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1、2022-2023学年九年级数学中考复习 圆综合压轴题培优提升专题训练(附答案)1.如图，N 8为。的直径，是。的切线，C为切点，连接8C.E Q垂直平分O B,垂足为E,且交而于点尸，交 B C 于点P,连接B E CF.(1)求证：N D C P=N D P C；(2)当5 c平分N/8尸时，求证：CF/AB；(3)在(2)的条件下，0 8=2,求阴影部分的面积.2.如图，在 平 行 四 边 形 中，ZZ)=60 ,A D=3,对角线ZC _ L 8C,点E在射线C 8的延长线上，连接/E,在/E上取点O,以点。为圆心，0 4长 为 半 径 作 与 射 线C E切于点8,交 4 E 于点F
2、,交4 C于点M.(1)求证：A B=B E；(2)求N E的长；(3)连接BM,O B,直接写出四边形/A/8。的形状和面积.3 .如图，四边形Z 8 C D内接于。，/C是直径，A B=B C,连接8。，过点。的直线与。的延长线相交于点E,且N E D 4 =N4CD.(1)求证：直线。E是。的切线；(2)求证：8。平分N/O C；(3)若力。=6,8=8,求8 0的长.4.如图，已知4 8是。中一条固定的弦，点C是优弧Z C 8上的一个动点(点C不与A8重合).(1)如 图1,CDL 4B于D,交。于点N,若CE平分N4CB,交。于点E,求证:Z A C O=N BC D.(2)如图2,
3、设4 8=8,。半径为5,在(1)的条件下，四边形ZC BE的面积是否是定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，求出四边形/C 8E面积的取值范围.5.N是。上的一条不经过圆心的弦，MN=4,在劣弧M N和优弧N上分别有点4 B(不与M,N重合)，且 标=而，连接ZM,BM.(1)如 图1,4B是直径,AB交MN于点、C,N A BM=30 ,求/CM O的度数；(2)如图2,连接O M,A B,过点。作交A/N于点O,求证：Z M O D+2 Z D M O=9 0 ；(3)如图3,连接ZN,B N,试猜想的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.E(1)求证：E尸是。的切线
4、；(2)求证：A C2=A D-A B；(3)若。的半径为2,ZA C D=3O a,求图中阴影部分的面积.D尸7.如图，是。的直径，C、。是 上 两 点./E与过点C的切线垂直，垂足为,直线E C与直径N 8的延长线相交于点P,弦CD交4B于点F,连接/C、A D,B C、BD.(1)如 图1,若N 4 BC=N/BD=6 0 ,判断ZC。的形状，并证明你的结论；(2)如图2,8 平分N/C 8,求证：P C=P F；若/。=46，E C=2 0,求由线段P C、乐 和 线 段8 P所围成的图形(阴影部分)的面积.图1图28.在 图1至图3中，OO的直径8c=3 0,/C切。于点C,J C=
5、4 0,连 接 交。于点。，连接C Q,尸是线段8上一点，连接尸8.(1)如 图1,当点P,。的距离最小时，求尸。的长；(2)如图2,若射线4尸过圆心O,交。于点E,F,求t a n尸的值；(3)如图3,作DH L PB于点、H,连接 直接写出677的最小值.9 .如图，在。中，直径于点E,连接C O并延长交/。于点尸，且 求/O C F的度数.(1)请解答本题.(2)解完本题后，小芳对本题作进一步思考.她认为：如 果 去 掉 这 一 条 件，而增加条件“NC D4=60 ”，则 有 你 认 为 小 芳 的 观 点 正 确 吗？如果正确，请给出证明；如果不正确，请说明理由.(3)解完本题后，同
