《2022-2023学年九年级数学中考复习《圆综合压轴题》专题突破训练(附答案).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年九年级数学中考复习《圆综合压轴题》专题突破训练(附答案).pdf（46页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022-2023 学年九年级数学中考复习圆综合压轴题专题突破训练（附答案）1如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 分别与 BC、AC 相交于点 D 和点 E，DFAC，垂足为 F弦 DG 与 AB 交于点 H，若 DHGH6，AH2BH（1）证明：DF 是O 的切线；（2）求 AB 长；（3）求 AE 长 2如图，在 RtABC 中，ACB90，AB10，AC6，点 D 为 BC 边上的一个动点，以 CD 为直径的O 交 AD 于点 E，过点 C 作 CFAB，交O 于点 F，连接 CE、EF（1）当CFE45时，求 CD 的长；（2）求证：BACCEF；（3）是否存在点 D，
2、使得CFE 是以 CF 为底的等腰三角形，若存在，求出此时 CD 的长；若不存在，试说明理由 3如图，已知 AB 是O 的直径，点 E 是O 上异于 A，B 的点，点 F 是的中点，连接AE，AF，BF，过点 F 作 FCAE 交 AE 的延长线于点 C，交 AB 的延长线于点 D，ADC的平分线 DG 交 AF 于点 G，交 FB 于点 H（1）求证：CD 是O 的切线；（2）求 sinFHG 的值；（3）若 GH4，HB2，求O 的直径 4已知，如图，ABC 的顶点 A，C 在O 上，O 与 AB 相交于点 D，连接 CD（1）若O 半径为 5，A30，求弦 CD 的长；（2）在（1）的条
3、件下，求图中阴影部分的面积；（3）若ACB+ADC180，求证：BC 是O 的切线 5如图 1，AB 为圆 O 的直径，C 为圆 O 上一点，连接 CB，过 C 作 CDAB 于点 D，过点C 作BCE，使BCEBCD，其中 CE 交 AB 的延长线于点 E（1）求证：CE 是圆 O 的切线；（2）如图 2，点 F 在圆 O 上，且满足FCE2ABC，连接 AF 并延长交 EC 的延长线于点 G求证：CF2CD；若 CD4，BD2，求线段 FG 的长 6“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：（1）如图 1，点 A、B、C 在O 上，点 D 在O 外，线
4、段 AD、CD 与O 交于点 E、F，试猜想B+D 180（请填“”、“”或“”），并证明你的猜想；（2）如图 2，点 A、B、C 在O 上，点 D 在O 内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明；（3）如图 3，凸四边形 ABCD 中，对角线 BD 长为 6，A30，C150，则四边形 ABCD 面积的最大值是 7如图 1，AB 为圆 O 直径点 D 为 AB 下方圆上一点，点 C 为弧 ABD 中点，连结 CD，CA（1）若ABD70，求BDC 的度数；（2）如图 2，过点 C 作 CEAB 于点 H，交 AD 于点 E，CADa，求ACE
5、（用含 a的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，若 OH5，AD24，求线段 DE 的长 8已知，AB 为O 的直径，弦 AC、DE 交于点 F，连接 OF，DFAF（1）如图 1，求证：CFOEFO；（2）如图 2，连接 BE，若ABE+2FOA90，求证：FAFO；（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 FO 并延长交 BE 于点 Q，若 CFAF8，EQ：BQ13：5，求 OB 的长 9如图 1，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E、F 分别在 BC、BD 上，且 BE1，过三点 C、E、F 作O 交 CD 于点 G（1）证明EFG90（2）如图 2，连结 AF，当点 F 运动至点A
