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1、3.2.2 函数模型的应用实例函数模型的应用实例对比三种函数的增长差异对比三种函数的增长差异x x x x对于指数函数、对数函数、幂函数对于指数函数、对数函数、幂函数 在区间（在区间（0,）上，尽管函数）上，尽管函数 都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个 档次档次 上。随着上。随着 x 的增大，的增大， 的增长速度越来越快，会超过并的增长速度越来越快，会超过并远远大于远远大于 的增长速度，而的增长速度，而 的增长速度的增长速度则会越来越慢。因此，总会存在一个则会越来越慢。因此，总会存在一个 ，当，当 时，就有时，就有(1),log(1
2、)(0)xnay a ayx ay x n和(1)xy a a(0)ny x nlog (1)ayxa0 x0 xxlognxaxxa o （1）求图1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；o （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象。一辆汽车在某段路中的行驶速率与时间的关系如图1所示， 图19080706050403020101 2 3 4 5v/ (km/h)0解：（1）阴影部分的面积为阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的为360km。50 1 80 1 90 1 7
3、5 1 65 1 360 （2）根据图1,有 这个函数的图象如图2所示。ts例4 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨（T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：0y年份1950195119521953195419551956195719581959人数万人55196563005748258796602666145662828645636599467207其中t表示经过的时间， 表示t0时的人口数，r表示人口的年平均增长率。表3是19501959年我国的人口数据资料：
4、0yeyrty0(1)如果以各年人口增长谐振平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符;解：设19511959年的人口增长率分别为129r ,r ,.,r .由155196(1)56300,1951,r123456789可 得年 的 人 口 增 长 率 r0.0200.同 理 可 得r0.0210,r0.0229,r0.0250,r0.0197,r0.0223,r0.0276,r0.0222,r0.0184.于是, 19511959年期间,我国人口的年均增长率为129(.) 9 0.0
5、221rrrr eyrty0055196,19501959y 令则我国在年期间的人口增长模型为0.022155196.tyetN根据表格3中的数据作出散点图,并作出函数 的图象(图4).由图由图4可以看出可以看出,所得所得模型与模型与19501959年年的实际人口数据基本的实际人口数据基本吻合吻合.0.022155196.tyetN（2）如果按表3的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？o 将y=130000代入o 由计算可得o 所以,如果按表3的增长趋势,那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力.0.022155196.tyetN38.76t 数学模型为二次函数的问题数学模型为二次函数的问题 二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（最小值），故常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。看书中105页的例六。