6、学小颖也对本题进行了反思.她认为：在图中所有的线段中，若已知某一条线段的长度，则能求出扇形/0 C的面积.请你在“C O,E B,。产”这三条线段中，选择其中一条并赋于长度，然后计算扇形N O C的面积.10 .如图，在。中，弦ZB,C D相交于点E,正=而，点。在标上，连 接C。，并延长C O交线段4 8于点尸，连接0 4,0 B,且。/=2,N0 B 4=30；(1)求证：N O B A =NOCD；(2)当4 0尸是直角三角形时，求E E的长；(3)是否存在点尸，使得9 S 犯 尸=4 S，E F，若存在，请求出比7的长，若不存在，请说明理由.自用图11.如图，4 8是。尸的直径，点C在
7、。上，且 点C为最的中点，连接Z E并延长交8C的延长线于点D(1)试 判 断 的 形 状，并说明理由；(2)过点C作垂足为点F,求证：C户是0。的切线；(3)在(2)的条件下，若。的半径为6,DF=3,求s i n8的值.12.定义：若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“师梅四边形”，这条对角线称为“师梅线”.我们熟知的平行四边形就是“师梅四边形”.(1)如 图1,B D平分4B C,BD=4 V 2,8c=10.四边形是被8。分割成的“师梅四边形”，求长；(2)如 图2,平面直角坐标系中，/、8分别是x轴和y轴上的点，且0 4=3,0 8=2,若 点C是直
8、线y=x在第一象限上的一点，且0C是四边形。4 的“师梅线”，求四边形OACB的面积.(3)如 图3,圆内接四边形/8 C D中，N/8C=60 点E是标的中点，连 接8 E交C D于点尸，连接/R N =3 0 ,求证：四边形48 b是“师梅四边形；若/S C的面积为缶回，求线段8 F的长.13 .定义：有且只有一组对角是直角的四边形叫做“半矩形”，把两个非直角顶点的连线段叫 做 这 个“半矩形”的直径.(1)如 图1,已知/8、8是。的直径，/8 L CZ),点P是菽上的一点，连 接Z P、P C、C B、B D、DA、A C.PB.图中的四边形P A D B 半矩形”；(选 填“是”或“
9、不是”)(2)如图2,已知Z C是“半矩形”的直径，点。是N C的中点，OE L B D交B D于点若 O E=1 7,求Z(7-8 Z)2的值；(3)如图3,线段是“半矩形”/0 8 C的直径，B O=A B,Z B A C=1 5a,分别延长 50、40 至U点。、E,B O=D O,A O=E O,连接 C。、B E、D E、A D,若 C 0=5 e,求四边形Z 8 E O的面积.14.在半径为5的中，是直径，点C是直径Z 8上方半圆上一动点，连接/C、BC.(1)如 图1,则/8 C面积的最大值是；(2)如图2,如果Z C=8,则BC=；作/Z C 8的平分线C尸交。于点尸，求长C
10、P的长.(3)如图3,连接AP并保持C P 平分N A C B,D为线段8 c的中点，过点D作D HA.A P,在C点运动过程中，请直接写出。，长的最大值.15.如图，在。中，4B 为直径,O C A B,弦C O与0 8交于点尸，在4 8的延长线上有一点,且 EF=ED.(1)求证：O E是。的切线(2)若t a t v(=,探 究 线 段 和8 E之间的数量关系，并证明;(3)在(2)的条件下，若。尸=1,求。的半径和8 的长.16.从多边形的一个顶点引出两条射线形成一个角，这个角的两边与多边形的两边相交，该多边形在这个角的内部的部分与角的两边围成的图形称为该角对这个图形的“投射图形(1)
