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1、复习回顾复习回顾1 1 1 1矩阵矩阵 的行列式为的行列式为 ,若有若有 则矩阵则矩阵 存在逆矩阵存在逆矩阵.2.2.矩阵是否可逆的判断矩阵是否可逆的判断 第1页/共40页3.逆矩阵的求解 4.矩阵的逆矩阵为 复习回顾复习回顾第2页/共40页5.5.5.5.设线性方程组为设线性方程组为设线性方程组为设线性方程组为复习回顾复习回顾第3页/共40页6.用逆矩阵解决二元一次方程组的求解过程用逆矩阵解决二元一次方程组的求解过程:复习回顾复习回顾第4页/共40页巩固练习巩固练习1 1、若矩阵、若矩阵、若矩阵、若矩阵MM对应的变换是关于原点对称的反射变换，对应的变换是关于原点对称的反射变换，对应的变换是关
2、于原点对称的反射变换，对应的变换是关于原点对称的反射变换，则矩阵则矩阵则矩阵则矩阵MM-1-1=_;=_;2.2.已知矩阵已知矩阵已知矩阵已知矩阵M=,M=,则矩阵则矩阵则矩阵则矩阵MM不存在逆矩阵的充要条件为不存在逆矩阵的充要条件为不存在逆矩阵的充要条件为不存在逆矩阵的充要条件为_;_;ad-bc=03.3.3.3.将二元一次方程组将二元一次方程组将二元一次方程组将二元一次方程组 ，写成矩阵方程的形式为写成矩阵方程的形式为写成矩阵方程的形式为写成矩阵方程的形式为_;_;_;_;第5页/共40页学习目标学习目标学习目标学习目标:1.1.1.1.掌握特征值与特征向量定义掌握特征值与特征向量定义掌
3、握特征值与特征向量定义掌握特征值与特征向量定义,能从几何变换的角度说明特征向量的意义；能从几何变换的角度说明特征向量的意义；能从几何变换的角度说明特征向量的意义；能从几何变换的角度说明特征向量的意义；2.2.2.2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量；会求二阶矩阵的特征值与特征向量；会求二阶矩阵的特征值与特征向量；会求二阶矩阵的特征值与特征向量；3.3.3.3.利用矩阵利用矩阵利用矩阵利用矩阵M M 的特征值的特征值的特征值的特征值,特征向量给出特征向量给出特征向量给出特征向量给出MM n n的简单表示；的简单表示；的简单表示；的简单表示；第6页/共40页【探究】1 1、计算下列结果：以上的计算结
4、果与 的关系是怎样的？2 2、计算下列结果：以上的计算结果与 的关系是怎样的？第7页/共40页例题分析例题分析第8页/共40页 工程技术中的一些问题 如振动问题和稳定性问题 常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题 数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题 也都要用到特征值的理论 第9页/共40页引例:在一个n输入n输出的线性系统y=Ax中，其中我们可发现系统A对于某些输入x，其输出y恰巧是输入x的 倍，即 ；对某些输入，其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系.第10页/共40页例如，对系统 ，若输入则若输入 ，则第11页/共40页所以，给定一个线性系统A，到底对哪些输入，能使其输出按
5、比例放大，放大倍数 多少？这显然是控制论中感兴趣的问题.第12页/共40页M lll l为矩阵M的特征值,为矩阵M的属于特征值 l l的特征向量.特征值及特征向量的定义特征值及特征向量的定义第13页/共40页一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念定义定义定义定义1 1 1 1:设设为为二二阶矩阵阶矩阵,若对于实数若对于实数，存在存在一一个个非零向量非零向量 ，使得，使得则称则称为为的一个的一个特征值特征值特征值特征值，称称 为为的属于特征值的属于特征值的一个的一个特征向量特征向量特征向量特征向量.第14页/共40页一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念定义定义定义定
6、义1 1 1 1:设设为为二二阶矩阵阶矩阵,若对于实数若对于实数，存在存在一一个个非零向量非零向量 ，使得，使得则称则称为为的一个的一个特征值特征值特征值特征值，称称 为为的属于特征值的属于特征值的一个的一个特征向量特征向量特征向量特征向量.从几何上看特征向量的方向经过变换矩阵从几何上看特征向量的方向经过变换矩阵A的的作用后，保持在同一条直线上作用后，保持在同一条直线上.这时，特征向量或者方向不变（这时，特征向量或者方向不变（0），），或者方向相反（或者方向相反（0）.特别地，当特别地，当=0时，特征向量被变换成了时，特征向量被变换成了0向量向量.第15页/共40页 设 l l是矩阵A=的一个
7、特征值，它的一个特征向量为则即 满足方程组故因 ，所以x y不全为0 0，此时Dx=0、Dy=0 则D=0 0即第16页/共40页建构数学建构数学设矩阵A ，l lR，我们把行列式称为A的特征多项式.分析表明，如果分析表明，如果l l是矩阵是矩阵A A的特征值，则的特征值，则f(l)=0(l)=0此时，将此时，将l l代入方程组代入方程组(*)(*)，得到一组非零解，得到一组非零解即即 为矩阵为矩阵A的属于的属于l l的一个特征向量的一个特征向量 第17页/共40页数学运用数学运用例例1、求出矩阵、求出矩阵A=的特征值和特征向量的特征值和特征向量总结总结求二阶矩阵特征值与特征向量的求二阶矩阵特
