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1、自考线性代数第六章实二次型第1页，此课件共50页哦6.1 实二次型及其标准形实二次型及其标准形第2页，此课件共50页哦对应对应 投影变换投影变换 例例2阶方阵阶方阵 对应对应 以原点为中心逆时针以原点为中心逆时针旋转旋转j j 角角的的旋转变换旋转变换 例例2阶方阵阶方阵 第3页，此课件共50页哦解析几何中，二次曲线的一般形式ax2+bxy+cy2=0 通过选择适当的的旋转变换使得 mx 2+ny 2=0 第4页，此课件共50页哦定义：定义：含有含有 n 个变量个变量 x1,x2,xn 的二次齐次函数的二次齐次函数称为称为二次型二次型第5页，此课件共50页哦令令 aij=aji，则，则 2 a
2、ij xi xj=aij xi xj+aji xi xj，于是，于是第6页，此课件共50页哦对称阵对称阵第7页，此课件共50页哦对称阵对称阵 A 的秩也叫做的秩也叫做二次型二次型 f 的秩的秩线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.对称阵的对称阵的二次型二次型二次型二次型的矩阵的矩阵第8页，此课件共50页哦对于二次型，寻找可逆的线性变换对于二次型，寻找可逆的线性变换使二次型只含平方项，即使二次型只含平方项，即f =k1 y12+k2 y22+kn yn2 定义：定义：只含平方项的二次型称为二次型的只含平方项的二次型称为二次型的标准形标准形（或法式）（或法式）.
3、如果标准形的系数如果标准形的系数 k1,k2,kn 只在只在1,0,1三个数中取值三个数中取值,即即 f =k1 y12+kp yp2 kp+1 yp+12 kr yr2 则上式称为二次型的则上式称为二次型的规范形规范形说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围.简记为简记为 x=C y，于是于是 f=xTAx =(C y)T A(C y)=yT(CTAC)y第9页，此课件共50页哦写出二次型对应的对称矩阵A。解：可根据所给的二次型的各个系解：可根据所给的二次型的各个系数直接写出对应的对称矩阵数直接写出对应的对称矩阵例例1第10页，
4、此课件共50页哦写出由对称矩阵确定的二次型。解：可根据所给的对称矩阵直接写解：可根据所给的对称矩阵直接写出对应的二次型出对应的二次型例例2第11页，此课件共50页哦【练习练习109】三元二次型的矩阵为（）。A B C DA第12页，此课件共50页哦【练习练习110】实对称矩阵 所对应的二次型 _第13页，此课件共50页哦【练习练习111】二次型的矩阵是_。第14页，此课件共50页哦【练习练习112】二次型的秩是_。2【解解】秩为秩为2 第15页，此课件共50页哦【练习练习113】实对称矩阵 所对应的二次型是_第16页，此课件共50页哦【练习练习114】二次型的秩是().A1 B2 C3 D4C
5、【解解】秩为秩为3 第17页，此课件共50页哦【练习练习115】二次型 =的正惯性指数为 .1【解解】只有只有 的系数是正的。的系数是正的。第18页，此课件共50页哦定义：定义：设设 A,B 都是都是 n 阶矩阵，阶矩阵，若有可逆矩阵若有可逆矩阵 P 满足满足P 1AP=B，则则称矩阵称矩阵A 和和 B 相似相似（P.121定义定义7）定义：定义：设设 A,B 都是都是 n 阶矩阵，阶矩阵，若有可逆矩阵若有可逆矩阵 C 满足满足CTAC=B，则则称矩阵称矩阵A 和和 B 合同合同（P.129定义定义9）显然，显然，BT=(CTAC)T=CTAT(CT)T=CTAC=B即若即若 A 为对称为对称
