《实变函数试题[1].pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实变函数试题[1].pdf（5页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、一一. . 填空题填空题 1、(CsACsB)(A(A B)2、设E是_o0,1上有理点全体，则E=_,E=_,E=_.n3、设E是R中点集，如果对任一点集T都有_则称E是L可测的E,k为奇数,4. 设E,F是两个集合, 作集合列Ak k=1,2,F,k为偶数,lim Ak _.kAk _, 则limk5 假设Q是R中的有理点集, 则m(A) 6 设En_; 假设I是R中的闭矩体, 则mnI_. Rn. 假设对任意的点集T Rn, 有m*T _, 则称E为11An ,2 ,n 1,2,nnLebesgue 可测集.7、设，则limnAn_。o8、设P为 Cantor 集，则P ，mP _，P=
2、_。9 设Si是一列可测集，则mSi_mSii1i110 设A2k1 0, A2k10,2k 1, 则limAk _,lim Ak _.kk2k11 假设A12 假设Rn是可数集, 则m(A) _; 假设I是R中的开矩体, 则mnI_.f (x)是E Rn上几乎处处有限的可测函数, 则对任给的 0, 存在E中的闭集F,mE F, 使得_.13 设集合A,B,C满足C B A，假设A C，则_.二、选择题二、选择题 1、以下各式正确的选项是AlimAnn Ak; Blim An Ak;n1knnn1knClimAnn Ak;Dlim An Ak;n1knnn1kn2、设 P 为 Cantor 集
3、，则以下各式不成立的是AP c (B)mP 0 (C)P P (D)P P3、以下说法不正确的选项是(A) 凡外侧度为零的集合都可测B可测集的任何子集都可测学习文档 仅供参考(C) 开集和闭集都是波雷耳集D波雷耳集都可测4、设fn(x)是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是( )fn(x) f (x), 则fn(x) f (x) B.supfn(x)是可测函数nA.假设C.infnfn(x)是可测函数; D.假设fn(x) f (x),则f (x)可测5、设 f(x)是a,b上有界变差函数，则下面不成立的是A.f (x)在a,b上有界 B.f (x)在a,b上几乎处处存在导数C.f
4、 (x)在a,b上 L 可积 Dbaf(x)dx f(b) f(a)6 设C为0,1中 Cantor 集, 则下面说法错误的选项是: ( )A.C是闭集. B.C是完全集. C.C . D.C是可数集7 以下关于开集和闭集的性质中, 错误的选项是( )A.,R既是开集, 又是闭集. B.R中的开集和闭集一样多.nnC. 设Gkk1是Rn中的一个开集列, 则其并集k1Gk是开集.D. 设Fkk1是Rn中的一个闭集列, 则其交集k1Fk是闭集.8 在下面命题中正确的选项是( )A.假设E为R中的无界集, 则mnnE .E0.B. 假设E为R中的可测集, 且E中至少有一个内点, 则mC. 设E是D.
5、 假设m0,1中的可测集, 且mE1, 则mE1.E0, 则E为Rn中的可数集.在E上可测, 反之亦然.9 以下命题正确的选项是( )A. 假设B. 假设C. 假设fx在点集E Rn上可测, 则fxfx在点集E Rn上可测, 则f2x在E上可测, 反之亦然.fx在点集上可测, 则f3x在E上可测, 反之亦然. Rn, 则Ex是Rn上的可测函数.D. 设点集E学习文档 仅供参考10设M,N是两集合，则M (M N)= (A)M (B)N (C)M11 以下说法不正确的选项是( )N (D) (A)P0的任一领域内都有E中无穷多个点，则P0是E的聚点(B)P0的任一领域内至少有一个E中异于P0的点
6、，则P0是E的聚点(C) 存在E中点列Pn，使Pn P0，则P0是E的聚点(D) 内点必是聚点12. 以下断言( )是正确的。A.任意个开集的交是开集； B. 任意个闭集的交是闭集；C. 任意个闭集的并是闭集；D. 以上都不对；13. 以下断言中( )是错误的。A零测集是可测集；B可数个零测集的并是零测集；C任意个零测集的并是零测集；D零测集的任意子集是可测集；14.设Q是R中有理数的全体，则在R中Q的导集Q是 (A)Q(B) (C)R(D)RQ15.设Fn是一列闭集，F Fn，则F一定是n1(A)开集(B)闭集 (C)G型集(D)F型集16.设E是R中有理数全体，则mE (D)-(A) 0(
