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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习圆综合压轴题专题提升训练（附答案）1如图，O 是等边ABC 的外接圆，P 是上一点，（1）填空：APC 度，BPC 度；（2）若O 的半径为 4，求等边ABC 的面积；（3）求证：PA+PBPC 2如图，D 为O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且CDACBD（1）求证：CD 是O 的切线；（2）求证：CD2CACB；（3）若 CD4，CB8，求 tanCDA 的值 3如图，AB 是O 的直径，PA 切O 于点 APB 交O 于 C（1）尺规作图：作APB 的平分线，分别交 AC、AB 于 D、E（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：ADA
2、E；（3）若 BC：CP3：5，求 AE：BE 的值 4【问题提出】如图 1，AB，BC 是O 的两条弦，M 是弧 AC 的中点，MDBC 于点 D，点 E 为 CD 上一点，且 CEAB，连接 AM、BM、CM、EM（1）求证：ABMCEM；（2）求证：AB+BDDC【探究应用】（3）如图 2，已知等边ABC 内接于O，AB3，D 为O 上一点，ABD45，连接 CD，过点 A 作 AEBD 于点 E，求BDC 的周长 5如图，在 RtABC 中，ACB90，以 BC 为直径的O 交 AB 于点 D，E 是 AC 的中点，OE 交 CD 于点 F（1）若BCD30，DC10，求的长；（2）判
3、断直线 DE 与O 的位置关系，并说明理由；（3）求证：2CE2ABEF 6定义：如果一个直角三角形的两直角边的比是，则称这个直角三角形为黄金直角三角形 （1）如图 1，O 是 RtACB 的外接圆，点 D 是上的一点，连接 AD，BD，AD 交 CB 于点 E，则下列结论正确的是 （填序号）BC 平分ABD；与CAE 互余的角有 2 个；AECBAC；AC2CEBE（2）如图 2，若（1）中的 RtACB 是黄金直角三角形，且，直接写出 ；求 tanBAD 的值；求 AE：ED 的值 7已知 AD 是O 的直径，AD弦 BC 于点 E，连接 AB、AC、BO （1）如图 1，求证：BOD2C
4、AE；（2）如图 2，过点 D 作 DFBO 交O 于点 F，点 G 为 DF 的中点，连接 OG，求证：BEOG；（3）如图 3，在（2）的条件下，若 tanBAE，AOB 的面积为，求 DF 的长 8如图，在 RtABC 中，ACB90，D 为 AB 边上的一点，以 AD 为直径的O 交 BC于点 E，过点 C 作 CGAB 交 AB 于点 G，交 AE 于点 F，过点 E 作 EPAB 交 AB 于点P，EADDEB（1）求证：BC 是O 的切线；（2）连接 FP，试猜想四边形 CFPE 的形状，并加以证明；（3）若，AC20，求四边形 CFPE 的面积 9如图，以等腰ABC 的一腰 A
5、C 为直径作O，交底边 BC 于点 D，交腰 AB 于点 H，过点 D 作腰 AB 的垂线，垂足为 E，交 AC 的延长线于点 F（1）求证：EF 是O 的切线；（2）若F30，求O 的半径；（3）在（2）条件下，求阴影部分的面积 S 10定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边（1）如图 1，ABC 中，ABCB，A30，点 O 在 AC 边上，以 OC 为半径的O恰好经过点 B，求证：O 是ABC 的切圆（2）如图 2，ABC 中，ABAC5，BC6，O 是ABC 的切圆，且另外两条边都是O 的切边，求O 的半径（3）
6、如图 3，ABC 中，以 AB 为直径的O 恰好是ABC 的切圆，AC 是O 的切边，O 与 BC 交于点 F，取弧 BF 的中点 D，连接 AD 交 BC 于点 E，过点 E 作 EHAB 于点 H，若 CF8，BF10，求 AC 和 EH 的长 11如图，O 的直径 AB4，AC 是弦，沿 AC 折叠劣弧，记折叠后的劣弧为（1）如图 1，当与 AB 相切于 A 时 为画出所在圆的圆心 P，请选择你认为正确的答案 甲：在上找一点 E，连 AE、CE 并分别做它们的中垂线，交点为 P；乙：分别以 A、C 为圆心，以 AO 为半径做弧，除 O 外两弧另一个交点即为圆心 P A甲正确 B乙正确 C