11、【特例感知】如 图1,NE AF与正方形AB CD的边B C、CD分别交于点、点F,此时/瓦4尸对正方形的“投射图形”就是四边形4ECF；若此时CE+CF是一个定值，则四边形Z EC尸的面积 (填 会”或“不会”)发生变化.(2)【迁移尝试】如 图2,菱形/8 C。中，A B=2,Z =12 0 ,E、尸分别是边8 C、CD上的动点，若NE 4F对菱形AB CD的“投射图 形 四边形A E C F的面积为通，求CE+C5的值.(3)【深入感悟】如 图3,矩形N 8 C D中，A B=3,A D=4,/及I尸的两边分别与8 C、CD交于点E、点 F,若N E4 F=4 5 ,C F=2,求/以
12、尸对矩形/8 C D的 投射图形”四边形4EC尸的面积.(4)【综合运用】如图4,在平行四边形/B C D中，A B=4 2,A D=6,ZB=4 5 ,点是8 c边上的一个动点，/敏 的外接圆过点C,且与。C边交于点R 此时/对平行四边形AB CD的“投射图形”为四边形A E C F,当E F取最小值时，C E+C F的值为.17.定义：对角线互相垂直的圆内接四边形称为圆的神奇四边形.(1)如 图1,己知四边形4 88是。的神奇四边形，若NC=12,B D=1 Q,则S根也A BC D=；(2)如图2,已知四边形N8 CZ)为。的内接四边形，连 接O N,O B,O C,OD,满足/8 0
13、C+N40 0=18 0 ,求证：四边形A BC。是。的神奇四边形；(3)如图3,已知四边形力8 C O是 的 神 奇 四 边 形，ZBA D=90 ,延长Z D,8 c相交于点E,若 4 B=6,A E=i,求/C的长.18 .【问题提出】(1)如图，AAB C和 均 为 等 腰 直 角 三 角 形，N B 4 C=N D A E=9 0 且点D恰在 8c边上，连接C E,则/ZC E 的大小为【问题探究】(2)如图，在中，NB/C=9 0 ,Z 8=/C,点 P 是其内部一点，连接Z P、B P、CP,当N 4 P B=9Q ,Z B P C=135 时，试探究/尸、BP、C P 之间的数
14、量关系,【问题解决】(3)如图，有一个圆心角为12 0、半径为2 0 米的扇形舞台4 0 8.现要在0 4、O B边上确定两点C、D,使得OC=OD并在C。之间拉上幕布.为增加舞台效果，导演要在 舞 台 边 缘 的 弧 上 找 一 点 P 来安装一照明角为60 (即NCPD=60 )的射灯，使灯光刚好照亮整个幕布.要使幕布CD长最短，则 OC 长应为多少？并求此时灯光照亮的舞台面积(即PC 的面积).19 .如 图 1,扇形N O8的半径为6,弧长为2 7r.(I)求圆心角N/O8的度数;(2)如图2,将扇形/0 8 绕点。逆时针旋转6 0 ,连接BC.判断四边形0/8。的形状并证明;如图3,
15、若/尸。0=6 0,将N P O。绕点。旋转，与 A B,8 c分别交于点M,N(点M,N与点N,B,C均不重合)，判断“S+N 8 的值是否为定值.如果是定值请求出；如果不是，请说明理由图1图22 0.已知，是。的直径，CD是。的弦，与 8相交于点E,BC=BD.(1)如图 1,求证：A BLC D-,(2)如图2,尸是罚上一点，连接CF、OC,若 CO平分NF CD,求证：C F=C D；(3)如图3,在(2)的条件下，C/与 相 交 于 点，连接。尸、E F,延长FE交OO参考答案 ,。是。的切线，C 为切点，NQCO=90,即 NOCB+NDCP=90,YDE1OB,:/DEB=90,
16、：NOBC+/BPE=9G0,：OB=OC,：.ZOCB=ZOBC,：./D C P=/B P E,:ZBPE=/DPC,：.ADCP=ZDPC；(2)证明：连接O F,如图：7）垂直平分O&：OF=BF,*：OF=OB,:BF=OF=OB,*/XBOF是等边三角形，A ZFOB=ZABF=60,A ZFCB=ZFOB=30,2平分尸，；.N 4B C=L/4B F=30。,2二 NFCB=NABC,：.CF/AB；（3）解：连接。尸、0 C,如图:由（2）知，NABC=NCBF=30,Z.Z COF=2 Z CBF=60 ,：O B=2,即。半径为2,.c _ 6OX 7T x 22_ 2
