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1、函数模型应用实例函数模型应用实例 例例4：人口问题是当今世界各国普遍关注：人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。认识人口数量的变化规律，可以的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家年，英国经济学家马尔萨斯马尔萨斯就提出了自然就提出了自然状态下的人口增长模型：状态下的人口增长模型：其中其中t表示经过的时间，表示经过的时间，表示表示t=0时的人时的人口数，口数，r表示人口的年表示人口的年平均平均增长率。增长率。下面是下面是19501959年我国的人口数据资料：年我国的人口数据资料：(1)如果以各年人口增长率的平均值
2、作为我国这一时如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率期的人口增长率(精确到精确到0.0001)，用，用马尔萨斯人口增马尔萨斯人口增长模型长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；检验所得模型与实际人口数据是否相符；55196 56300 574825879660266614566282864563659946720719501951 19521953195419551956195719581959 (2)如果按表中数据的增长趋势，大约在哪一年我国的如果按表中数据的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达
3、到人口达到13亿？亿？1.本例中所涉及的数量有哪些本例中所涉及的数量有哪些?经过经过t年后的人口数年后的人口数y,t=0时的人口数时的人口数y0人口年平均增长率人口年平均增长率r经过的时间经过的时间t以及以及19501959年我国的年我国的人口数据。人口数据。分析探究分析探究2、描述所涉及数量之间关系的函数模型、描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的是否是确定的,确定这种函数模型需要几确定这种函数模型需要几个因素个因素?两个两个,即即:y0和和 r3、根据表中数据如何确定函数模型、根据表中数据如何确定函数模型?先求先求19511959年各年的人口增长率年各年的人口增长率,再求年再求年平均
4、增长率平均增长率r,确定确定y0的值的值,从而确定人口增长从而确定人口增长模型模型.是设设19511959年的人口增长率分年的人口增长率分别为别为r1,r2,r9 可得可得1951年的人口增长率年的人口增长率r10.0200r20.0210由55196(1+r1)=5630053600(1+r2)=57483年份19511952195319541955195619571958 19590.02000.02100.02290.02500.01970.02230.02760.02220.0184于是，于是，19511959年期间，我国人口的年平均年期间，我国人口的年平均增长率为：增长率为：根据马尔
5、萨斯人口增长模型根据马尔萨斯人口增长模型 ，则我国在，则我国在19511959年期间的人年期间的人口增长模型为口增长模型为4、对所确定的函数模型怎样进行检验、对所确定的函数模型怎样进行检验?根根据检验结果对函数模型又应作出如何评价据检验结果对函数模型又应作出如何评价?答答:作出人口增长函数的图象作出人口增长函数的图象,再在同一直角坐标再在同一直角坐标系上根据表中数据作出散点图系上根据表中数据作出散点图,观察散点是否在观察散点是否在图象上图象上.从该图可以看出，所得模型与从该图可以看出，所得模型与19501959年的年的实际人口数据基本吻合。实际人口数据基本吻合。4685000055000600
6、00650007000020ty5、如何根据所确定的函数模型具体预测、如何根据所确定的函数模型具体预测我国某个时期的人口数我国某个时期的人口数,实质是何种计算实质是何种计算方法方法?答答:已知函数值已知函数值,求自变量的值求自变量的值.（2）将）将y=1300000代入代入 y=55196e0.0221t，由计算机可得：由计算机可得：t t38.7638.76 这就是说按照这个增长趋势，那么大约这就是说按照这个增长趋势，那么大约在在19501950年后的第年后的第3939年（即年（即19891989年），我国的年），我国的人口就已经达到人口就已经达到1313亿。亿。如果不实行计划生育，而如果不