7、甲乙都正确 D都不正确 选择合适的方法做出圆心 P，求 AC 的长；直接写出此时CAO 的度数（2）如图 2，当经过圆心 O 时，求 AC 的长；（3）如图 3，当覆盖圆心且与直径交于点 D，若CAO25，直接写出ACD 的度数 12在半径为 5 的O 中，AB 是直径，点 C 是直径 AB 上方半圆上一动点，连接 AC、BC（1）如图 1，则ABC 面积的最大值是 ；（2）如图 2，如果 AC8，则 BC ；作ACB 的平分线 CP 交O 于点 P，求长 CP 的长（3）如图 3，连接 AP 并保持 CP 平分ACB，D 为线段 BC 的中点，过点 D 作 DHAP，在 C 点运动过程中，请
8、直接写出 DH 长的最大值 13如图，O 的直径 AB 为 10cm，弦 AC 为 6cm，ACB 的平分线交O 于点 D（1）求 AD 的长；（2）试探究 CA、CB、CD 之间的等量关系，并证明你的结论；（3）连接 OD，P 为半圆 ADB 上任意一点，过 P 点作 PEOD 于点 E，设OPE 的内心为 M，当点 P 在半圆上从点 B 运动到点 A 时，求 BM 的最小值 14如图，在O 中，直径 AB 垂直于弦 CD，与 CD 交于点 E，过点 A 作DAFDAB，过点 D 作 AF 的垂线，垂足为 F，交 AB 的延长线于点 P，连接 CO 并延长交O 于点 G，连接 EG，已知 D
9、E3，AE9（1）求证：DF 是O 的切线；（2）求证：OC2OEOP；（3）求线段 EG 的长 15如图，AB 为O 的直径，D 为的中点，过 D 作 DFAB 于点 E，交O 于点 F，交弦 BC 于点 G，连接 CD，BF（1）求证：CDBF；（2）若 AC10，BE8，求 AB 的长：（3）若O 的半径为 13，P 为弧 AF 上一点，连接 BP，CP，CP 交直径 AB 于点 H，若BPH 与CPB 相似，求 CP 的长 16已知，ABC 内接于O，点 D 为 BC 中点，直径 EF 经过点 D，连接 AE（1）如图 1，求证：BAECAE；（2）如图 2，连接 OB、AF，BOE2
10、ABC，求证：AF2OD；（3）如图 3，在（2）的条件下，AE 和 BC 交于点 G，若 AE8DG，ACG 的面积为10，求 OB 的长 17如图，在平行四边形 ABCD 中，D60，AD3，对角线 ACBC，点 E 在射线 CB的延长线上，连接 AE，在 AE 上取点 O，以点 O 为圆心，OA 长为半径作O 与射线 CE切于点 B，交 AE 于点 F，交 AC 于点 M（1）求证：ABBE；（2）求 AE 的长；（3）连接 BM，OB，直接写出四边形 AMBO 的形状和面积 18如图，等边三角形 ABC 内接于圆 O，点 P 是劣弧 BC 上任意一点（不与 C 重合），连接PA、PB、
11、PC，求证：PB+PCPA【初步探索】小明同学思考如下：如图 1，将APC 绕点 A 顺时针旋转 60到AQB，使点 C 与点 B 重合，可得 P、B、Q 三点在同一直线上，进而可以证明APQ 为等边三角形，根据提示，解答下列问题：（1）根据小明的思路，请你完成证明；（2）若圆的半径为 4，则 PB+PC 的最大值为 ；（3）【类比迁移】如图 2，等腰 RtABC 内接于圆 O，BAC90，点 P 是弧 BC 上任一点（不与 B、C 重合），连接 PA、PB、PC，若圆的半径为 4，试求PBC 周长的最大值 19【问题原型】如图，以 BC 为边分别作ABC 和DBC，点 A 和点 D 在直线
12、BC 的两侧，连结 AD交 BC 于点 O（1）若 ADBC，易证：SABC：SDBCAO：OD（不用证明）（2）如图，若 AD 与 BC 不垂直，（1）中结论是否成立，请说明理由【变式探究】（1）如图，以 BC 为边分别作ABC 和DBC，点 A 和点 D 在直线 BC 的同侧，连结AD 并延长，交 BC 于点 O若 AO5，AD3，SABC20，则 SDBC （2）如图，以ABC 的 AC 边为直径作D，ACB 的平分线交D 于点 P 连结 PB、PC若 SPBC10，则 SABC 20（1）【教材呈现】圆周角定理推论：90的圆周角所对的弦是直径 如图，已知：A、B、C 三点在O 上，AC
