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1、第一靠集合一、内容小结I.这一举学习7t是合的概念、表示方法、集合的运算（井、交、室主、辛、）：引入了集会列的上、下极限和极限的运算：对集合运算规那么作了仔细的讨论，特别是德麟恨公式。2.引入了集合对等的概念，证明了步lj别两个集合对等的有力工具一一伯恩斯坦定理。3.号l入了集合基数的概念，深化地研究了可数基数和连续基数。二、学习要点I.准确纯熟地掌握集合的运算法那么，特别要注意集合运算既有利代数运算在形式上一许多类似的公式，但也有许多本质。但是千万不要不加证明地把代数恒等式搬到l集合运算中来。例如(a+b)-a=b，但是（A+B)-B=A却不一定成立。条件为A,B不交2.可数集合是所有无限集
2、中最小的无限祭。假设可数A去摊可数B后假设还无F恨那么C必可数。3.存在不可数集无最大基数祭。以下介绍学习中应掌握的方法4.肯定方而与否认方丽。XeB，与X昼B5.集合列的上、下限乡在是用集合运算来解诀分析问题的根底，应很好地掌握。其中用交并表示很重要。对第四拳的学习特别重要。6.基数局部重点：集会对等、构造集合的一一对应：利用对等的传递性（伯恩斯坦定理）：，挺进展相应的证明。7.集合可数性的证明方法很重要：可排列、与可数集对等、利用集会的运算得到j可数、第四节定理6.8.证明声E合2革数为C中常用到的2盖数为Cag集合R 三、习题解答I.证明：AU(Bnc)=(AUB）门（AUC)证明设xe
3、AU(Bnc）若xE A，则xAUB，得x e(AUB)n(AUC).假设设xes nc，贝I同样，有xeAUB且xeAUC，得xe(AUB)n(AUC）.因此AU(Bnc)c(AUB)n(AUC)设x e(AUB)n(AUC)法xeA，贝。当然有xe(AUB)n(AUC），假设.xii:A，由xeAUB且xAU C，可知若xeB且.xc，所以xeBnc，同样有xeAU(Bnc）.因此（AUB)n(AUC)c AU(Bnc),所以A U(Bnc)=(AUB)n(AUC)2.证明(l)A-B=A-(AnB)=(AU B)-B(2)A门（B-C)=(A门的Anc)(3)(A-B)-C=A-(Bnc
4、)(4)A-(B-C)=(A-B)U(Anc)(5)(A-B)n(C-D)=(A nc)-(BU D)(6)A-(A-B)=AnB.证明(I)A-(AnB)=A门C,(AnB)=An(c,AUC,B)=(An C,A)U(A nc,B)=A-B(AUB)-B=(AUB)nc,B(2)(3)(4)(5)=(A门C,B)U(BnC,B)=A-B(An B)-(A n C)=(An B）门c,(Anc)=(Ans)n(C,AUC,C)=(An B门（C,A)U(AnB门（C,C)=A门（B门（C,C)=An(B-C).(A-B)-c=(Anc,s)nc,c=AnC,(BUC)=A-(BUC)A-(B
5、-C)=A-(B n C,C)=AnC,(B门C,C)=An(C,BUC)=(AnC,B)U(Anc)=(A-B)U(Anc).(A-B)n(C-D)=(An C,B)n(cnc,D)=(Anc)nC,(B U D)=(Anc)-(BUD).A-(A-B)=AnC,(AnC,B)=An(C,AUB)=Ans.(6)证明(AUB)-C=(A-C)U(B-C):A-(BUC)=(A-B）门（A-C).fi.E明：(AUB)-C=(AUB)n c,c=(Anc,c)U(sn c守C)=(A-C)U(B-C).3.(A-B)n(A-C)=(An C,B）门（Anc,c)=A门snc,c=A门C,(BU
6、C)=A-(BUC).xi:A；，所以因此对任意i.4证明LJ）=()C,A;设XELJ）jl日么正Es i.旦xf:LJ I。证明戏，是f阻不相交的,_,袋，而且LJAv=LJ 81,I 三n oo.,_,_,证明假设iF j，不妨设ij，显然B;cA;s;n s j c A;nA;-OA,.)(1三i三n).11=1=A;nA;n c守A1nn-n c,A;n-n c,A;_,=.设x ew鸟，假设XEA，那么x 81cUB；假设xeA1，令i，是最小的自然数佼xeA鸟RPxeLJA.，而叫，这样,=I x e A;.-LJA;=B;,clJB.，所以ljA;=lJB；证毕。,=I,=I
7、7叭”1=(O,)A2,.川n=12,，求附JA.，的上限制下ll良解funA”（0月）：”。设xe(O,oo），那么存在N，使x N时，。x 1V，有xeA，因此假设a。2n-l ,v 时，XEA2，.斗，此不可能，所以funA，.。”。8.证明凰A,=LJ nA,.RPO x 土，令n，得ON，有xeA，所以，.，能x e nA,c unA，所以坦人ac lJnA,.设xeLJnA，那么轩，I,r-1”叫I。，I町”1”，佼xe印刷，RPMtf:1n2:.n,xeA，所以xefunA，因此町，”。坦人，.OA，。9.作出一个斗，I）和（，）的l一l对应，并写出这一一对应的解析表达式解伊叫（