7、B)1 (C)17 下面哪些集合的并组成整个集合的点A.内点，界点，聚点 B.内点，界点，孤立点 C. 孤立点，界点，外点 D .孤立点，聚点，外点18.设P是 Cantor 集，则(A)P与R对等，且P的测度为 0(C)P与R不对等，P的测度为 019 设nn(B)P与R对等，且P的测度为 1(D)P与R不对等，P的测度为 1nnf (x)与g(x)在E上可测，则Ef g是 (A)可测集 (B) 不可测集 (C)空集 (D) 无法判定20. 设f (x)在可测集E上有定义，fn(x) minf (x),n，则fn(x)是 (A) 单调递增函数列 (B) 单调递减函数(C) 可积函数列(D)
8、连续函数列21 设E是任一可测集，则 (A)E是开集 (B)E是闭集(C)E是完备集学习文档 仅供参考(D) 对任意 0，存在开集G E，使m(G E) 22 以下命题错误的选项是( )A. 假设E,则EB. 假设E1,E2c., 且E1E2 , 则mE1E2 mE1mE2. , 则m*E1E2 m*E1m*E2.C. 假设E1E2D. 设Ei,则i1Ei.23 以下集合不是可数集的是A.R中的整数集Z B. 自然数集N C.10,1中的 Cantor 集 D.R1中互不相交的开区间族24.以下关于开集的说法错误的选项是A. 假设G是闭集，则G是开集 B. 假设EC. 设Gkk1是c E，则E
9、是开集Rn中的一个开集列, 则其并集k1Gk是开集.D. 设Gkk1是Rn中的一个开集列, 则其并集k1Gk是开集.三三. . 判断题判断题 ( (每题每题 2 2 分分, , 共共 2020 分分) )1. 在所有基数中, 连续基数c是最大基数.( )2.E为R中的有限点集, 则E3.E,Fn . ( ) Rn, 则EF EF. ( )n4.E,F为R中的可测集, 假设E F且E F, 则m5. 假设Ek是R中的递减可测集合列, 则m6. 设EnE mF. ( )kklimE limmEkk.( ) Rn, 假设mE0, 则fx在E上可测. ( )7. 假设函数8. 假设函数9. 函数fx在
10、点集E Rn上连续, 则fx在点集E上可测. ( )fx在点集E Rn上有界可测, 则fx在点集E上可积. ( )在E上可积. ( )fx在点集E Rn上可积的充要条件是fx10、由于，0,10,10,1，故不存在使0,1和01之间11对应的映射。学习文档 仅供参考11 可数个零测度集之和集仍为零测度集。12 假设E与它的真子集对等，则E一定是有限集13. 凡非负可测函数都是L可积的14.设A为R1空间中一非空集，假设A a.则A a. E，且m(E F) 015 设E为可测集，则存在G型集F，使得F16 点集E的内点一定是聚点. ( )17E,F Rn, 则EF E Fn. ( )18G1,
11、G2为R中的开集, 假设G1n G2且G1 G2, 则mG1 mG2.( )19 假设Ek是R中的递增可测集合列, 则m20 假设ElimE limmEkkkk.( ) Rn, 假设m*E 0, 则fx在E上可测. ( )21 假设函数22fx在点集E Rn上可测, 则fx在E的任何一个子集上也可测. ( )fx在点集E Rn上可积, 则fx在点集E上是几乎处处有限的. ( ) S,F SC,S .证明m*E四四 证明题证明题. (1,2,3. (1,2,3 题各题各 8 8 分分, , 第第 4 4 小题小题 1010 分分) )1. 设EF m*E m*F. 0, 存在开集G:G E且存在
12、闭集F:F E,2. 证明点集E可测的充要条件是: 对任给的使得mG F.0,1上的全体无理数作成的集其势为c4.设 f(x)是(,)上的实值连续函数，则对任意常数 c，E5 设x | f (x) c是一开集. 0,开集G E,使m*(G E) ，则 E 是可测集。6 开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集7.R上全体有理数点集的外测度为零8 设A1, A2n Rn,A1 A2, A1是可测集且有mA1 m*A2. 证明:A2是可测集.五、以下命题是否成立五、以下命题是否成立? ?假设成立假设成立, ,则证明之则证明之; ;假设不成立假设不成立, ,则举反例说明则举反例说明. .1、设E R1，假设E是稠密集，则CE是无处稠密集。2、假设mE3、假设| 0，则E一定是可数集.f (x)|是可测函数，则f (x)必是可测函数。学习文档 仅供参考