13、B90 求证：AB 为O 直径 证明：AB 为圆周角ACB 所对的弦，AOB 为圆周角ACB 所对应的圆心角，ACBAOB，且ACB90 AOB180（）点 O 在线段 AB 上，即三点共线则 AB 为O 的直径 上述推理：得AOB180，依据为 （2）【小试牛刀】如图，A、B、C 三点在O 上且ACB90，过点 A 作 AD 垂直O 的切线 CD 于点 D，若 AC4，BC3求 AD 的长（3）【拓展应用】如图，已知ABC 是等边三角形，以 AC 为底边在ABC 外作等腰直角ACD，点 E为 BC 的中点，连结 DE，请直接写出ADE+DEC 的度数 参考答案 1（1）解：ABC 是等边三角
14、形，BACABC60，APCABC60，BPCBAC60，故答案为：60，60；（2）如图 1，连接 OB，则 OB4，过点 O 作 ODBC 于 D，BDBC，连接 AD，则 AD 过点 O，OA4，ABC 是等边三角形，ABC60，OBDABC30，在 RtODB 中，ODOB2，根据勾股定理得，BC2，BC2BD4，等边ABC 的面积为BDADBD（OA+OD）612；（3）证明：如图，在线段 PC 上截取 PFPB，连接 BF，ABC 是等边三角形，BAC60，ABAC，PFPB，BPCBAC60，PBF 是等边三角形，PBBF，BFP60，BFC180PFB120，BPAAPC+BP
15、C120，BPABFC，在BPA 和BFC 中，BPABFC（AAS），PAFC，PA+PBPF+FCPC 2（1）证明：如图，连接 OD，AB 是O 的直径，ADB90，DAB+DBA90，CDACBD，DAB+CDA90，ODOA，DABADO，CDA+ADO90，CDO90，OD 是O 的半径，CD 是O 的切线；（2）证明：CD 是O 的切线，CDO90，CDA+ADO90，AB 是O 的直径，ADB90，DBA+DAB90，又OAOD，DABODA，CDADBA，又DCABCD，CADCDB，CD2CACB；（3）CDADBA，在 RtABD 中，tanCDA，又，CD4，CB8，t
16、anCDA 3（1）解：如图，PE 即为所求作的图形；（2）证明：AB 为O 的直径，ACP90，CPD+CDP90，CDPADE，CPD+ADE90，PE 是APB 的角平分线，CPDAPE，APE+ADE90，PA 是O 的切线，PAB90，APE+AEP，AEPADE，ADAE；（3）解：由（2）知，ACPBAP90，APCBPA，ACPBAP，BC：CP3：5，设 BC3m，CP5m，BPBC+CP8m，AP2m，如图 2，过点 E 作 EHBP 于 H，BP 为APB 的角平分线，EAAP，EHEA，SEAPAPEAEAAP，SBPEBPEHBEAP，4（1）证明：M 为的中点，AM
17、CM，在ABM 和CEM 中，ABMCEM（SAS）；（2）ABMCEM，BMEM，MDBC，BDDE，AB+DBCE+DECD；（3）解：如图 2，在 BD 上截取 BFCD，连接 AD，由题意可得：ABAC，ABFACD，在ABF 和ACD 中，ABFACD（SAS），AFAD，AEBD，FEDE，CD+DEBE，ABD45，BE3，则BDC 的周长是 6+3 5（1）解：连接 OD BC 是直径，BDC90，CD10，BCD30，BC20，OBOD10，DOB2BCD60，的长；（2）解：结论：DE 与O 相切 理由：AEEC，OBOC，OEAB，CDAB，OECD，ODOC，DOECO
18、E，在EOD 和EOC 中，EODEOC（SAS），EDOECO90，ODDE，OD 是半径，DE 是O 的切线（3）证明：OECD，DFCF，AEEC，AD2EF，CADCAB，ADCACB90，ACDABC，AC2ADAB，AC2CE，4CE22EFAB，2CE2EFAB 6解：（1），ABCDBC，故正确；ABC 是直角三角形，DC90，DACDBC，ABCDBCDAC，90ABC90DBC90DAC，即CABDEBAEC，与CAE 互余的角有：AEC、CAB、DEB，故不正确；ABCDAC，且CC，AECBAC，故正确；，即 AC2CEBC，故不正确，故答案为：；（2）由（1）知：，故