8、征值与特征向量的步骤步骤：思考思考 能否从几何变换的角度直接观察出矩阵能否从几何变换的角度直接观察出矩阵A的特征向量？的特征向量？第18页/共40页其几何意义是什么？如果 是矩阵A的属于特征值l l的一个特征向量，则对任意的非零常数t，t 也是矩阵A的属于特征值l l的特征向量.【定理1 1】属于矩阵的同一个特征值的特征向量共线.属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线.【定理2 2】属于矩阵的不同特征值的特征向量有何关系？思考：思考：第19页/共40页注解注解1 1:1.1.1.1.特征值问题只针对方阵而言；特征值问题只针对方阵而言；特征值问题只针对方阵而言；特征值问题只针对方阵而言；2.2.2
9、.2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合属于同一特征值的特征向量的非零线性组合属于同一特征值的特征向量的非零线性组合属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量仍是属于这个特征值的特征向量仍是属于这个特征值的特征向量仍是属于这个特征值的特征向量,即一个特征值对即一个特征值对即一个特征值对即一个特征值对应多个特征向量；应多个特征向量；应多个特征向量；应多个特征向量；3.3.3.3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征向量不能属于不同的特
10、征值的，一个特征向量不能属于不同的特征值的，一个特征向量不能属于不同的特征值的，一个特征向量不能属于不同的特征值第20页/共40页 示例示例 1 1 求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.数学应用数学应用第21页/共40页 求特征值和特征向量的一般步骤：求特征值和特征向量的一般步骤：（1 1）由）由 求出所有特征值求出所有特征值 ；（2 2）求解线性方程组）求解线性方程组（为特征值），则所得非零解为特征值），则所得非零解X X必为特征必为特征向量向量.同步归纳同步归纳f(l)=0(l)=0第22页/共40页 注解注解2：（1 1）不同的特征值对应的特征向量不相等，即：一个特征向量
11、只对应一个特征值）不同的特征值对应的特征向量不相等，即：一个特征向量只对应一个特征值）不同的特征值对应的特征向量不相等，即：一个特征向量只对应一个特征值）不同的特征值对应的特征向量不相等，即：一个特征向量只对应一个特征值.（2 2）矩阵的特征向量是在变换下的）矩阵的特征向量是在变换下的）矩阵的特征向量是在变换下的）矩阵的特征向量是在变换下的“不变量不变量不变量不变量”；（3 3 3 3）变换的几何意义）变换的几何意义）变换的几何意义）变换的几何意义:只改变其特征向量的长度不改变其方向！只改变其特征向量的长度不改变其方向！第23页/共40页例例例例2 2 2 2 数学应用数学应用解：第一步解：第
12、一步 A的特征多项式为的特征多项式为第二步第二步 由由f()=0，得，得A的特征值的特征值1=-2，2=1第24页/共40页1 1 1 1、根据下列矩阵对应的变换，写出它的特征值与特征向量：、根据下列矩阵对应的变换，写出它的特征值与特征向量：、根据下列矩阵对应的变换，写出它的特征值与特征向量：、根据下列矩阵对应的变换，写出它的特征值与特征向量：（1 1）矩阵）矩阵）矩阵）矩阵A=A=的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为_,_,则相应的特征向量为则相应的特征向量为则相应的特征向量为则相应的特征向量为_;_;（2 2）矩阵）矩阵）矩阵）矩阵B=B=的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为_,_
13、,则相应的特征向量为则相应的特征向量为则相应的特征向量为则相应的特征向量为_;_;（3 3）矩阵）矩阵）矩阵）矩阵C=C=的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为_,_,则相应的特征向量为则相应的特征向量为则相应的特征向量为则相应的特征向量为_;_;练一练练一练第25页/共40页2 2 2 2、求出下列矩阵的特征值与特征向量：、求出下列矩阵的特征值与特征向量：、求出下列矩阵的特征值与特征向量：、求出下列矩阵的特征值与特征向量：练一练练一练第26页/共40页5.已知已知x,y R，向量，向量 是矩阵是矩阵 的属于特征值的属于特征值 -2 的一个特征向量，的一个特征向量，求矩阵求矩阵 A以及它的另
14、一个特征值以及它的另一个特征值.（15江苏高考）江苏高考）第27页/共40页第28页/共40页练一练练一练第29页/共40页概念的引入第30页/共40页知识回顾知识回顾第31页/共40页新课讲解：新课讲解：已知向量已知向量求实数求实数m,n，使，使第32页/共40页建构数学建构数学第33页/共40页建构数学建构数学任意向量都可以用特征向量来表示.第34页/共40页数学运用数学运用第35页/共40页练一练练一练第36页/共40页练一练练一练第37页/共40页课堂小结 将直观观察特征值与特征向量和利用将直观观察特征值与特征向量和利用将直观观察特征值与特征向量和利用将直观观察特征值与特征向量和利用特
15、征多项式来解特征值与特征向量结合起特征多项式来解特征值与特征向量结合起特征多项式来解特征值与特征向量结合起特征多项式来解特征值与特征向量结合起来考虑，互相验证，这也是数学研究的一来考虑，互相验证，这也是数学研究的一来考虑，互相验证，这也是数学研究的一来考虑，互相验证，这也是数学研究的一种常用思路和方法，用形的直观探索解题种常用思路和方法，用形的直观探索解题种常用思路和方法，用形的直观探索解题种常用思路和方法，用形的直观探索解题的道路，用数的严谨求解问题！的道路，用数的严谨求解问题！的道路，用数的严谨求解问题！的道路，用数的严谨求解问题！第38页/共40页作业：作业：P731、3第39页/共40页感谢您的观看！第40页/共40页