6、阵，则阵，则 B 也为对称也为对称阵阵R(B)=R(A)经过可逆变换后，二次型经过可逆变换后，二次型 f 的矩阵由的矩阵由 A 变为与变为与 A 合同的矩阵合同的矩阵CTAC，且二次型的秩不变，且二次型的秩不变第19页，此课件共50页哦若二次型若二次型 f 经过可逆变换经过可逆变换 x=C y 变为标准形，即变为标准形，即问题：问题：对对于对称阵于对称阵 A，寻找可逆矩阵，寻找可逆矩阵 C，使，使 CTAC 为对角阵为对角阵,（把对称阵合同对角化）（把对称阵合同对角化）第20页，此课件共50页哦定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA=E，即即 A1=AT，则称矩阵则称矩阵A
7、 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵定理：定理：设设 A 为为 n 阶对称阵，则必有阶对称阵，则必有正交阵正交阵 P，使得，使得P 1AP=PTAP=L L，其中其中 L L 是以是以 A 的的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）个特征值为对角元的对角阵（不唯一）.（P.124定理定理7）定理：定理：任给二次型任给二次型 f(x)=xTAx（其中（其中A=AT），总存在，总存在正交变换正交变换 x=P y，使，使 f 化为化为标准形标准形 f(P y)=l l1 y12+l l2 y22+l ln yn2 其中其中 l l1,l l2,l ln 是是 f 的矩阵的矩阵 A 的特征
8、值的特征值推论：推论：任给二次型任给二次型 f(x)=xTAx（其中（其中A=AT），总存在，总存在可逆变换可逆变换 x=C z，使，使 f(Cz)为为规范形规范形第21页，此课件共50页哦推论：推论：任给二次型任给二次型 f(x)=xTAx（其中（其中A=AT），总存在，总存在可逆变换可逆变换 x=C z，使，使 f(C z)为规范形为规范形证明：证明：f(P y)=l l1 y12+l l2 y22+l ln yn2若若R(A)=r，不妨设，不妨设 l l1,l l2,l lr 不等于零，不等于零，l lr+1=l ln=0,令令则则 K 可逆，变换可逆，变换 y=Kz 把把 f(P y)
9、化为化为f(PKz)=(PKz)T A(PKz)=zTKTPTAPKz=zTKTKz其中其中第22页，此课件共50页哦【例例3】求一个正交变换求一个正交变换 x=P y，把二次型，把二次型f=2x1x2+2x1x3+2x2x3化为标准形化为标准形【解解】二次型的矩阵二次型的矩阵根据根据P.125例例12的结果，有正交阵的结果，有正交阵使得使得于是正交变换于是正交变换 x=P y 把二次型化为标准形把二次型化为标准形f=2y12+y22+y32第23页，此课件共50页哦如果要把如果要把 f 化为规范形，令化为规范形，令 ，即，即可得可得 f 的规范形：的规范形：f=z12+z22+z32第24页
10、，此课件共50页哦 在以下4个矩阵中，哪些是合同矩阵？哪些是不合同矩阵？【例例4】【解解】这这4个方阵的秩都同为个方阵的秩都同为3，因为，因为，A与与C的正惯性指数同为的正惯性指数同为1，所以，所以A与与C合同。合同。B与与D的正惯性指数同为的正惯性指数同为2，所以，所以B与与D合同。但合同。但A与与B不合同，不合同，B与与C不合同。不合同。第25页，此课件共50页哦【练习练习116】二次型 =经正交变换可化为标准形 .解解:用配方法用配方法第26页，此课件共50页哦【练习练习117】求正交变换 ，将二次型 化为标准形，并指出 是否为正定二次型 解解:二次型的矩阵二次型的矩阵由由得得 的特征值