8、叫叫，对任意xe叫树归10.证明将球丽去掉一点以后，余下的点所成的集合和接个平而上的点所成的集会是对等的句，l、l句证明只要证明球而S：旷扩（z-)（）去掉（0,0,1）点后与xoy平丽M对2 2 等即可此可由球极投影做到：对任意（x,y,z）S(0,0,1),伊（x,y,z)=(_:_,_l._)eM,J-z 1-z 易验证伊是1一l的，映上的，因此S与M是对等的，iil:毕。11.证明由直线上某些互不相交的开区问所谓集A的元素那么A至多为可数集证明设G=，1牟是直线上的互不相交自9干区可）在每一.中任职一点有理数r,1史.与r，对院因为A是互不相交的，因此这个对院是l一l的，而G与有理数的
9、子集对等，因此G至多可数。12.证明：所有系数为有理数的多项式组成一可数.证明A,n次有理系数多项式全体所成的集合A=LJA,所有系数为有理数的多项式全体所成的集会,r.()A，自11+I个独立记号所决定，系数），每个记号（首位不取0）可独立跑地i全体有理数（可数个）因此由4定理6,A,，又出4定理6,A 13.设A是平而上以有理点（RP坐标都是有理数为中心，有理数为半径的囚的全体，那么A是可数集证明任意A中的圆，由三个独立记号所决定，(x,y,r），其中（x,y）是因心的坐标，r是因半径，x,y各自炮i也有理数，r跑i也大于0的有理数，因此都是可数集所以A 14.证明：均函数的不连续点最多只
10、有可数多个证明改f是（吨，吨）上的增函数，记不连续点全体为E，由数学分析知：(l)任意xe（町，）ll且f(x+t:.x)=f(x+O）及l!f(x-t:.x)=f(x-0）都存在。(2)XE E的充分必要条件为f(x+O)f(x-0).(3)任意构，X2E，假设x,勺，那么f(x1-0)f(x1+O)三f(x2-0)j(x2+O).15.试找出佼（O,I）和0,1之间1-1对应的一种方法解记（0,I）中有理数全体R巧，巧，q,(O)伊（I）与今、tp（凡）吃时，n=1,2,伊（x)=x,x为0,1fP无理数，显然是（0,I）和0,1之间的1一l映肘。16.设A是一可数集合，那么A的所有有限子
11、集所成的集合亦必可数证明设A仇，X2,.,A的有限子集的全体为A.A，仇，勺，.x，戏，的子集全体为2”易计算式，中共有2”个元素而且UA，因此1至多为可,_.数的又A中一个元素组成的集会是可数的，因此Z是可数的17.证明：0,1上的全体无理数做成的集合其基数为C证明记0,1上的无理数全体为A,0,1上的有理数全体为叫，巧，显然B I Fi Fi Fi.i 气一一一一一一?CA 123 n I 令J2 h（一）一：.二nfl+I n=l 2（_Ji_）巧，n=1,2,2n+I（x)=x,x噩B.那么伊是Ai巾巾甘1-1对应，由0,1的基数为C，可知A的基数也是C。18.假设集A中每个元素，由互
12、相独立的可数个指标州，RPA=t叭，而每个X；取地i一个基数为C的集，那么A的基数也是C。证明设X;e A;A;=c,i=1,2，因此有人到实数集R的l一l映射手；.令伊是A到E笛的一映射，对任意.，.,.E A。例ax，.勺.)=(9J1(X1），的（x2),），下丽证明是l一l映射假设叭叭，句.)=9J(a.，；吨）那么对任意i，何（x;)价（x刀，由于 价 是一对一的，因此X;抖，所以气，冉气，马，对任意。句，饨，屿，）E，爪，eR,i=1,2，因为例是映上的，必有X;EA；，使伊；(X;)句 所以有斗忏eE A 史以气，冉）（伺（xi），引（2),.）例，饨，龟，.),l!P是l一l映
13、射所以A与E的基数一样，等于C。19.假设UA.的基数为C，证明：存在no佼A句的基数也是C11-0 证明由于瓦c，我们不妨设UA,，用反证法，假设丐c.n=1,2,，阳。设乓为E歪1JR中如下定义的映射假设x（剖，勺，）E，那么P;(X)=x.，令X;e P;(A;),i=1,2,那么矿，三五：c,i=1,2,令，所以对每个1，存在；ER A飞，于是占（占1;2）下说；.!UA，事实上，假设；eUA”，那么存在1的码，于是”.()”4;月（占）州人）A飞，这与毛eRA飞矛盾，所以；.！UA，这又与11=0 占(;p;2,）E，矛盾，因此至少存在某个io佼A；的基数也是C20.记每项取值为0或l的数歹lj全体所成的集合为T，求iiT的基数为C.证明设T=.;.,;2,;=0或l,i=1,2,-作TJ1J E绵的映射伊：俑，生，）筒，生，），那么是Tf1J 的子集（T)的l一1映射，所以AE,=c.反之，（O,l区间与2逃立无穷小数正规表示1-1对应，所以每个X E(Q,J都可唯一的写成x=0.;1位，其中每个毛0或1，令f(x)=41,42,，那么f是（O,lJ1J T的子集f(0,1）上的l一l映射，因此T三百可c.综上所述得A=c。