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1、 函数模型的应用实例函数模型的应用实例www.QYXK.net 中学数学网（群英学科）提供1.1.一次函数的解析式为一次函数的解析式为_,_,其图像是一条其图像是一条 _ _线，线，当当_时，一次函数在时，一次函数在 上为增函数，当上为增函数，当_时，时，一次函数在一次函数在 上为减函数。上为减函数。2.2.二次函数的解析式为二次函数的解析式为_,_,其图像是一条其图像是一条_线，当线，当_时，函数有最小值为时，函数有最小值为_，当，当_时，函数有最大值为时，函数有最大值为_。直直抛物抛物www.QYXK.net 中学数学网（群英学科）提供问题问题 某学生早上起床太晚，为避免迟到，不得不跑步到
2、教室某学生早上起床太晚，为避免迟到，不得不跑步到教室，但由于平时不注意锻炼身体，结果跑了一段就累了，不得不走但由于平时不注意锻炼身体，结果跑了一段就累了，不得不走完余下的路程。完余下的路程。如果用纵轴表示如果用纵轴表示家到教室的距离家到教室的距离，横轴表示出发后的时间，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象比较符合此人走法的是则下列四个图象比较符合此人走法的是 （）0(A)0(B)0(D)0(C)D www.QYXK.net 中学数学网（群英学科）提供这个函数的图像如下图所示：这个函数的图像如下图所示：解解(1)(1)阴影部分的面积为阴影部分的面积为阴影部分的面积表示汽车在这阴影部分的面积表示汽
3、车在这5 5小时内行驶的路程为小时内行驶的路程为360km360km(2)(2)根据图形可得：根据图形可得：课本例课本例3 3 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间关系如图所示：一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间关系如图所示：（1 1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2 2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004 km 2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s s km km与时间与时间t t h h
4、 的函数解析式，并作出相应的图象的函数解析式，并作出相应的图象.908070605040302010vt12345www.QYXK.net 中学数学网（群英学科）提供课本例课本例4 4 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数的变化认识人口数的变化,可以可以为有效的控制人口增长提供依据为有效的控制人口增长提供依据.早在早在17891789年年,英国经济学家马尔萨斯就提出英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型了自然状态下的人口增长模型:其中其中 t t 表示经过的时间表示经过的时间,y y0 0 表示表示 t=0 t=0 时的人口数时的人
5、口数,r,r 表示人口的年平均增长率表示人口的年平均增长率.下表是下表是1950-19591950-1959年年我过人口数据资料我过人口数据资料:年份年份19501950195119511952195219531953195419541955195519561956195719571958195819591959人数人数/万人万人5519655196563005630057482574825879658796602666026661456614566282862828645636456365994659946720767207(1)(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率
6、如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率 (精精确到确到 0.0001)0.0001)用马尔萨斯人口增长模型建立我国这一时期的人口增用马尔萨斯人口增长模型建立我国这一时期的人口增长模型长模型,并检验所得模型与实际人数是否相符并检验所得模型与实际人数是否相符.(2)(2)如果按上表的增长趋势如果按上表的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到大约在哪一年我国的人口达到1313亿亿?解解:(1):(1)设设1951-19591951-1959年的人口增长率分别为年的人口增长率分别为 r r1 1,r,r2 2,r,r3-3-r r9 9.由由 55196(1+r 55196(1+r1
7、1)=56300,)=56300,可得可得19511951年的人口增长率为年的人口增长率为 r r1 10.02000.0200www.QYXK.net 中学数学网（群英学科）提供同理可得同理可得:r:r2 20.0210,r0.0210,r3 30.0229,r0.0229,r4 40.0250,r0.0250,r5 50.0197,0.0197,r r6 60.0223,r0.0223,r7 70.0276,r0.0276,r8 80.0222,r0.0222,r9 90.0184.0.0184.可得可得,1951-1959,1951-1959年期间我国人口的平均增长率分为年期间我国人口的
8、平均增长率分为令令y y0 0=55196,=55196,则我国在则我国在1950-19591950-1959年期间我国的人口增长模型为年期间我国的人口增长模型为根据上表的数据作出散点图根据上表的数据作出散点图,并作出函数并作出函数 的图象的图象1 1 2 24 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10103 3t to o50000500005500055000600006000065000650007000070000y y由图可以看出由图可以看出,所得模型与所得模型与 1950-1950-19591959年的实际人口数据基本吻合年的实际人口数据基本吻合.(2)(2)将将y=130
9、000y=130000代人代人由计数器可得由计数器可得 t 38.76.t 38.76.也即是在也即是在3939年后的年后的19891989年人口达到年人口达到1313亿亿.www.QYXK.net 中学数学网（群英学科）提供 实际问题实际问题 数学模型数学模型实际问题实际问题 的解的解抽象概括抽象概括数学模型的数学模型的解解还原说明还原说明推理推理演算演算www.QYXK.net 中学数学网（群英学科）提供1.1.一家旅社有一家旅社有100100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：每
10、间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：每间每天房价每间每天房价住房率住房率2020元元1818元元 1616元元1414元元6565 757585859595要使每天收入达到最高，每间定价应为（要使每天收入达到最高，每间定价应为（）A.20A.20元元 B.18 B.18元元 C.16 C.16元元 D.14 D.14元元2.2.将进货单价为将进货单价为8080元的商品按元的商品按9090元一个售出时，能卖出元一个售出时，能卖出400400个，已知这种商品个，已知这种商品每个涨价每个涨价1 1元，其销售量就减少元，其销售量就减少2020个，为了取得最大利润，每个售价应定为个，为了取得最大利润
