实变函数复习要点.pdf

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1、2011 实变函数复习要点 第一章 集合（一）考核知识点 1.集合的定义、简单性质及集合的并、交、补和极限运算。2.对等和基数及其性质。3.可数集合的概念及其性质。4.不可数集合的概念及例子。（二）考核要求 1.集合概念 识记：集合的概念、表示方法、子集、真子集和包含关系。2.集合的运算（1）识记：集合的并、交、补概念。De Morgan公式 ccAA)(ccAA)(（2）综合应用：集合的并、交、补运算。例 利用集合的并、交、补运算证明集合相等。例 NnxxAnnn,11:11设 0,11nnA，)1,2(1nnA 3.对等与基数 （1）识记：集合的对等与基数的概念。（2）综合应用：集合的对等

2、的证明 例 利用定义直接构造两集合间的 1-1 对应。4.可数集合（1）识记：可数集合的概念和可数集合的性质，可数集合类。（2）综合应用：可数集合的性质。5.不可数集合 识记：不可数集合的概念、例子。第二章 点集（一）考核知识点 1.n 维欧氏空间邻域、集合的距离、有界点集和区间体积概念以及邻域的性质。2.聚点、内点、界点、开核、边界、导集和闭包及其性质。3.开集、闭集及其性质。4.直线上的开集的构造，构成区间，康托集。（二）考核要求 1.度量空间，n 维欧氏空间 识记：邻域的概念、有界点集概念。2.聚点、内点和界点 识记：聚点、内点、外点、界点、孤立点、接触点、开核、边界、导集和闭包。如 聚

3、点与内点的关系，界点与聚点、孤立点的关系 如聚点的等价定义：设EP0，存在 E 中的互异的点列 nP使0limPPnn 如0P为 E 的接触点的充要条件为存在 E 中点列 nP,使得0limPPnn 3.开集，闭集（1）识记：开集、闭集的概念。（2）综合应用：开集和闭集的充要条件以及开集和闭集的性质。例如何证明一个集合为开集 例如何证明一个集合为闭集 如 A 为闭集当且仅当 A 中的任意收敛点列收敛于 A 中的点（即闭集为对极限运算封闭的点集）4.直线上的开集的构造（1）识记：直线上的开集的构造及构成区间的概念。例设)2,0(1G,)4,3()2,1(2G 21GGG,求 G 的构成区间.解：

4、G 的构成区间为(0,2)、(3,4)（2）简单应用：康托集 Cantor 集的基数为 C 第三章 测度论（一）考核知识点 1.外测度的定义以及简单性质。2.可测集的卡氏条件（Caratheodory 条件）和可测集的性质。3.零测度集以及区间、开集和闭集的可测性；Borel 集及其可测性；G型集、F型集；可测集的构成。（二）考核要求 1.外测度（1）综合应用：外测度的定义。如设 B 是有理数集，则0Bm Cantor 集的外测度为 0 例 两个集合的基数和它们的外测度的关系（2）综合应用：外测度的性质。非负性：0Am 单调性：BmAmBA，则若 次可数可加性：nnnnAmAm*11*)(2.

5、可测集（1）识记：可测集的卡氏条件（Caratheodory 条件）。（2）分析：可测集的性质。可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数并，以及极限运算封闭 3.可测集类（1）简单应用：零测度集以及区间、开集和闭集的可测性；Borel 集及其可测性；G型 集、F型集。零集、区间、开集、闭集、G型集（可数个开集的交）、F 型集（可数个闭集的并）、Borel 型集（从开集出发通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。例 零测度集：单点集、有理数集、康托集 例 零测度集与可数集的关系 例“开集类”，“波雷尔集类”，“可测集类”，“G型集类”之间的关系。（2）综合应用：可测集的

