《线性代数课件-n元实二次型.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数课件-n元实二次型.ppt（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第七章第七章 n元实二次型元实二次型二次齐次多项式二次齐次多项式f(x,y,z)=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2 a13xz+2 a23yz称为称为实二次型实二次型实二次型实二次型.其中其中aij 为实常数为实常数.一、三元二次型及其表示一、三元二次型及其表示一、三元二次型及其表示一、三元二次型及其表示 取 a21=a12,a31=a13,a32=a23,从而,2a12xy=a12xy+a21yx,2a13xz=a13xz+a31zx,2a23yz=a23yz+a32zy.f =a11x2 +a12xy+a13xz +a21yx+a22y2+a23yz+a31zx+a32
2、zy+a33z2=x(a11x+a12y+a13z)+y(a21x+a22y+a23z)+z(a31x+a32y+a33z)=XT AX.称 A 为二次型 f 的矩阵，它是一个对称矩阵.三元实二三元实二 次次 型型 f三阶实对称矩阵三阶实对称矩阵 A一一对应AX定义定义2 2二、二、二、二、n n 元二次型及其矩阵表示元二次型及其矩阵表示元二次型及其矩阵表示元二次型及其矩阵表示称称 n 元实二次齐次式元实二次齐次式为为 n n 元元元元实二次型实二次型实二次型实二次型.记 aij=aji,则记 X=(x1,x2,xn)T,A=(aij)nn,则 f(x1,x2,xn)=X TAX,其中 A 称
3、为二次型的矩阵，A A 的秩称为二次型的秩的秩称为二次型的秩.由于aij =aji,所以 A T=A,A中 aii 是 xi2 的系数,aij 是交叉项 xixj 系数的一半.注:n 元实二次型元实二次型 fn 阶实对称矩阵阶实对称矩阵 A一一对应一一对应 定理定理:n元实二次型元实二次型XTAX可经坐标变换可经坐标变换X=CY(C为为可逆实矩阵可逆实矩阵)化为二次型化为二次型YTBY,其中其中B=CTAC定义定义:对于对于 n 阶实对称矩阵阶实对称矩阵 A 和和 B，若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵 P 使使P TAP=B则则称称称称 A A 合同于合同于合同于合同于B B，记作记作 A B 因此，二次型经满秩线性变换后所得的新二次型，其矩因此，二次型经满秩线性变换后所得的新二次型，其矩阵与原二次型的矩阵是合同的阵与原二次型的矩阵是合同的.三.n元实二次型的标准形定义定义:称只含平方项的二次型称只含平方项的二次型 为为标准二次型标准二次型标准二次型标准二次型.