11、为的特征值为第27页，此课件共50页哦对于对于 ，由，由 得特征向量得特征向量对于对于 ，由，由 得特征向量得特征向量第28页，此课件共50页哦将将 单位化，得单位化，得 令令 ，则，则 为正交矩阵，为正交矩阵，从而经正交变换从而经正交变换 ，将二次型化为标准，将二次型化为标准形形 由于由于 的特征值都大于零，故的特征值都大于零，故 正定正定.第29页，此课件共50页哦6.2 正定二次型和正定矩阵正定二次型和正定矩阵第30页，此课件共50页哦1.正定矩阵具有对称矩阵A的二次型如果对于任何 ，都有成立，则称 为正定二次型，矩阵A称为正定矩阵。第31页，此课件共50页哦2.半正定矩阵具有对称矩阵A
12、的二次型如果对于任何 ，都有成立，则称 为半正定二次型，矩阵A称为半正定矩阵。第32页，此课件共50页哦3.负定矩阵具有对称矩阵A的二次型如果对于任何 ，都有成立，则称 为负定二次型，矩阵A称为负定矩阵。第33页，此课件共50页哦4.半负定矩阵具有对称矩阵A的二次型如果对于任何 ，都有成立，则称 为半负定二次型，矩阵A称为半负定矩阵。第34页，此课件共50页哦5.不定二次型其他的实二次型称为不定二次型，其他的实对称阵称为不定矩阵。第35页，此课件共50页哦以n=3为例。【例例6】（1）正定二次型：）正定二次型：对应的矩阵对应的矩阵（2）半正定二次型：）半正定二次型：对应的矩阵对应的矩阵（3）负
13、定二次型：）负定二次型：对应的矩阵对应的矩阵第36页，此课件共50页哦（4）半负定二次型：）半负定二次型：对应的矩阵对应的矩阵（5）不定二次型：）不定二次型：对应的矩阵对应的矩阵第37页，此课件共50页哦 问是不是正定二次型？【例例7】解：因为它对应的对称矩阵中的对角解：因为它对应的对称矩阵中的对角元素元素 ，所以它不是正定，所以它不是正定二次型。二次型。第38页，此课件共50页哦定理：n阶实对称矩阵A=（aij）是正定矩阵A的n个顺序主子式Dk0,k=1,2,，n。第39页，此课件共50页哦判定 是不是正定矩阵。【例例8】解：因为解：因为A的三个顺序主子式：的三个顺序主子式：所以，所以，A是
14、正定矩阵。是正定矩阵。第40页，此课件共50页哦 问 为何值时，以下三元二次为正定二次型：【例例9】解：它是标准二次型。它是正定解：它是标准二次型。它是正定二次型当且仅当它的所有系数都是二次型当且仅当它的所有系数都是正数，即正数，即得得第41页，此课件共50页哦 问 为何值时，以下三元二次为正定二次型：【例例10】解：写出对应的对称矩阵解：写出对应的对称矩阵得得第42页，此课件共50页哦定理：矩阵 为正定矩阵的充分必要条件是 .称为 的顺序 阶主式，即 第43页，此课件共50页哦【练习练习118】设矩阵设矩阵A=为正定矩阵，则为正定矩阵，则 的取值范围是的取值范围是_ 【解解】第44页，此课件
15、共50页哦【练习练习119】设矩阵设矩阵A=为正定矩阵，则为正定矩阵，则 的取值范围是的取值范围是_ 【解解】第45页，此课件共50页哦【练习练习120】已知二次型已知二次型 正定，则数正定，则数k的取值范围为的取值范围为_【解解】第46页，此课件共50页哦【练习练习121】设设 ，则二次型，则二次型 是（是（）A正定正定 B负定负定C半正定半正定D不定已知二次型不定已知二次型 【解解】B负定。负定。第47页，此课件共50页哦【练习练习122】设矩阵设矩阵A=，则二次型，则二次型 的规的规范形是范形是_【解解】其中其中 第48页，此课件共50页哦【练习练习123】二次型二次型 的规范形是（的规范形是（）ABC D【解解】其中其中 D第49页，此课件共50页哦【练习练习124】设实对称矩阵设实对称矩阵 ，则，则3元二次型元二次型 的规范形为的规范形为（）（）ABC D【解解】D第50页，此课件共50页哦