6、、F、G 三点共线时，求ADF 的面积（3）在点F整个运动过程中，当 EF、FG、CG 中满足某两条线段相等，求所有满足条件的 BF 的长 10 如图 1，以 AB 为直径的O 上有一点 C，连接 BC，过点 B 作ABC 的平分线 BD 与O交于点 D，过点 D 作 DEBC 的延长线于点 E（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若 BE9，DE6，求O 的半径；（3）如图 2，过点 D 作 DGAB 于点 G，求证：2AG+BCAB 11如图，ABC 为O 的内接三角形，ADBC，垂足为 D，直径 AE 平分BAD，交 BC于点 F，连结 BE（1）求证：AEBAFD（2）若 AB10，B
7、F5，求 AD 的长（3）若点 G 为 AB 中点，连结 DG，若点 O 在 DG 上，求 BF：FC 的值 12已知：如图，AB 是O 的直径，BD 是O 的弦，延长 BD 到点 C，使 DCBD，连结AC，过点 D 作 DEAC，垂足为 E（1）求证：ABAC；（2）求证：DE 为O 的切线；（3）若ABC 为等边三角形且O 的面积是 9cm2，试求线段 DE 的长 13（1）【基础巩固】如图 1，ABC 内接于O，若C60，弦 AB2，则半径 r ；（2）【问题探究】如图 2，四边形 ABCD 内接于O，若ADC60，ADDC，点 B为弧 AC 上一动点（不与点 A，点 C 重合）求证：
8、AB+BCBD；（3）【解决问题】如图 3，一块空地由三条直路（线段 AD、AB、BC）和一条道路劣弧围成，已知 CMDM千米，DMC60，的半径为 1 千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点 M 处，另外三个入口分别在点 C、D、P 处，其中点 P 在上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段 DM、MC、CP、PD，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形 DMCP 的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由 14如图，ABC 内接于O，AB 是O 的直径，O 的切线 PC 交 BA 的延长线于点 P，OFBC 交 AC 于点 E，交 PC 于点 F，连接
9、 AF（1）判断直线 AF 与O 的位置关系并说明理由；（2）若O 的半径为 6，AF2，求 AC 的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积 15（1）【学习心得】小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易 例如：如图 1，在ABC 中，ABAC，BAC90，D 是ABC 外一点，且 ADAC，求BDC 的度数若以点 A 为圆心，AB 为半径作辅助A，则点 C、D 必在A 上，BAC 是A 的圆心角，而BDC 是圆周角，从而可容易得到BDC （2）【问题解决】如图 2，在四边形 ABCD 中，BADBCD90，BDC27
10、，求BAC 的度数（3）【问题拓展】如图 3，E，F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AEDF连接 CF 交 BD 于点G，连接 BE 交 AG 于点 H若正方形的边长为 4，则线段 DH 长度的最小值是 .16如图，在 RtABC 中，B90，AE 平分BAC，交 BC 于点 E，点 D 在 AC 上，以AD 为直径的O 经过点 E，点 F 在O 上，且 EF 平分AED，交 AC 于点 G，连接 DF（1）求证：BC 是O 的切线；（2）求证：DEFGDF；（3）若 cosCAE，DF6，直接写出线段 OG 的长 17已知，在半圆 O 中，直径 AB8，点 C，D 在半圆