17、K.S扇 形 CO F=2花-=：OC=OF,NCOF=6Q,.CO 尸是等边三角形，：.CF=OF=OB=2,：ED垂直平分08,：.OE=BE=O B=,Z FEB=90,2在 R t 尸 8 中,F=A/BF2-BE2=6 2-1 2 ,二 SC O F=-CFEF=-X 2 x匾=M,=8,:.CH=6,：.DH=CD+CH=4,在 RtZXBD中，BEfi=Dti1-BH2,BD=BH,J 2802=196,:BD=7i.4.解：(1)如 图1,csi作直径CH连接/凡-9 0 ,A ZA C O=90-ZF,JC D LA B,：.N BD C=90,：.BC D=90-N B,对
18、于京：/F=/B,：.N A C O=N B C D；图2:C E 平分N 4 C B,，A E=B E，.当C点 在 而 运 动 时，N A C E=N BC E,连接O E,.O ELA B,设垂足是产,；.4 F=FB=4,尸=仙2小2=3,：.EF=OE-OF=2,*S 四边形=yAB-EF+|-AB-CD=y X 8 X 2+y X 8 C D=8+48,:.当 CD=C-=8 时,S四 边 形4ESC最大=4.8 时，点尸，O的距离最小，此时P D=|c D=1 2.（2）如图2,连接C E,B图2尸 为 的 直 径，/.ZCF=90 .由（1）知，乙4cB=90,由/0 2=ZO
19、+O C2,得（/E+15）2=402+152,解得A E=5月V 5.V ZACB=ZECF=90Q,ZACE=ZBCF=ZAFC.又 NCAE=NE4C,：.ACEsAAFC,.C E A EFC AC.C E A E 5 V 73 1 5 V 73 3（3）C的最小值为3标-9.解：如图3,以8。为直径作O G,则G为8。的中点，DG=9,YDH1PB,点，总在0 G上，：CD=24,8 c=30,NBDC=90,80=18,：.DG=9,:.GH=9,.当点C,H,G在一条直线上时，C”最小，此时，CG=VF居瞪=也再5=3/而，CH=3V73-9.即C”的最小值为3阮-9.A图39.
20、解：(1)48 是直径，月.Z8_LC，/.ZA+ZCDA=90.,DE=CE=CD,2：C FAD,且 过 圆 心 O,：.ZC+ZCDA=90,AF=DF=AD,：.4=/C,在 力(?/和COE中，rZA=ZC,OA=OC,ZA0F=ZC0E./O F丝(%(ASA,：.AFCE,：.DF=-CD,JCFAD,；.NDCF=30；(2)小芳观点正确，理由如下:如图，连接O。，：ABCD,/CZ)Z=60,D E：.AD=丁 口.=2DE,CD=2DE,c o s 60：.AD=CDf在4 QD和CO。中，O A=O C：.ZBOD=20,二点。与点力重合，EF=CF tan ZECF=C
21、F*tan Z OBA=3 X,即 EF=孤;3当/4。尸=90。时，；NOAF=/OBA=3G,JQ/.tan Z OAF=tan300=-,3VOA=2,，OF=OA tan Z O A F=,34J3：.AF=2O F=-,3NOAF=NOBA=ZECF,NOE4=NEFC,：.XO FAs/EF32巫 EF _ 0C-H)F=_ g_I-K/3OF AF 4安 2 3 F F-1+我 CF一 3+相2 3综上所述：EF=“或当；3(3)存在.：ZOAB=Z OBA=ZOCD,：.AOFsM EF,9S&AOF=AS&CEF，.S/UQF 4S/1CEF 9,OF _AO _AF _2*
