：对 ，取=4，代入方程AX=X得 AX=4X(A-4E)X=O(A-4E)X=O有非零解第1页/共30页所以，=4是矩阵A的一个特征值对 ，取 ，得一个基础解系则方程(A-4E)X=O的全部解为：c为任意常数A的属于=4 的特征向量：c0第2页/共30页1、求、求n阶方阵阶方阵A的特征值：的特征值：数0是A的特征值0使方程AX=X有非零解因此：0是A的特征值l0使 成立求求A的特征值步骤：的特征值步骤：(1)计算n阶行列式解得方程的根1，2，n，则1，2，n即是A的特征值第3页/共30页设第4页/共30页则方程 即 是的n次方程 在复数域上，方程 一定有 n个根。A的特征多项式方程A的特
2、征方程第5页/共30页定义定义 2 设A为n阶方阵，为其特征值组，则其特征方程可表示为：则 称为 的代数重数(重数)，而 特征子空间的维数 称为几何重数(度数)。显然：第6页/共30页解：令 ，得 1=-1，2=7则A的特征值为1=-1，2=7【例1】求 的特征值第7页/共30页2、求求A的属于特征值的属于特征值l l的特征向量的特征向量设i是A的特征值，则方程AX=i,X有非零解.即方程(A-iE)X=O有非零解，方程组(A-liE)X=O的全部非零解A的对应于特征值li的特征向量:第8页/共30页2）求出(A-iE)X=O的一个基础解系 V1、V2、Vs 步骤：1）把=i代入方程(A-iE
3、)X=O得一齐次线性方程组(A-iE)X=O3）A的属于特征值li 的特征向量为：是不全为零任意常数第9页/共30页【例2】求矩阵 的特征值与特征向量 解：得 1=2，2=3=1（二重根）则A的特征值为1=2，2=3=1把1=2代入方程(A-E)X=O，得(A-2E)X=O=+-=+-0040312121xxxxx=0021xx第10页/共30页,得一基础解系于是，A的属于1=2的全部特征向量为：把2=3=1代入方程(A-E)X=O，得(A-E)X=O行变换于是，A的属于2=1的全部特征向量为：取13=x=+=+-0023121xxxx-=13122xxxx得一基础解系取11=x第11页/共3
4、0页解：得 1=-2，2=3=7（二重根）则A的特征值为 1=-2，2=3=7把1=-2代入方程(A-E)X=O，得(A+2E)X=O【例3】求矩阵 的特征值与特征向量第12页/共30页于是，A的属于1=-2的全部特征向量为：=+-=-02023221xxxx=232122xxxx,得一基础解系取12=x第13页/共30页把2=3=7代入方程(A-E)X=O，得(A-7E)X=O令 分别取，得基础解系于是，A的属于2=3=7的全部特征向量为：022321=+xxx31222xxx-=第14页/共30页定理定理 1 n阶方阵A的不同特征值对应的特征向量线性 无关。即 若 是属于特征值1 的特征向
5、量 是属于特征值2的特征向量且1 2，则 与 线性无关第15页/共30页 证明：设1、2、m是A的m个不同的特征值，1、2、m是分别属于1、2、m 的特征向量，即 是方程 的非零解 要证：线性无关设：即有 ，且第16页/共30页在(1)式两边左乘A，得(2)在(2)式两边左乘A，得（3）第17页/共30页（1）（2）（3）（m）做矩阵乘积:（*），即B可逆第18页/共30页不同特征值对应的特征向量线性无关所以：则：第19页/共30页定理定理 2 设是A的特征值，是A的属于的特征向量，则:(1)k是 kA的特征值(k为任意常数)(2)m 是Am 的特征值(m为正整数)(3)当A可逆时，0，且-1
6、是A-1的特征值第20页/共30页因为 是A的属于l的特征向量，即是方程AX=lX的非零解，所以有 A=且0 证（1）：k是 kA的特征值且0，所以是方程kAX=kX的非零解k是 kA的特征值因为(kA)要证方程(kA)X=(k)X 有非零解=k(A)=k()=(k)第21页/共30页先证当A可逆时，0：反证：若不然，=0由A=，得A=0因为A可逆，两边左乘A-1，得=0。矛盾证（3）当A可逆时，l0，且-1是A-1的特征值再证-1是A-1的特征值：因为 A=，两边左乘A-1，得=A-1 =A-1 且0-1=A-1 即是方程A-1 X=-1 X的非零解故-1是A-1的特征值第22页/共30页【
7、例4】设四阶方阵A满足 求 的一个特征值。解：,即A可逆,由所以=-3是A的一个特征值且由再由定理2的（1）可知：第23页/共30页定理定理 3 矩阵A与其转置 矩阵A有相同的特征值证明：即 A与A有相同的特征多项式故A与A有相同的特征值第24页/共30页定理定理 4 设1、2、n是A的n个特征值，则 说明 （1）利用本定理结论(1)可检验所求 的特征值是否正确。（2）由结论(2)可得性质：n阶方阵A可逆A的所有特征值i0（1）1+2+n=a11+a22+ann （2）12 n第25页/共30页定义定义 3 若T为可逆矩阵，对矩阵A、B，若：则称A与B相似。定理定理 5 若矩阵A、B相似，则A、B具有相同的本征值。第26页/共30页【例6】设A满足 证明其特征值只能取 1或2.证明：第27页/共30页【例5】设A为n阶正交矩阵，证明A的实特征向量所 对应的特征值的绝对值等于1。证明：因为A为正交矩阵，左边=右边=第28页/共30页作业：P121 1，12第29页/共30页感谢您的观看！第30页/共30页