11、 AB 上运动，弦 CD4 （1）如图 1，当DABCBA 时，求证：CABDBA；（2）如图 2，若DAB15时，求图中阴影部分（弦 AD、直径 AB、弧 BD 围成的图形）的面积；（3）如图 3，取 CD 的中点 M，点 C 从点 A 开始运动到点 D 与点 B 重合时结束，在整个运动过程中：点 M 到 AB 的距离的最小值是 ；直接写出点 M 的运动路径长 18 直角三角板 ABC 的斜边 AB 的两个端点在O 上，已知BAC30，直角边 AC 与O相交于点 D，且点 D 是劣弧 AB 的中点（1）如图 1，判断直角边 BC 所在直线与O 的位置关系，并说明理由；（2）如图 2，点 P
12、是斜边 AB 上的一个动点（与 A、B 不重合），DP 的延长线交O 于点 Q，连接 QA、QB在下列三个条件中选择两个作为已知条件，求出 PQ 的长度；AD6，AB6，PD4，你选择的是 并写出求解过程（3）若 AD6，当点 P 在斜边 AB 上从 A 运动到 B 的过程中，求点 Q 的运动路径长 19如图，ABC 内接于O，ABBC，A 为中点，CD 与 AB 相交于点 E过 B 作 BFAC，交 CD 延长线于 F（1）求证：ACEABC；（2）求证：BFFE；（3）延长 FB 交 AO 延长线于 M若 tanF，CD8，求 BM 的长 20如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为
13、美好四边形【问题提出】（1）如图，点 E 是四边形 ABCD 内部一点，且满足 EBEC，EAED，BECAED，请说明四边形 ABCD 是美好四边形；【问题探究】（2）如图，ABC，请利用尺规作图，在平面内作出点 D 使得四边形 ABCD 是美好四边形，且满足 ADBD保留作图痕迹，不写画法；（3）在（2）的条件下，若图中ABC 满足：ABC90，AB4，BC3，求四边形 ABCD 的面积；【问题解决】（4）如图，某公园内需要将 4 个信号塔分别建在 A、B、C、D 四处，现要求信号塔 C建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为 200m 的圆，记为E已知点 A 到该湖泊的最近距
14、离为 500m，是否存在这样的点 D，满足 ACBD，且使得四边形ABCD 的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由 参考答案 1（1）证明：如图，连接 OD，ABAC，ABCC，OBOD，ODBABCC，DFAC，CDF+C90，CDF+ODB90，ODF90，OD 是半径，直线 DF 是O 的切线；（2）解：如图，连接 AD，AB 是O 的直径，ADBC，ABAC，DBDC，DHGH6，ABDG，BDH+B90，B+DAB90，BDHDAB，DHBDHA90，BDHDAH，DH2AHBH，AH2BH 2BH262，BH3，ABAH+BH3BH9；AB 长为 9；（3）解：如图，
15、连接 BE，AB 是O 的直径，AEAC，DFAC，AEDF，BDCD，EFFC，ABAC，ADBC，AD 平分BAC，DHAH，DFAC，DFDH，ADAD，RtADHRtADF（HL），AHAF，AH2BH AF2FC，AEEFFCACAB3 AE 长为 3 2（1）解：CDECFE45，ACB90，DACCDA45，CDAC6；（2）证明：CFAB，BFCB，FCBDEF，BDEF，又BAC+B90，CD 是圆 O 的直径，CED90，DEF+CEF90，BACCEF；（3）解：存在点 D，使得CFE 是 CF 为底的等腰三角形，则 EFCE 如图，连接 FD，并延长和 AB 相交于 G