22、E F -C E -C F -3，：AO=CO=BO=2,:.BE=CE=3,p设 OF=2k,则 EF=3k,CF=CCH-OF=A0+0=2+2k,AF=（2+2k），BF=BE-EF3=3-3k,p:AB=AF+BF=（2+2k）+3-3k,3：OA=OB,ZAOB=ISOQ-30-30=120,：.A B A O=23,二8（2+2卜）+3-3左=2 ，解得：k=-,3 5EF=34=39-18 点11.(1)解：48。是等腰三角形，理由如下:如 图1,连接/C,.18是 的 直 径,，N4cB=9。：.ACBD,V B C=C E.:./BAC=NDAC,；4B=AD,45。是等腰三
23、角形；(2)证明：如图2,连接4C,OC,：OA=OC,：.ZOAC=ZOCA,丁 NDAC=/OAC,：./DAC=/OCA,9：CFAD,：.ZAFC=90,NO4C+N4c5=90,：.ZOCA+ZACF=90,：.ACA.CF,CE是O O的切线；(3)解：V ZACB=ZCFD=90Q,ZB=ZD,：.ABCsCDF,.A B B CC D D F.1 2 _ B C 一，C D 3*BC=CD=6,A C=A/AB2-BC2=蓊，sinB-A/3.B C12.(1)解：.四边形/BCD为被8。分割的师梅四边形二 ZUB。与DBC 相似,若 AABDSACBD则 胆=独=1,B C
24、B D：.A B=BC=O；若 B DSADBCj i i j A B =B D,B D B C.=1=3 2=1 6.B C 1 0 5综上所述：/8=1 0 或站.5(2)解：.点C 是直线y=x 在第一象限上的一点,；.OC 平分 N8O4即/8O C=/ZO C=45,又：OC是四边形O A C B的“师梅线”，:AO BCSAOCA,.O B _ 0C*0C O A 即 0 O=0 B S=6,.*.O C=x/6，作C M x轴于点M,C N L y轴于点N,.ONC和OMC都是等腰直角三角形，：.C N=C M=T ,：.四边形O A C B的面积=S oc+S,0BC=O A
25、C M+O B*C N2 2=/义 3f 蒋 X 2X6_5V3-F5(3)证明：是AC的中点,；./ABE=NCBE=L/ABC=30。,2：.ZC+ZBFC=150,:四 边 形 内 接 于 圆O,：.ZBAD+ZC 180,；NDAF=30,，NC+/8/E=1 5 0 ,且NC+N8 R;=1 5 0 ,二 ZBAF=ZBFC,S.ZABE=ZCBE：.ABFSAFBC.二四边形ABCF为师梅四边形；解：如图，过点/作/G J _ BC交8c与G,连接/C,；ABFSAFBC,.A B =BF,BF BCBF=ABBC,：SA B C=BC XAG-B C XABX s in6 0 =
26、6 近,ABXBC=6y/3,4.4 8 X8 C=2 4=8 7%S.BF0,.BF=2瓜.1 3.解：（1）四边形R 1 D B是“半矩形”,理由如下：.ZB是。的直径,:.NAPB=/ADB=9Q,二四边形物。8是“半矩形”，故答案为：是；(2)V ZABC=ZJD C=90，点。是/C的中点，OB AC,DOQAC，OB=DO=yACOEBD,：.ZOEB=90,：.OB2-BE=OE2=172,即(yAC)2-(-1BD)2=2 8 9.AC1-BD2=(208)2-(2BE)2=4(OB2-BE2)=4X289=1156；(3)取 的 中 点M,连接CM,OM,.线 段 是“半矩形
27、 Z08C的直径，则 CM=OM=AM=BM,：.ZCAM ZACM ZBAC15,A ZCBM=2ZCAM=30,在 中，/力08=90,BQ=-A5A ZBAO=30,：ZMAO=ZMOA=30,A ZBMO=2ZMAO=60Q,/.Z CMO=Z CMB+ZBMO=90,.CM。是等腰直角三角形，C0=5的，即CO=VCM2OM2A 20况2=5圾，：.OM=5,:.AB=2OM0,0B=-AB=5-O A=/AB2-O B2=V102-52=573).线段XB是“半矩形 N08C的直径，A ZAOB=90Q,B|J BDVAE,：B O=D O,A O=E O,.四边形N 8 E O
