《实变函数复习题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实变函数复习题.pdf（29页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1.若 E 有界,则 m*E0,则对任意小于 m*E 的正数 c,恒有 E 的子集 E1,使 m*E=c4.设 S1,S2,，Sn 是一些互不相交的可测集合，Ei 包含于 Si，i=1，2，3.n，求证 m*（E1 并E2 并 E3.并 En）=m*E1+m*E2+m*En5.若 m*E=0，则 E 可测。6.证明康托尔（Cantor）集合的测度为 07.设 A，B 包含于 Rp，且 m*B0(n-无穷)，则 E 可测。10.设 是一列可测集，证明 和 都是可测集 且11.设En是一列可测集，若求和 m（En）0 存在常数 c 与可测集 E0 包含于 E，m（EE0）e,使在 E0 上对一切
2、n 有|fn（x）|=c.这里 mE无穷。6.设 f（x）是（负无穷，正无穷）上的连续函数，g（x）为a，b上的可测函数，则 f（g（x）是可测函数。7.设函数列 fn（x）（n=1，2，.）在有界集 E 上“基本上”一致收敛于 f（x），证明fna.e.收敛于 f。，叶果洛夫逆定理8.试证明鲁津定理的逆定理成立。鲁津定理9.设函数列fn在 E 上依测度收敛于 f，且 fn（x）=g（x）a.e.于 E，n=1，2，.。试证 f（x）=g（x）在 E 上几乎处处成立。10.设在 E 上 fn（x）推出 f（x），且 fn（x）=fn+1（x）几乎处处成立，n=1，2，.，则几乎处处有 fn（x
3、）收敛于 f(x)。11.设在 E 上 fn（x）推出 f（x），而 fn（x）=fn（x）a.e.成立，n=1，2，.，则有 gn（x）推出 f（x）12.设 mE正无穷，证明：在 E 上 fn（x）推出 f（x）的充要条件是，对于fn的任何子函数列fnk，存在fnk的子函数列fnkj，使得 a.e.于 E13.设 mE=n）则 n*men 在 n 的极限=06.设fn为 E 上非负可积函数列，若 则 f(x)依测度收敛与 0.7.设 mE无穷，fn为 a.e.有限可测函数列。证明：的充要条件是 fn（x）依测度收敛与 09.设由0,1中取出 n 个可测子集 E1,E2,.,En，假定0，1
4、中任一点至少属于这 n 个集中的 q个，试证必有一集，它的测度大于或等于 q/n。10.设 mE 不等于 0，f（x）在 E 上可积，如果对于任何有界可测函数，都有 则 f（x）=0a.e.于 E。11.证明：12.试从 1/1+x=(1-x)+(x2+x3)+.,0 x0,存在 g 属于 Ca，b，使得列维定理 levi 设 为可测集，为 E 上的一列非负可测函数，当 x 属于 E 时对于任一自然数 n，有 fn（x）=fn+1（x），令 则法图引理 fatou一般可测函数的勒贝格积分（做题用）积分的绝对连续性设 为可测集 则对于任意的 存在 使得对于任意的可测集，只要 mA 就有勒贝格控制收敛定理：设 为可测集 为 E 上的一列可测函数。F 是 E 上的非负 L 可积函数，如果对于任意的自然数 n设 为可测集，f 和 fn 都是 E 上的可测函数，F 是 E 上的非负 L 可积函数，如果|fn（x）|=F（x）a.e.与 E 且推论：设 E mE0 使得对于任意的自然数n，|fn（x）|=Ma.e.于 E 且