16、，则EFCECF，四边形 CEDF 为圆内接四边形，ADGECF，又CDECFE，ADGCDE，CD 为O 的直径，DFC90，FCAB，FGA90，FGAACD，ADAD，AGDACD（AAS），DGCD，ACAG6，ACB90，AB10，AC6，BC8，在 RtBDG 中，设 CDx，则 BDBCCD8x，BGABAG1064，DGCDx，BG2+DG2BD2，42+x2（8x）2，x3，即 CD3 3（1）证明：连接 OF OAOF，OAFOFA，CAFFAB，CAFAFO，OFAC，ACCD，OFCD，OF 是半径，CD 是O 的切线（2）解：AB 是直径，AFB90，OFCD，OFD
17、AFB90，AFODFB，OAFOFA，DFBOAF，GD 平分ADF，ADGFDG，FGHOAF+ADG，FHGDFB+FDG，FGHFHG45，sinFHG；（3）解：过点 H 作 HMDF 于点 M，HNAD 于点 N HD 平分ADF，HMHN，FGH 是等腰直角三角形，GH4，FHFG4，2，设 DBk，DF2k，FDBADF，DFBDAF，DFBDAF，DF2DBDA，AD4k，GD 平分ADF，FDHADG，FDHADG，AG8，AFB90，AF12，FB6，AB6，O 的直径为 6 4（1）解：连接 OC、OD，如图所示：则 OCOD5，A30，DOC60，OCD 是等边三角形
18、，CDOC5；（2）解：由（1）得 S阴影S扇形CODSCOD（3）证明：连接 CO 并延长交O 于点 M，连 AM，如图 2 所示：则MAC90，M+ADC180，M+ACM90，ACB+ADC180，MACB，ACB+ACM90，即BCM90，且 CM 是O 的直径，BC 是O 的切线 5（1）证明：连接 OC，如图，CDOB，DCB+DBC90 BCEBCD，BCE+DBC90 OCOB，OCBDBC OCB+BCE90 即：OCCE CE 是O 的切线（2）证明：过点 O 作 OHCF 于 H，如图，则 CHHFFC FCE2ABC，AOC2ABC，FCEAOC FCEFCO+90，A
19、OCE+90，FCOE OCCE，CDOE，DCO+DCE90，E+DCE90 DCOE DCOFCO CDOCHO90，OC 为公共边，OCHODC（AAS）CHCD4 CF8 CF2CD 解：OBOCx，则 ODx3 OC2OD2+CD2，x2（x3）2+42 解得：x OBOC 在 RtCDB 中，BC OCCG，GCF+FCO90，COE+E90 GCFCOE AFCB 是圆的内接四边形，GFCOBC GFCBCO FG 6解：（1）连接 CE，四边形 ABCE 为圆 O 的内接四边形，B+AEC180，在CED 中，AECD，B+D180，故答案为：；（2）（1）的结论不成立，理由：
20、延长 AD 交圆 O 于点 E，连接 CE，则B+E180，在CDE 中，ADCE，B+ADC180，即B+D180；（3）A+C150+30180，四边形 ABCD 的内角和为 360，ABC+ADC180，即四边形 ABCD 四点共圆，分别过点 A、C 作 AMBD 于点 M，CNBD 于点 N，则四边形 ABCD 面积BDAM+BD（AM+CN），故当 A、M、N、C 共线且 AC 为圆的直径时，四边形 ABCD 面积最大，连接 OB、OD，BAD30，BOD60，故BDO 为等边三角形，则 OBODBD6，则 AC2OB12，则四边形 ABCD 面积最大值ACBD36，故答案为：36
21、7解：（1）连接 AD，如图：设BDC，CAD，则CABBDC，点 C 为弧 ABD 中点，ADCCAD，DAB，AB 为O 直径，ADB90，+90，90，ABD90DAB90（）9090+2，ABD70，35，即BDC35；（2）连接 BC，如图：AB 为O 直径，ACB90，即BAC+ABC90，CEAB，ACE+BAC90，ACEABC，点 C 为弧 ABD 中点，ADCCADABC，ACE；（3）连接 OC，如图：COB2CAB，由（1）知：ABD2BDC，BDCCAB，COBABD，OHCADB90，OCHABD，即，BD10，AB26，AO13，AHAO+OH13+518，EAH