7、实行计划生育，而让人口自然增长，今天我让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口国将面临难以承受的人口压力！压力！对于已经给出的模型的函数问题：对于已经给出的模型的函数问题：首先，根据已知的部分数据，求出首先，根据已知的部分数据，求出函数模型中的待定系数；函数模型中的待定系数；其次，作出散点图，对所得解析式其次，作出散点图，对所得解析式检验；检验；最后，运用已经求出的函数模型解最后，运用已经求出的函数模型解决相应的问题。决相应的问题。55.0555.0547.2547.2538.8538.8531.1131.1126.8626.8620.9220.92体重体重体重体重/kg/kg/kg/kg
8、170170160160150150140140130130120120身高身高身高身高/cm/cm/cm/cm17.5017.5015.0215.0212.1512.159.999.997.907.906.136.13体重体重体重体重/kg/kg/kg/kg1101101001009090808070706060身高身高身高身高/cm/cm/cm/cm(1)根据表中提供的数据根据表中提供的数据,能否建立恰当的函数能否建立恰当的函数模型模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重男性体重ykg与身高与身高xcm的函数关系的函数关系?试写出试写出这个函数模型
9、的解析式这个函数模型的解析式.例例6:某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表:分析：这里只给了通过测量得到的统计数分析：这里只给了通过测量得到的统计数据表据表,要想由这些数据直接发现函数模型是困要想由这些数据直接发现函数模型是困难的难的.提示提示:函数的三种表示方法可以互相转化使函数的三种表示方法可以互相转化使用用,它们各有优劣它们各有优劣,同学们根据这些数据画出散同学们根据这些数据画出散点图点图,再进行观察和思考再进行观察和思考,所作的散点图与已知所作的散点图与已知的哪个函数图像最接近的哪个函数图像最接近,从而选择函数模型从而选择函数模型.思
10、考思考1:1:上表提供的数据对应的散点图大致如何？上表提供的数据对应的散点图大致如何？身高（身高（cm）体重（体重（kg）o 通过散点图,发现指数型函数yabx的图像可能与散点图的吻合较好,而函数中只有两个待定系数，故只需选取两组数据就能求出a,b。是否是否12组数据组数据中任取两组数据，中任取两组数据，得到的得到的a，b的的值会相同？值会相同？请同学分组选取数据操作请同学分组选取数据操作第一组数据选取（第一组数据选取（6060，6.136.13），），(70,7.90(70,7.90）第二组数据选取第二组数据选取 (70,7.90)(70,7.90)，（，（160160，47.2547.25
11、）分别用计算器求出分别用计算器求出a，b选取选取(60，6.13),(70，7.90)，算出算出a1.338，b 1.026，函数模型函数模型y1.338 1.026x画出函数图像与散点图，我画出函数图像与散点图，我们发现，这个函数模型与已们发现，这个函数模型与已知数据的拟合度不是很好。知数据的拟合度不是很好。所以所以y1.338 1.026x不能较好地刻画出该地区未不能较好地刻画出该地区未成年人体重与身高的关系。成年人体重与身高的关系。选取选取 (70,90)，（，（160，47.25）算出算出a 2，b 1.02，函数模型，函数模型y2 1.02x画出函数图像与散点图，我们发现，散点图上的
12、点画出函数图像与散点图，我们发现，散点图上的点基本上在或接近函数基本上在或接近函数y2 1.02x的图象，所以函数的图象，所以函数y2 1.02x能较好地刻画出该地区未成年人体重与身能较好地刻画出该地区未成年人体重与身高的关系。高的关系。因此，当所选的数据不适合实际，还要对函数模型因此，当所选的数据不适合实际，还要对函数模型进行修正进行修正.注注 意意 用函数模型刻画实际的问题时，用函数模型刻画实际的问题时，由于实际问题的条件与得出模型的由于实际问题的条件与得出模型的条件会有所不同，因此往往需要对条件会有所不同，因此往往需要对模型进行修正。模型进行修正。(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦倍为偏瘦,那么这个那么这个地区一名身高为地区一名身高为175cm,体重为体重为78kg的在的在校男生的体重是否正常校男生的体重是否正常?基本过程1、收集数据；2、作出散点图；3、通过观察图象判断问题所适用的函数模型；4、用计算器或计算机的数据拟合功能得出具体的函数解析式；5、用得到的函数模型解决相应的问题。通过上例的解题过程，体验了利用实际数据拟合函数的过程：收集数据收集数据画散点图画散点图选择函数模型选择函数模型 求解函数模型求解函数模型应用模型应用模型检验模型检验模型不符合实际不符合实际符合实际符合实际