19、答案为：；由知：，设 CE（1）k，则 AC2k，BC（+1）k，BEBCCE2k，RtACE 中，AE2CE2+AC2（102）k2，CD，AECBED，AECBED，即，DE，BD，RtABD 中，tanBAD，由知：DE，AE2（102）k2，AE：ED 7（1）证明：AD 是O 的直径，ADBC，BAECAE，2BAEBOD，BOD2CAE；（2）证明：DFBO，BOEODG，点 G 为 DF 的中点，OGDF，OGD90，OEBC，OEB90，BOOD，BOEODG（AAS），BEOG；（3）解：过 O 点作 OHAB 交于 H，设 OHx，AHy，tanBAE，3y4x，SAOBA
20、BHOxy，联立可得 y5，x，AO，在 RtBAE 中，AB10，tanBAE，AE8，BE6，BEOG，OG6，在 RtODG 中，DG，DF2DG 8解：（1）证明：连接 OE，OEOD，OEDADE，AD 是直径，AED90，EAD+ADE90，又DEBEAD，DEB+OED90，BEO90，OEBC，BC 是O 的切线；（2）如下图，连接 FP，则四边形 CFPE 是菱形，理由如下：BEOACB90，ACOE，CAEOEA，OAOE，EAOAEO，CAEEAO，又EPAB，ACB90，CEEP；CAEEAP，AECAFGCFE，CFCE，CFPE，CGAB，EPAB，CFEP，四边形
21、 CFPE 是平行四边形，又CFPF，四边形 CFPE 是菱形；（3）sinABCsinACG，AC20，AG12，CG，由（2）可得CAEEAP，又ACEAPE90，AEAE，ACEAPE（AAS），APAC20，PG8，FP2FG2+PG2，FP2（16FP）2+82，解得：FP10，CFFP10，四边形 CFPE 的面积2CFGP210880 9（1）证明：如图，连接 OD，AC 是直径，ADC90，即 ADBC，又 ABAC，BDCD，又 AOCO，ODAB，又 FEAB，FEOD，OD 是半径，EF 是O 的切线；（2）解：在 RtODF 中，F30，DOC903060，OAOD，在
22、 RtADC 中，设 CDx，则 AC2x，由勾股定理得，x1，AC2，r1，（3）解：连接 OH，DH，CH ABAC，ACB60，ABC 是等边三角形，AC 是直径，AHC90，CHAB，AHBH，BDCD，DHAC，DHAC，OHODDH，DOH 是等边三角形，DHAC，SADHSODH，SADES四边形OHED，RtADE 中，10（1）证明：连接 OB，如图，ABAC，A30，AC30 CAB180AC120 OBOC，OBCC30 OBACBAOBC90 即 OBBA OB 是圆的半径，AB 与O 相切 圆心 O 在 AC 边上，O 是ABC 的切圆；（2）解：当圆心 O 在 BC
23、 边上，O 与 AB，AC 边相切于点 M，N 时，连接 OA，OM，ON，如图，AB，AC 是O 的切线，OMAB，ONAC，AO 平分BAC ABAC，AOBC，OBOCBC3 AOBO，OMAB，BOMBAO BM OM；当圆心 O 在 AC 边上，O 与 AB，BC 边相切于点 M，N 时，连接 OM，ON，BO，过点 A 作 AHBC 于点 H，如图，设 OMONr，AB，BC 是O 的切线，OMAB，ONBC ABAC，AHBC，BHCHBC3，AH4 BCAH6412 SABCSABO+SCBO，ABr+BCr12 12 r 综上，O 的半径为或；（3）解：连接 AF，如图，AB
24、 为O 的直径，AFBC O 是ABC 的切圆，AC 是O 的切边，ABAC ACFBAF AF4 AC12，AB6 D 是弧 BF 的中点，FADBAD 设 FE2k，则 BE3k，BFFE+BE10，2k+3k10 k2 EF4，BE6 EHAB，ACAB，EHAC EH4 11解：（1）甲：在上找一点 E，连 AE、CE 并分别做它们的中垂线，即做AEC 的外心，故甲正确；乙：由切线长定理可知，OA 为切线，且 OAOC，故 OC 也为P 的切线，易知 AOCP为正方形（证明见），故乙正确；故选：C；如图 1，连接 PC、OC，APOAOCPC2，四边形 AOCP 为菱形，而PAO90，