22、BAD，AHEADB90，AHEADB，即，AE，DEADAE24 8（1）证明；如图 1，连接 AD，CE，OE，OC，DFAF，DDAF，ACED，同理可得，DECDAF，DECACE，CFEF，OEOC，FO 垂直平分 CE，CFOEFO；（2）证明：如图 2，连接 CE，CABE，ABE+2FOA90，C+2FOA90，由（1）知，OF 垂直平分 CE，C+CFO90，CFO2FOA，FAO+FOA2FOA，FAOFAO，FAFO；（3）解：如图 3，作 OGAC 于 G，作 OHBE 于 H，AGCGAC，EHBHBE，CFAF8，CF8+AF，AG（AF+CF）（AF+AF+8）A
23、F+4，FGAGAF4，EQ：BQ13：5，设 EQ13a，BQ5a，BE18a，EHBH9a，HQBHBQ9a5a4a，设FAOAOF，由（2）知：ABEACE902，BOH90ABE2，BOQAOF，HOQBOQ，设 OB5k，OH4k，BH3k，FGOBOH2，FGOBHO90，FOGOBH，OG3，OF5，AGAF+FGOF+FG8，OBOA4 9（1）证明：如图所示，连接 EG，正方形 ABCD，C90，在O 中，C90，EG 是O 的直径，EFG90（直径所对的圆周角等于 90）（2）解：如图所示，过点 F 作 AD，BC 的垂线，分别交 AD，BC 于点 M，N，由（1）得，EF
24、G90，点 F 运动至点 A，F，G 三点共线时得，EFAG，即EFGAFE90，且由 BD 是正方形 ABCD 的对角线可知ADB45，设 MFMDa，则 MDNCa，EN41a3a，ADMN，AMFN，NFE+NFG90，NFGAFM（对顶角相等），NFE+NEF90，NFE+AFMAFM+MAF90，NFEMAF，MFAFEN，RtAMFRtFNE（AAS），MFEN，即 a3a，a1.5，；（3）解：情况一，如图所示，EFCG，连接 EG，C90，EFG90，EFFG，在 RtEFG 和 RtGCE 中，EFCG，EGGE，RtEFGRtGCE（HL），FGEGEC，FGEC，FEEC
25、，由 BD 是正方形 ABCD 的对角线可得FBE45，且 BE1，RtBEF 是等腰直角三角形，BEEF1，；情况二，如图所示，EFFG，连接 EG，FC，在O 中，EFG90，EFFG，即等腰直角三角形，EGFGEF45，FCE 与FGE 对应同弧，FCE45，点 A，F，C 三点共线，即 AC 是正方形 ABCD 的对角线，则点 F 为正方形 ABCD 对角线的交点，且，；情况三，如图所示，连接 EG，过点 F 作 AD，BC 的垂线，分别交 AD，BC 于点 M，N，EFG90，FGCG，EG 是公共边，RtEFGRtECG（HL），EFEC413，设 FNx，由（2）和DBC45可知
26、，AMBNFNx，则 ENx1，在 RtEFN 中，EF2（x1）2+x2，即 32（x1）2+x2，即方程得，（x20，不符合题意，舍去），在 RtBNF 中，综上所述，满足条件的 BF 的长度为，10（1）证明：连接 OD，BD 平分ABC，ABDCBD，OBOD，OBDODB，ODBCBD，ODBC，E+ODE180，DEBC，E90，ODE90，ODDE，OD 是半径，DE 是O 的切线；（2）解：在 RtBDE 中，由勾股定理得，BD3，AB 是直径，ADB90，ADBE，ABDDBE，ABDDBE，AB13，O 的半径为；（3）证明：在 AB 上取 BHBC，连接 DH，DC，DB
27、HDBC，BDBD，HBDCBD（SAS），DHDC，DBEABD，ADDC，ADDH，DGAH，AH2AG，ABAH+BH，2AG+BCAB 11（1）证明：AE 为O 的直径，ABE90，BAE+AEB90，ADBC，ADF90，AFD+FAD90，AE 平分BAD，BAEDAF，AEBAFD；（2）解：如图 1，过点 B 作 BMAE 于点 M AFDBFE，AFDAEB，BFEAEB，BFBE5，AB10，ABE90，AE5，BM2，EMFM，AFAEEF523，BMFADF90，AFDBFM，BFMAFD，AD6；（3）解：ADB90，G 为 AB 的中点，AGDGBG，O 为 AE