28、是菱形，.A E=2 0A=1 0V3.8 0=2 08=1 0,.,.四边形ME。的 面 积 为 加 比 弓 乂 X 1 0=5 Ch/3-1 4.解：(1);。的半径为5,是直径，.,.4 8=1 0.当 48边上的高最大时，ZBC面积的最大，,点C是直径AB上方半圆上一动点，.当CO J _ 4 8 时，即CO=5时，/8 C面积的最大，二 /A BC 面积的最大值吟 X A B O C=X 1 0X5=2 5,故答案为：2 5.(2):。的半径为5,Z 8是直径，：.A B=0,N B C A =90 ,-5 C=VAB2-AC2=A/102-82=6.故答案为：6；过点3作于点。，连
29、接尸3,P A,如图，T C P 为N Z C B 的平分线，ZA C B=90 ,A ZA C P=ZBC P=4 5 ,：./CDB为等腰直角三角形,:.CD=BD.是直径，A ZAPB=90,V ZABP=ZACP=45,4尸8为等腰直角三角形，5=5A/2.2:BDLPC,:.NPDB=90,:.NPDB=NACB=9Q,：ZBPC=ZBAC,:.N D B sA A C B,.P D =BD =P B=5 V2 而同词 H F，*C=8,BC=6,：.PD=4,8。=3四，：.CD=BD=3l2,：.CP=PD+CD=42+32=7A/2 ；(3)连接O。，O H,如图，为线段8 c
30、的中点，：.ODLBC,:DHWOD+OH,.当点。，O,“三点在一条直线上时，DH=OD+OH,。”取最大值.如图，:CP 平 分N4CB,.AP=BP.：ODLBC,D H A P,点D,O,三 点 在 一 条 直 线 上,：.BC/AP,.四 边 形/P 8 C为 正 方 形，:.DH=AC=5贬,长 的 最 大 值 为57巧.15.(1)证 明：连 接O D,如 图，,:EF=ED,：./E F D=/E D F,.：4EFD=4C F0,：.NCFO=/ED F,VOC1OF,：.ZOCF+ZCFO=90,：OC=OD,：.ZOCF=ZODF,；NODC+NEDF=90,即 N 8
31、E=9 0 ,：.ODLDE,点。在O。上，J O E是O。的 切 线；(2)解；线 段4 8、8 E之 间 的 数 量 关 系 为：AB=3BE.证 明：.1 8为O O直 径，A ZADB=90,J ZADO=/BD E,：OA=OD,：.ZAD O=ZA,，NBDE=NA,而/B E D=N D E 4：./E B D/E D A,.D E BE,BD 忑 花 而,.Rt A 4 BZ)中，t a r v l=,A D 2,D E BE 1A E -D E 2,：.AE=2DE,DE=2BE,:.AE=4BE,：.AB=3BE；Q(3)解：设 B E=x,则。E=E F=2 x,A B=
32、3 x,半径。=0 x,2：OF=l,：.0E=+2x,在Rt Z O D E中，由勾股定理可得：(3工)2+(2 x)2=(1+2%)2,2.x-(舍)或x=2,gAB=3x=6f.圆。的半径为3.过点。作 OHLCD,：OC=OD,：.CD=2CH,在Rt z O CF中，中=其2g 2 mo/=0F X0C=3 Vl0CF1 0在 Rt a OC”中，t a n/OC，=Si=5=L,CH 0C 3：.C H=3O H=,1 0：.C D=2C H=.5四 边 形AECF的面积=4/C G面 积+4C F面 积=|XCE X A B C F X A D =-X A B X (CE+CF)