11、，每个售价应定为 ()()A.95 A.95元元 B.100 B.100元元 C.105 C.105元元 D.110 D.110元元C CA Ay=(90+x-80y=(90+x-80）（）（400-20 x)400-20 x)www.QYXK.net 中学数学网（群英学科）提供 y在在x 250，400上是一次函数上是一次函数 数量(份)价格(元)金额(元)买进30 x0.206x卖出20 x+10*2500.306x+750退回10(x-250)0.080.8x-200则每月获利润则每月获利润y（6x750）（）（0.8x200）6x 0.8x550（250 x400）x400份时，份时，
12、y取得最大值取得最大值870元元 答：每天从报社买进答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为份时，每月获的利润最大，最大利润为870元元 例例2:一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？www.QYXK.net 中学数学网（群英学科）提供例例3 3 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为某桶装水经营部每
13、天的房租、人员工资等固定成本为200200元，每桶水的元，每桶水的进价是进价是5 5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价销售单价/元元日均销售量日均销售量/桶桶6 67 78 89 91 10 01 11 1121248048044044040040036360 0 320320280280240240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？分析：由表中信息可知分析：由表中信息可知销售单价每增加销售单价每增加1 1元，日均销售量就减少元，日均销售量就减少4040
14、桶桶销售利润怎样计算较好？销售利润怎样计算较好？解：设在进价基础上增加解：设在进价基础上增加x x元后，日均经营利润为元后，日均经营利润为y y元，则有日均销售量为元，则有日均销售量为 （桶）（桶）而 有最大值有最大值 只需将销售单价定为只需将销售单价定为11.511.5元，就可获得最大的利润。元，就可获得最大的利润。www.QYXK.net 中学数学网（群英学科）提供例例4、某蔬菜菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300天内，西红柿市场售价与上市时间关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示：（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式
15、，写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：，时间单位：天）0200300 t100300P0tQ50150250300100150250解(1)由图1可得市场售价与 时间的函数关系式为:由图2可得种植成本与时间 的函数关系式为:www.QYXK.net 中学数学网（群英学科）提供(2)设 时刻的纯收益为 ,则由题意得 即时,配方整理得 ,所以当 时,取得 上的最大值当时,配方整理得所以当时,取得上的最大值;当综上,由 可知,在 上可以取得最大值100,此时 =50,即二月一日开始的第50天时,
16、上市的西红柿纯收益最大.www.QYXK.net 中学数学网（群英学科）提供基本步骤：基本步骤：第一步：阅读理解，认真审题第一步：阅读理解，认真审题 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息。把握住新信息。第二步：引进数学符号，建立数学模型第二步：引进数学符号，建立数学模型 设自变量为设自变量为x x，函数为，函数为y y，并用，并用x x表示各相关量，然后根据问题已知表示各相关量，然后根据问
17、题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型。即所谓建立数学模型。第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果。予以解答，求得结果。第四步：再转译为具体问题作出解答。第四步：再转译为具体问题作出解答。www.QYXK.net 中学数学网（群英学科）提供 实际问题实际问题 数学模型数学模型实际问题实际问题
18、的解的解抽象概括抽象概括数学模型的数学模型的解解还原说明还原说明推理推理演算演算www.QYXK.net 中学数学网（群英学科）提供2.2.（选做）甲乙两人连续（选做）甲乙两人连续6 6年对某县农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查，年对某县农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查，提供了两个方面的信息，如下图：提供了两个方面的信息，如下图：甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1 1年年1 1万只甲鱼上升到第万只甲鱼上升到第6 6年年2 2万只万只乙调查表明：甲鱼池个数由第乙调查表明：甲鱼池个数由第1 1年年3030个减少到第个减少到第6 6年年1010个个请你根据提
19、供的信息说明：请你根据提供的信息说明：第第2 2年甲鱼池的个数及全县甲鱼总数年甲鱼池的个数及全县甲鱼总数到第到第6 6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1 1年是扩大了还是缩小了？说明理由。年是扩大了还是缩小了？说明理由。布置作业布置作业1.(1.(必做必做)课本第课本第107107页页 习题习题1,21,2www.QYXK.net 中学数学网（群英学科）提供应用函数知识解应用题的方法步骤：应用函数知识解应用题的方法步骤：(1)(1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键。正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键。转化来源于对已知条件的综合分析，归纳与抽象，并与熟转化来源于对已知条件的综合分析，归纳与抽象，并与熟 知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类。知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类。(2)(2)用相关的函数知识进行合理设计，确定最佳解题方案，进用相关的函数知识进行合理设计，确定最佳解题方案，进 行数学上的计算求解。行数学上的计算求解。(3)(3)把计算获得的结果回到实际问题中去解释实际问题，即对把计算获得的结果回到实际问题中去解释实际问题，即对 实际问题进行总结做答。实际问题进行总结做答。www.QYXK.net 中学数学网（群英学科）提供