实变函数复习提纲.docx

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1、 实 变 函 数 复 习 提 纲2006-7-14第一章 集合一、根本概念：集合、并集、交集、差集、余集；可数集合、不可数集合；映射、一一映射对应；集合的对等，基合的基数势、浓度二、根本理论：1、集合的运算性质：并、交差、余集的运算性质；德一摩根公式；2、集合对等的性质；3、可数集合的性质、基数：、0；4、不可数数集合的基数：a0三、基此题目1、集合对等的判定、求基合的基数例 证明=1，1和=，+是对等的，并求.证：作映射：，1，1，其值域为=，+、因，在1，1是严格单调增的，：是1，1到上的一一对应, 即 I= (-1,1)(=R由对等的定义知：.，又，.2 集合的运算，德。摩根律的应用3

2、可数数集合的判定 第二章 点集一、根本概念：距离、度量空间、维欧氏空间；聚点、内点、界点,开核、导集、闭包；开集、闭集、完备集；构成区间二、根本理论1、开集的运算性质 ； 2、闭集的运算性质3、直线上开集的构造； 4、直线上闭集的构造三、基此题目1 求集合的开核、导集、闭包，判定开集、闭集例 设E为0，1上的有理数点的全体组成的集1求，；2判定E是开集还是闭集，为什么？解：1对于，的任意邻域内有无数个无理点,，不是E的内点，由的任意性，知E无内点,.对于，内都有无数多个有理点，即有无数多个E的点,为E的聚点.又在0，1外的任一点都不是E的聚点. . ， .2E不是开集，也不是闭集.因为，而E是

3、非空的，E不是开集.因为，而0，1中的无理点不在E内，即，由定义知，E不是闭集. 2 直线上开集、闭集的构造第三章 测度论引入：把区间的长度、平面图形的面积、空间立体图形的体积推广到点集的度量测度 一、根本概念：勒贝格外测度，L测度，可测集，可测集类1勒贝格外测度的定义：设E为中任一点集，对于每一列覆盖E的开区间，作出它的体积和可以等于+，不同的区间列一般有不同的，所有这一切的组成一个下方有界的数集，它的下确量由E完全确定称为E的勒贝格外测度，简称外测度或外测度，记为，即： 注：由定义1知：中的任一点集都有外测度一个非负数.2勒贝格测度、可测集的定义：设E为中点集，假设对任一点集T都有1那么称

4、E为L可测的，这时E的L外测度就称为E的L测度，记为，条件1称为卡拉泰奥多里条件，也简称卡氏条件.L可测集的全体记为.3可测集类1零测度集类：2一切区间I开、闭、半开半闭都是可测集合，且3凡开集、闭集皆可测4凡博雷尔集都是可测的 二、根本理论1勒贝格外测度的性质10，当E为空集时=0即；非负性；2设AB，那么；单调性3；次可数可加性2 勒贝格测度、可测集的性质及可测性1定理1集合E可测对任意的AE，BCE，总有2余集的可测性：S可测CS可测3并集的可测性：假设S1，S2都可测，那么S1S2也可测；4交集的可测性：假设S1，S2都可测，那么S1S2也可测；5差集的可测性：假设S1，S2都可测，那

5、么S1S2也可测；6可列可加性：设是一列互不相交的可测集，那么也是可测的，且7可列交的可测性：设是一列可测集合，那么也是可测集合；8递增的可测集列的极限的测度：设是一列递增的可测集合：，令S= 那么9递减的可测集列的极限的测度：设是一列递减的，可测集合：S1S2Sn令，那么当它时，.三 基此题目1、试述L外测度的定义.答案见第三章1定义12、试给L测度的定义答案见第三章2定义13、设点集，证明E是可测集，并求.证：只须证明卡氏条件成立，即对，有 外测度的次可数可加性另一方面：，单调性，0，00，必有=0又： 单调性 + 由、可知：=+，此即卡氏条件成立； E是可测的， .4、证明可数点集的外测

6、度证明：E为可数点集，其中，对于任意给定的0，不妨设1，作开区间因 ，由外测度的单调性及次可列可加性得：又由的任意性及0得：=0，得证.注：此题可当作定理.5、设Q为有理数集合，求，.解：Q为一可数集合，=0. 对于， 外测度的次可列可加性另一方面，单调性，。又，单调性 由、知： 即卡氏条件成立， Q为可测集， .第四章 可测函数一、根本概念：可测函数.， 重要的可测函数：简单函数，连续函数；依测度收钦，命题几乎处处成立1、可测函数的定义：设是定义在可测集上的实函数，假设对于任何有限实数，点集Ef=都是可测集，那么称为定义在E上的可测函数. 2简单函数定义：设，把E分为有限个互不相交的可测集，

7、使常数，时，那么称为定义在E上的简单函数.例如在区间0，1上的狄利克雷函数便是一简单函数 3 连续函数的定义用邻域定义：设，对于，假设：1有限；2对于的任一邻域都存在的某邻域，使得；那么称在点连续，假设在E中每一点都连续，那么称 在E上连续.4、命题几乎处处成立：设命题是一个及点集E有关的命题，假设存在E的子集ME，mM=0，使在EM上恒成立，即EE成立为零测度集，那么称在E上几乎处处成立，简记为 于E成立.5 依测度收敛的定义：设是上一列有限的可测函数列，假设有E上有限的可测函数满足以下关系：对任意的0，有,那么称函数列依测度收敛于，记为：.注意：依测度收敛及收敛的不同，两者不能彼此包含.二