33、,:CE+CF、4 8 为定值,四边形AECF的面积不会改变,故答案为：不会.(2)连接4C,过点Z作Z MJ _ 8C交C 8延长线于点M,过点N 作NNL C。交C。延长线于点N,由题意可得：ZABM=ZADN=60Q,AB=BC=2 8 M=5卷=1，A K=A N=J?彳=V3，解得：CE=+CF=2.(3)在8 c 上取点G使得8 G=/8,连接4 G,过点G作 G 4 L/G 交N E 延长线于点”,作m _ L3 C,连接N C,如图:由题意可得：ZBAG=ZBGA=45,DF=1,AG=y/22 32=3f：NBAE+NEAG=45,HI=IG,*：ZEAF=45,：.ZBAE
34、+ZDAF=45,./EAG=NDAF,又 ND=NAGH=90,:.AADFsAAGH,.A G _ H G ,A D D F解得HGW 2，又,.,，G2=H/2+/G2,3H I=I G=T 4Q，BI=BG-I G 吁，4又:LABEs H I E I.z?,A B BE解得BE僵D则 CE 得 S 32 四 边 脸 F=WE+SA 4X C E X A&4X C F X 仙 端(4)如图，设 的 外 接 圆 的 圆 心 为 点O,半径为厂，连接0 4、OE、OF、EF,：./8+/B C D =1 8 0NBCD=135,.【、E、C、F四点共圆,ZEAF=45:.NEOF=2/EA
35、F=9Q,：.EF=47r,：.AE=BE=4,EC=BC-BE=2在 Rt Z/E C 中，C=42+22=2A/5，V ZBAD=135,ZEAF=45：.Z FAD=45,：./FAD为等腰直角三角形,.CF=CD-DF=V2:.CE+CF=2+两.17.(1)解：/C 与 8。相交于点P,如 图 1,.四边形4 8 8 是。的神奇四边形，：.ACLBD,，S 四 边 形 CD=S 9+%以。=5 义8 (%+PC)=*X B D X 4 C=；故答案为：60；(2)证明：连接NC、B D,它们相交于尸点，作直径8 E,如图2,V ZBOC+ZAOD=SOa,NBOC+NCOE=18。,
36、ZAOD=ZCOE,：.ZAOE=ZCOD,：ZCBD=ZCOD,2/.ZCBD=NAOE,2 :ZACB=ZAOB,2/.ZCBD+ZACB=Z A O B-Z A O B ZBOE=X 1800=90。，2 2 2 2A ZB PC=90,：.ACBD,.四边形ABCD是O O 的神奇四边形；(3)解：/C 与 8。相交于P 点，如图3,；NB4D=90,.8。为。的直径，二 ZBCD=90:四 边 形 8 8 是O O 的神奇四边形，：.ACBD,AD=CD,BA=BC,PA=PC,X 12X10=60；:BC=BA=6,DA=DC,在 RtAABE 中，62+82=1，：.CE=BE-
37、BC=O-6=4,设 C D=x,则。E=8-x,在 RtaCCE 中，H+42=(8-X)2,解得x=5,即 CD=5,在 RtACD 中，B D=y j+2=A/6 1,CPBD=CB CD,2 2.z,n_ 6 X 5 _ 3 o V e i,T H1 8.解：(1),4 6 C 和 均 为 等 腰 直 角 三 角 形，：.AB=ACf AD=AE,Z5=45,：NBAC=NDAE=90,:NBAC-/D A C=/D A E-ADAC,:/B A D=/C A E,BAD义M A E (SAS),，乙4CE=NB=45.故答案为：45.(2)将 Rt/M 08 绕点力逆时针旋转90,如
