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1、定义4.11 设A为n阶方阵，X是n维向量，如 果存在实数，使方程AX=X有非零解，则称为矩阵A的特征值，相应的非零解 称为A的属于的特征向量,n阶方阵n维未知向量实数方程 AX=X（A-E）X=Onn特征值：使方程（A-E）X=O有非零解的实数0A的属于的特征向量：方程(A-E)X=O的非零解n元齐次方程组第1页/共20页例如：对,取=4，代入方程AX=X,得 AX=4X即（A-4E）X=O由（A-4E）X=O有非零解所以,=4是矩阵A的一个特征值第2页/共20页对，取得一个基础解系于是方程（A-4E）X=O的全部解为：则A的属于=4 的特征向量为：,c0,=4是矩阵A的一个特征值第3页/共
2、20页1、求n阶方阵A的特征值：数0是A的特征值0使方程(A-E)X=O有非零解0使 成立 0是A的特征方程 的根求A的特征值步骤：（1）计算n阶行列式（2）令分析:第4页/共20页2、求A的属于特征值的特征向量：分析:设i是A的特征值则方程（A-i E）X=O有非零解X0是A的属于特征值 i 的特征向量X0是方程组(A-i E)X=O有非零解求特征向量的步骤：2）求出方程组的一个基础解系V1,V2,Vs 1）把=i代入方程(A-E)X=O 得一齐次线性方程组(A-i E)X=O3）A的属于特征值i 的特征向量为：第5页/共20页的n次多项式=不同行不同列的n个元素的乘积的代数和即方程 是的n
3、次方程 于是在复数域上，方程 有 n个根。-A的特征多项式方程-A的特征方程第6页/共20页【例(补)】求n阶数量阵解：（n重根）所以A的特征值为：的特征值与特征向量第7页/共20页把1=a代入方程(A-E)X=O，得：，即 OX=O（A-aE）X=O由于任意一个 n维向量V都满足方程 OX=O即任意一个 n维向量V都是(A aE)X=O的解取(A aE)X=O的一个基础解系：则A的属于1=a的全部特征向量为：第8页/共20页定理4.5 n阶方阵A的不同特征值对应的 特征向量线性无关。即 若 是属于特征值1 的特征向量 是属于特征值2的特征向量且1 2证明略第9页/共20页定理4.6 设是A的
4、特征值，是A的属于 的特征向量，则 （1）k是 kA的特征值(k为任意常数)（2）m是Am 的特征值(m为正整数)（3）当A可逆时，0，且-1是A-1的特征值第10页/共20页是A的特征值，是A的属于的特征向量（1）：k是 kA的特征值即是方程AX=X的非零解，有 A=且 0 证明：已知是A的属于的特征向量因为(kA)=k(A)=k()=(k)所以是方程kAX=kX的非零解第11页/共20页第12页/共20页矛盾第13页/共20页【例4】设四阶方阵A满足 求 的一个特征值。解：A可逆,得:=-3是A的一个特征值第14页/共20页证明：即 A与 有相同的特征多项式故 A与 有相同的特征值定理47 矩阵A与其转置 矩阵 有相同 的特征值第15页/共20页第16页/共20页第17页/共20页【例5】设A为n阶正交矩阵，证明A的实特征 向量所对应的特征值的绝对值等于1证明：因为A为正交矩阵，左边=右边=第18页/共20页【例6】设A满足 证明其特征值 只能取1或2证明：一个数第19页/共20页感谢您的观看！第20页/共20页