28、 的中点，G 为 AB 的中点，OGBE，ABE90，AGD90，ADG 为等腰直角三角形，GAD45，ABD45，过点 F 作 FHAB 于点 H，如图 2，AF 平分BAD，FDFH，ABD45，BFFHFD，AFDAEB，AEBC，AFDC，AFAC，又ADBC，FDDC，设 FDDCx，则 BFx，12证明：如图 1，连接 AD，AB 为O 的直径，ADB90，ADBC，DCBD，AD 是线段 BD 的垂直平分线，ABAC；证明：如图 2，连接 OD，连接 OD，AB 是O 的直径，OAOB，DCBD，OD 是ABC 的中位线，ODAC，DEAC，ODDE，OD 是O 的半径，DE 是
29、O 的切线；解：O 的面积是 9cm2，OA29，OA3，AB2OA6，ABC 是等边三角形，ACBCAB6，DCBDBC3，如图 1，连接 AD，由知，ADB90，根据勾股定理得，AD3，SADCCDADACDE，DE，即线段 DE 的长为 13（1）解：连接 AO，BO，作 OHAB，C60，AOB120，OAB30，OHAB，AHBH，OHAHtan301，AO2OH2，故答案为：2；（2）证明：在 BD 上取点 E，使 BEBC，连接 EC，AC，ADCD，ADC60，ADC 为等边三角形，DCAC，DCA60，四边形 ABCD 为圆 O 的内接四边形，ABC+ADC180，ABC12
30、0，ADCD，ABDCBD，CBD60，BEC 为等边三角形，BCCE，BCE60，BCAECD，ACBDCE（SAS），ABDE，DBDE+BEAB+BC；（3）解：存在 CMDM千米，当 DP+CP 取得最大值时，四边形 DMCP 的周长最大，连接 PM，过点 O 作 OHDM 于点 H，设 OHx，DMCM，OMOM，DOCO，DOMCOM（SSS），DMOCMODMC30，HMx，DHx，DH2+OH2OD2，x或 x1（舍去），OH，OM1，D、P、C、M 四点共圆，DPC120，由（2）可知 DP+CPPM，故当 PM 是直径时，PD+PC 最大值为 2，四边形 DMCP 的周长D
31、M+CM+PC+PD2+PD+PC，四边形 DMCP 的周长的最大值为：2+2，即四条慢跑道总长度（即四边形 DMCP 的周长）的最大值为 2+2 14解：（1）直线 AF 与O 相切 理由如下：连接 OC，PC 为圆 O 切线，CPOC，OCP90，OFBC，AOFB，COFOCB，OCOB，OCBB，AOFCOF，在AOF 和COF 中，AOFCOF（SAS），OAFOCF90，AFOA，又OA 为圆 O 的半径，AF 为圆 O 的切线；（2）AOFCOF，OAOC，E 为 AC 中点，即 AECEAC，OEAC，OAF90，OA6，AF2，tanAOF，AOF30，AEOA3，AC2AE
32、6；（3）ACOA6，OCOA，AOC 是等边三角形，AOC60，OC6，OCP90，CPOC6，SOCPOCCP18，S扇形AOC6，阴影部分的面积为 SOCPS扇形AOC186 15解：（1）如图 1，ABAC，ADAC，以点 A 为圆心，点 B、C、D 必在A 上，BAC 是A 的圆心角，而BDC 是圆周角，BDCBAC45，故答案是：45；（2）如图 2，取 BD 的中点 O，连接 AO、CO BADBCD90，点 A、B、C、D 共圆，BDCBAC，BDC27，BAC27，（3）如图 3，在正方形 ABCD 中，ABADCD，BADCDA，ADGCDG，在ABE 和DCF 中，ABE
33、DCF（SAS），12，在ADG 和CDG 中，ADGCDG（SAS），23，13，BAH+3BAD90，1+BAH90，AHB1809090，取 AB 的中点 O，连接 OH、OD，则 OHAOAB2，在 RtAOD 中，OD2，根据三角形的三边关系，OH+DHOD，当 O、D、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值ODOH22（解法二：可以理解为点 H 是在以 AB 为直径的半圆上运动，当 O、H、D 三点共线时，DH 长度最小）故答案为：22 16（1）证明：如图，AE 平分BAC，BAEEAO，OAOE，EAOOEA，BAEOEA，ABOE，OECB，B90，OEC90，OE 为半径