38、图所示,pBC.N8C是等腰直角三角形且/尸8旋转得C,：.AB=AC,AP=AP,Z A P B P A P =90,：./A P P 是等腰直角三角形，：.PP=&AP,延长8P交 尸 C于H,：ZAPH=90Q=NR4P=/A P C,.四 边 形 为 正 方 形，：.AP=PH,A PHP=NPHC=90,V Z5PC=135 ,：.ZCPH=45,：.P H C为等腰直角三角形，/.ZAPC=45,PC=2PH=AP,V AAPP=45,：.NP PC=NAPP+NHPC=90,在R tZP尸C中，由勾股定理得，PP 2+po=p B2,即(V2/4P)2+PO=PBZ,：.2AP2
39、+P，=PB2.(3)扇形4 0 8是一个圆心角为120的扇形，二当点尸在点。正上方即面的中点时，可使CQ最短，此时O尸平分N N。?，ZPOC=NPOD,为圆的半径，：.OP=20m,；产在港的中点，5.OC=OD,：./PCOPDO(SAS),:NCPD=6Q,ZAOB=120,:.NPCO=NPDO=90,.OC=OP.sin60=10?，OC=OD,408=120,：.ZOCD ZODC=30,A ZPCD=ZPDC=60,PCD是等边三角形，S&PCD X P C 之，v P C=OP s i n 6 0 0 =1附 加，,P CD=75a(m2).1 9.解：(1).扇 形/。8的
40、半径为6,弧长为2n.nXTT X6.-271 180*n=60,圆心角N/O3=60；(2)四边形O/BC是菱形，证明：在扇形/O 8 中，OA=OB,N4OB=60,力。8是等边三角形，：.OA=OB=AB,.,扇 形4 0 5绕 点。逆时针旋转60,.C 08是等边三角形，：.OA=AB=BC=OC,四边形0Z8C是菱形；M8+NS是定值，由知 0/8与 OBC是等边三角形，：./OBC=/OAB=/AOB=60,V ZP0Q=6Q,/.ZAOB=ZPOQ,：.ZAOB-NB0M=APOQ-ABO M,即 NA0M=ZBON,又 OA=OB,NOAB=NOBC=60,：./OMAm丛ON
41、B CASA),：.MA=NB,：.MB+NB=MB+MA=AB=6,：.MB+NB为定值6.20.(1)证明：如 图1,连 接OC,OD,-te-7D图1*：BC=BD,：.ZBOC=/BO D,9：o c.。是圆的半径,：.ABCD.(2)证明：如图2,作 O K_LC/,垂足为K,图2V OKA.CF,ABLCD,：.ZOKC=ZOEC=90,YOC平分N 厂。，：,/O C K=/O C E,:OCKgXOCE、：.CK=CE,：OK，CF,：.CK=2CE,OELCD,:CD=2CE,：.CF=CD.(3)如图 3,作 OKA.CF,连接 C G,作 EVLLCG,图3设 NOCG=
42、NOCE=a,工 /DCK=2a,：CF=CD,：.ZCFD=ZCDF=90-a,V ZEFD=45Q,A ZHFE=450-a,VZOEC=90 ,：.ZCHE=90-2a,A ZHEF=ZHFE=45-a,:.HE=HF,设 HE=HF=m,CE=n,:CF=CD=2CE=2n,CH=2n-m,在 直 角 三 角 形 中，CE+H球=(3中J.n2+m2=(2 -m)2,_4.n-m,34 R：.CE=m,CH=mf3 34 1CK=CE=mf KH=xrf3 31r设 OE=x,OK=OE=x,OH=m-x,在直角三角形OK”中,A7/2+O依=。/2,二()2+、2=(OT-x)2,3.4 y=tn,9yCO”的面积为30,i R 4 丁 多 小 铲 二3。，=9,4：.CE=tn=12,3ZOCK=a,/OKC=90,A ZCOK=90-a,ZCOK=NO,：CF=CF,ZCOK=zr),NCOK=/CGE,A tanZ COK=tanZ CGE=3,OK:DG=DG,：.ZEFD=ZECG=45,VMCG,CM=EM=-CE=6版,2EMV tan ZCGf=3,M G:EM=3MG,A M G=2 V2,在 Rt A E/WG 中，E G=JEM+MG2=4 V5 .