25、四边形 AOCP 为正方形，CAO45；（2）作 OEAC 于 F，交劣弧于 E，如图 2，沿 AC 折叠劣弧，记折叠后的劣弧为，即，OEAC，AFCF，在 RtOAF 中，OA2，OF1，；（3）连接 CB，作 D 关于 AC 的对称轴点 D在O 上，并连接 AD、CD，如图 3，AB 是O 的直径，ACB90，又CAO25，B65，由圆内接四边形的性质得到ADC+B180，可得：ADCADC115，ACD180CAOADC40 12解：（1）O 的半径为 5，AB 是直径，AB10 当 AB 边上的高最大时，ABC 面积的最大，点 C 是直径 AB 上方半圆上一动点，当 COAB 时，即
26、CO5 时，ABC 面积的最大，ABC 面积的最大值是ABOC10525，故答案为：25（2）O 的半径为 5，AB 是直径，AB10，BCA90，BC6 故答案为：6；过点 B 作 BDPC 于点 D，连接 PB，PA，如图，CP 为ACB 的平分线，ACB90，ACPBCP45，CDB 为等腰直角三角形，CDBD AB 是直径，APB90，ABPACP45，APB 为等腰直角三角形，PBAB5 BDPC，PDB90，PDBACB90，BPCBAC，PDBACB，AC8，BC6，PD4，BD3，CDBD3，CPPD+CD4+37；（3）连接 OD，OH，如图，D 为线段 BC 的中点，ODB
27、C，DHOD+OH，当点 D，O，H 三点在一条直线上时，DHOD+OH，DH 取最大值 如图，CP 平分ACB，ODBC，DHAP，点 D，O，H 三点在一条直线上，BCAP，四边形 APBC 为正方形，DHAC5，DH 长的最大值为 5 13解：（1）AB 是直径，ADB90，CD 是ACB 的平分线，ACDBCD45，ADBD，在 RtABD 中，AD2+BD2AB2，（2），证明如下，延长 CA 到 F，使 AFCB，连接 DF，CBD+CAD180，FAD+CAD180，CBDFAD，又ADBD，AFBC，ADFBDC，CDFD，CDF90，CDF 为等腰直角三角形 CA+CBCFC
28、D，（3）连接 OM、PM PEOD，PEO90，点 M 为OPE 的内心，OMP135，ODOP，DOMPOM，OMOM，OMDOMP，OMDOMP135，所以点 M 在以 OD 为弦，并且所对的圆周角为 135的两段劣弧上（分 OD 左右两种情况）；设 OMD 所在圆的圆心 O，OMD135，OOD90，连接 OB 交弧 OD 于 M，则有 BM 最小，过 O作 OQAB，则QOO 为等腰直角三角形，14（1）证明：连接 OD，OAOD，DABADO，DAFDAB，ADODAF，ODAF，又DFAF，DFOD，又OD 是半径，DF 是O 的切线；（2）证明：由（1）知 PFOD，ODP90
29、，ABCD，OED90，ODPOED，DOEPOD，ODEOPD，OD2OEOP，OCOD，OC2OEOP；（3）解：连接 DG，ABCD，CD2DE6，设 ODOAx，则 OEAEOA9x，在 RtODE 中，由勾股定理得，（8x）2+32x2，解得 x5，CG2OA10，CG 是O 的直径，CDG90，DG8，EG 15（1）证明：D 为的中点，AB 为O 的直径，DFAB，BFCD；（2）解：如图 1，连接 OD 交 BC 于点 M，D 为的中点，ODBC，BMCM，OAOB，OM 是ABC 的中位线，OMAC5，OEOM5，ODOBOE+BE5+813，AB2OB26；（3）解：如图
30、2，弦 CP 交 AB 于点 H，则点 P 与点 C 在直径的两侧，则CBPHBP，BPH 与CPB 相似，ABPPCB，又CPBBPH，ACPBCP，AB 是直径，则ACBAPB90，ACPBCP45，过点 B 作 BNPC 于点 N，由（2）得 AB26，在 RtCBN 中，CNBNBC12，CABCPB，tanCABtanCPB，即，故 PN5，PCCN+PN5+1217 16（1）证明：EF 是直径，D 是 BC 的中点，EFBC，BAECAE（2）证明：如图 2 中，连接 CE BOE2BAE，BOE2ABC，BAEABC，BCAB，BDDC，AE2BD，BODAFE，EF 是直径，