8、、根本理论1可测函数的充要条件定理1、设是定义在可测集E上的实函数，以下任一条件都是在E上可测的充要条件：1对任何有限实数，E都可测；2对任何有限实数，E都可测；3对任何有限实数，E都可测；4对任何有限实数a ，bab，E afb 都可测充分性要假定是有限函数2可测函数的运算1设都在E上可测，那么以下函数假定它们在E上有意义都在E上可测： ； ； ， .2可测函数列确实界函数仍可测，设是在E上可测函数列，那么下确界函数和上确界函数都在E上可测3可测函数列的上、下极限函数以及极限函数都是可测函数.3、可测函数及简单函数的关系任何一个可测函数都可表示成一简单函数列的极限函数.4、连续函数及可测函数

9、的关系定理2连续函数一定是可测函数，但反之，不真.5 叶果洛夫定理见书P87定理告诉我们：满足定理假设的a.e.收敛的可测函数列，即使不一致收敛，也是“根本上一致收敛的.6可测函数的构造定理1鲁津见书P88定理说明：一般的可测函数是“根本上连续的函数.7、依测度收敛及收敛的关系.定理1黎斯设在E上测度收敛于，那么存在子列，在E上收敛于.三 基此题目1、证明：在E上为可测函数的充要条件是对任一有理数r，集Ef r是可测的.证: 必要性：在E上可测,由定义对任意有限实数a, 点集Ef a是可测的，特别地当为任一有理数时，Ef r也可测.充分性：对任一有理数可测，下面只须证明对任一无理数，点集Ef

10、可测. 取一递增的有理数列：且， 可测，. 可测可测个可测集的交集仍可测, 即可测, 由可测函数的等价条件知点集Ef 也可测.所以，对任意有限实数，点集都可测，由定义知在E上可测.充分性成立.综合两方面的证明知，命题得证.2、试述可测函数的定义，答案见1定义1.第五章 积分论引入：为克制R-积分的缺乏，引入L-积分.一、根本概念：黎曼积分R积分，勒贝格积分L积分，函数的下方图形.1黎曼积分的确界式定义黎曼积分、简记为R积分，即数学分析中的定积分.回忆R积分确实界式定义见书P100定义1.2勒贝格积分的定义(1设是E上的有界函数，mE1对E的任一可测分化，为互不相交的可测集2令 作乘积 求和：

11、大和小和3求L上、下积分令： L上积分L下积分4假设，那么称在E上L可积，且称此共同值为 在E上的L积分，记为：.2 一般可积函数的勒贝格积分的定义把L积分从mE有限,f(x)在E上有界,推广到mE没有限制, f(x)在E上是否有界不要求的情形,推广步骤分为: 第一步 非负函数情形 见书P115 第二步 一般函数(不限于非负)的情形 见书P116 推广后的L积分的性质 见书P1173 函数的下方图形二、根本理论1 L可积的充要条件1设在可测集上有界，在E上L可积对，存在E的可测分划D，使 ，这里.2)设f(x)在可测集E(mE)上有界,那么f(x)在E上L可积 f(x)在E上可测.2 L积分的

12、运算性质设f(x)、 g(x)可测集E(mE)上有界且L可积,那么f(x)g(x) 、 f(x)g(x) 、 f(x) /g(x) (但)及 在E上都是可积的.3 L积分及R积分的关系 设f(x)在a,b上R可积,那么f(x)在a,b上L可积,且有一样的积分值, 即 4 L积分的性质1 假设 f(x)在E上L可积,那么 f(x) 在E的任何子集上也可积2对积分区域的可加性: 假设f(x)在E=AB上有定义,AB=,且在A,B上分别可积,那么 =+3 线性运算性质 1) 设f(x) 、 g(x) 在E上L可积,那么=+ 2) 设f(x)在E上L可积,C为常数,那么=C4 不等式性质: 设f(x)

13、 g(x) 在E上L可积,且f(x) g(x),那么 特别地 当bf(x)B是有bmE BmE5 绝对值可积性: 设f(x)在E上L可积,那么在E上L可积,且 6 设f(x)在E上L可积,f(x)0,且 =0,那么f(x)=0, a . e及E;7 绝对连续性: 设f(x)在E上L可积,那么对于任何可测集AE,有 =05 积分的极限定理1 勒贝格控制收敛定理(定理1) 设 (1)是可测集E上的可测函数列; (2)F(x) a e及E,n=1,2,且F(x) 在E上可积分 (3) f(x) 那么f(x) 在E上可积分,且=即极限运算及积分的运算可交换顺序2 列维定理 (定理2) 见书P1263

14、L逐项积分: =4L积分的可数可加性 设f(x) 在E上积分确定,E=,为互不相交的可测集,那么=5 法都引理 见书P1286 勒贝格积分的几何意义设f(x)为可测集E上的非负可测函数,那么=mG(E,f),其中G(E,f)为f(x)在E上的下方图形.三 基此题目1, 设f(x)在可测集E(mE)上有界,试给出f(x) 在E上L积分的定义 答案见2 定义12 设D(x)= x0,1， 1)证明D(x)在0,1上L可积， 2)求 1) 证D(x)为0,1上简单函数 D(x)在0,1上可测 又 即D(x)在0,1上有界 而0,1为可测集 D(x)在0,1上L可积 2) 解: D(x)在0,1上L可积 令E为0,1上的有理数集合，那么0,1E为0,1上的无理数集合,有L积分的性质得 =+ E为0,1上的有理数m全体组成的集合,它是全体有理数集合Q的子集合 又 mQ=0 mE=0 有差集的可测性知: m(0,1E)=m0,1mE=10=1 =+=+=1mE+0=10+0=0+0=0 3 试述非负有界函数的勒贝格积分的几何意义.