6、构成。可测集与开集、闭集只相差一小测度集)(,0)1EGmGEGE且，使得开集可测，则若 反之也成立，即证明设0,GE开集使*()m GE，则 E 是可测集。)(,0)2FEmEFFE且，使得闭集可测，则若 反之也成立，即证明设0，存在闭集EF，使得)(*FEm，则 E 是可测集 可测集可由G型集去掉一零集，或F型集添上一零集得到。1)若 E 可测，则存在G型集 G,使0)(EGmGE且 即设 E 是 L 可测的，G 是G集，则存在零测集 N，使 E=G-N.2)若 E 可测，则存在F型集 F,使0)(FEmEF且 即设 E 是 L 可测的，F 是F集，则存在零测集 N，使 E=F+N.第四章

7、 可测函数（一）考核知识点 1.可测函数的定义及其等价定义、可测函数的性质和可测函数与简单函数的关系。2.叶果洛夫定理及逆定理。3.鲁津定理及逆定理。4.依测度收敛的定义、性质、Riesz 定理、勒贝格定理。（二）考核要求 1.可测函数及其性质（1）简单应用：可测函数的定义及其等价定义。（3）综合应用：可测函数的性质。零集上的任何函数都是可测函数 简单函数是可测函数 可测集 E 上的连续函数 f(x)必为可测函数 在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性 即：设 f(x)=g(x).于 E，f(x)在 E 上可测，则 g(x)在 E 上也可测。可测函数关于子集、并集的性质 可测函数类关于

8、四则运算封闭 可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。2.叶果洛夫定理及逆定理 识记：叶果洛夫定理。可测函数列的收敛“基本上”是一致收敛 证明叶果洛夫定理的逆定理：设函数列()nfx(1,2,)n 在有界集E上“基本上”一致收敛于()f x，则().nfx a e收敛于()f x。3.可测函数的构造 可测函数和连续函数的关系 识记：鲁津定理 可测函数“基本上”是连续函数（鲁津定理）。证明鲁津定理的逆定理：设()f x是E上.ae有限的函数，若对任意0，存在闭子集FE，使()f x在F上连续，且()m EF，则()f x是E上的可测函数。4.依测度收敛（1）识记：依测度收敛的定义、性质。（2）综合

9、应用：Riesz 定理、勒贝格定理。处处收敛和依测度收敛的关系 一致收敛和依测度收敛的关系 Effn于Euaffn于.Eeaffn于.叶果洛夫定理mE+Lebesgue定理mE+叶果洛夫逆定理子列Riesz定理子列 第五章 积分论（一）考核知识点 1.勒贝格积分的定义、勒贝格积分与黎曼积分的关系。2.勒贝格积分的性质。3.勒贝格控制收敛定理（二）考核要求 1.勒贝格积分的定义（1）简单应用：勒贝格可积的充要条件。设 f(x)是可测集)(mEREq上的有界函数，则 f(x)在 E 上可积的充要条件是 f(x)在 E 上可测。（2）分析：L 积分与 R 积分的关系。若有界函数 xf在闭区间ba,上

10、黎曼可积，则 xf在ba,上也是勒贝格可积的，且二者积分值相等。xf在ba,上黎曼可积的充要条件是 xf在ba,上的不连续点所成之集测度为零。3.勒贝格积分性质 评价：勒贝格积分性质 利用积分的性质计算 L 积分 例 QxQxxD1,01,0,0,1,0011,01,01,0QQdxxDL 5.积分的极限定理 分析：勒贝格控制收敛定理。利用勒贝格（Lebesgue)控制收敛定理计算 R 积分 关于考核目标说明 识记（了解）：指能够对有关名词、概念、知识、术语作出正确解释，并能记住和正确 表述出来。简单应用（会）：在识记的基础上，能够进一步深入全面地把握基本概念、基本原理，使所学知识融汇贯通，能够正确运用。综合应用（掌握）：能够正确熟练地简单应用所学知识，处理相关一般性问题。分析（熟练掌握）：在理解掌握所学知识的基础上用所学知识分析解决实际问题。评价（融会贯通）：在熟练掌握所学知识，对实际问题分析解决的基础上，并进一步做出评价。