31、EAFBDO90，BDOEAF，AF2OD；（3）解：如图 3 中，连接 EC，BE AE8DG，可以假设 DGk，则 AEBC8k，BD4k，CG3k，GECABC，GCEBAE，BAEABC，GECECG，ABCECG，ECAB，GEGC3k，EFCB，DE2k，ECAB，SAECSECB，SBGESACG，5k2k10，k，BD4DE4，设 OBOEr，则有 r2（4）2+（r4）2，r6，OB6 17（1）证明：连接 OB，四边形 ABCD 是平行四边形，D60，ABCD60 O 与射线 CE 切于点 B，OBCE，OBC90 ABO90ABC30 OAOB，BAOABO30 ABC
32、是ABE 的外角，EABCBAO30 EBAO，ABBE；（2）解：四边形 ABCD 是平行四边形，AD3，BCAD3，ACBC，ACB90 在 RtACB 中，ABC60，CAB90ABC30，AB2BC6，由勾股定理，得，在 RtACE 中，ACE90，E30，；（3）连接 BM，OM，在 RtACE 中，ACE90，E30，OAC60 AOMO，AOM 是等边三角形，AMOMAOBO，OBEACE90，ACBO，AMBO，四边形 AMBO 是平行四边形，AMAO，四边形 AMBO 是菱形，在 RtACE 中，ACE90，E30，BEAB6，18（1）证明：由旋转得 AQAP，QBPC，Q
33、APC，ABQACP，四边形 ABPC 是O 的内接四边形，ACP+ABP180，ABQ+ABP180，P、B、Q 三点在同一条直线上，PB+PCPB+QBPQ，ABC 是等边三角形，APCABC60，Q60，APQ 是等边三角形，PQPA，PB+PCPA；（2）解：PA 是O 的弦，当 PA 经过圆心 O，即 PA 是O 的直径时，PA 的值最大，PB+PCPA，PB+PC 的最大值是 8，故答案为：8；（3）解：如图 2，ABAC，BAC90，BC 是O 的直径，且圆心 O 在 BC 上，OBOC4，BC8，将APC 绕点 A 顺时针旋转 90到AQB，使点 C 与点 B 重合，QAPA，
34、QBPC，ABQACP，ACP+ABP180，ABQ+ABP180，P、B、Q 三点在同一条直线上，PAQ90，当 PA 经过圆心 O，即 PA 是O 的直径时，此时 PA 的值最大，PB+PC 的最大值是，PBC 周长的最大值是 19解：【问题原型】（2）SABC：SDBCAO：OD，理由如下：过点 A 作 AEBC 交于点 E，过点 D 作 DFBC 交于点 F，SABC：SDBCBCAE：BCDFAE：DF，AOEDOF，AEODFO，AEODFO，AE：DFAO：DO，SABC：SDBCAO：OD；【变式探究】（1）过点 A 作 AGBC 交于点 G，过点 D 作 DHBC 交于点 H
35、，DHAG，SABCBCAG，SDBCBCDG，SABC：SDBCAO：OD，AO5，AD3，OD2，SABC20，SDBC8，故答案为：8；（2）连接 AP 延长交 BC 于点 M，AC 是圆 D 的直径，APC90，CP 是ACB 的平分线，ACM 是等腰三角形，APPM，由（1）可知，SABC：SPBCAM：PM，SABC：SPBC2：1，SPBC10，SABC20，故答案为：20 20解：（1）【教材呈现】证明：AB 为圆周角ACB 所对的弦，AOB 为圆周角ACB 所对应的圆心角，ACBAOB，且ACB90 AOB180（等式性质），点 O 在线段 AB 上，即三点共线则 AB 为O 的直径，故答案为：等式性质；（2）【小试牛刀】连接 AB，OC，如图：ACB90，AB 是O 的直径，AB5，CD 是O 的切线，OCCD，ADCD，OCAD，DACACO，OAOC，ACOOAC，DACOAC，ADC90ACB，ADCACB，即，AD；（3）【拓展应用】连接 AE，如图：ABC 是等边三角形，E 是 BC 的中点，AEC90，ACB60，ADC 是等于直角三角形，ADC90，DAC45 AEC+ADC180，A，E，C，D 四点共圆，DECDAC45，ADEACE60，ADE+DEC60+45105，答：ADE+DEC 的度数是 105