34、，BC 是O 的切线；（2）证明：EF 平分AED，AEFFED，AEFADF，FEDADF，GFDDFE，GFDDFE；（3）解：如图 3，连接 OF、AF，AD 为直径，AFDAED90，EF 平分AED，AEFFED45，AFDAEF45，AFD 为等腰直角三角形，DF6，OAOD，ADDF612，OFAD，OAODOF6，cosCAE，AEADcosCAE126，AEFADF，AGEFGD，AGEFGD，AGGF，AGAO+OG6+OG，6+OGGF，OGGF6，在 RtFOG 中，GF2OF2+OG2，GF262+（GF6）2，解得：GF6（）或 6（）（不符合题意，舍去），OGGF
35、6126，线段 OG 的长为 126 17（1）证明：，CADDBC，DABCBA，ACBD，CAD+DABDBC+CBA，即CABDBA，在CAB 和DBA 中，CABDBA（SAS）；（2）解：过 D 作 DHAB 于 H，如图：半圆 O 中，直径 AB8，OAOD4，DAB15，ADO15，ODBDAB+ADO30，DHOD4，S扇形DOB，SAODOADH8，S阴影部分S扇形DOB+SAOD；（3）解：连接 OC、OD、OM，过 M 作 MEAB 于 E，如图：直径 AB8，弦 CD4，OCODCD4，COD 是等边三角形，M 是 CD 的中点，CMCD2，OMCD，OM2，ME，当
36、OE 最大时，ME 最小，而当 C 与 A 重合（或 D 与 B 重合）时，OE 最大，如图：COD 是等边三角形，M 是 CD 的中点，MOC30，MEOM，即点 M 到 AB 的距离的最小值是，故答案为：；如图：由知：OM2，M 的轨迹是以 O 为圆心，2为半径的弧，当 C 与 A 重合时，AOM30，同理，当 D 与 B 重合时，BOM30，MOM120，点 M 的运动路径长为，故答案为：18解：如图 1，BC 所在的直线与O 相切，理由如下：作直径 BE，连接 AE，BAE90，E+ABE90，BAC30 的度数为：60，点 D 是的中点，的度数为：120，E60，ABE90E30，B
37、ACABE，ACBE，C90，CBE90，EBCB，点 B 在O 上，CB 所在的直线与O 相切；（2）若选择，DAPAQD，ADPADQ，ADPQDA，DQ9，PQDQPD945，若选择，连接 BD，则ABD 是等腰三角形，则 AD6，同样得出 PQ5；（3）如图 2，连接 OA，OB，OD，由上可知：和的度数为：60，AODBOD60，AOB120，OAOD，AOD 是等边三角形，OAAD6，l4，圆的周长等于 2612，1248，点 Q 的运动路径长为：8 19证明：（1）A 为中点，ACEABC CAEBAC，ACEABC；（2）ACEABC，ABBC，CACE CEACAE BFAC
38、，FBECAE FEBCEA，FBEFEB BFFE 解：（3）连接 OB，OC，设 AM 与 CD 交于点 H，如图，A 为中点，OACD，CHHDCD4，AEH+EAH90 FEBAEH，FEB+EAH90 FBE+EAH90 OBOA，EAHOBA OBA+FBE90 即 OBFM BOM+M90 OHCD，F+M90，BOMF tanBOMtanF BFAC，ACHF，tanACHtanF，tanACH，AH3 设圆的半径为 x，则 OHx3 在 RtOHC 中，OC2OH2+CH2，解得：x OB 在 RtOBM 中，tanBOM，BM 20解：（1）连接 AC，BD，如图：BECA
39、ED，BEC+CEDAED+CED，即BEDAEC，在BED 和CEA 中，BEDCEA（SAS），BDAC，四边形 ABCD 是美好四边形；（2）如图：四边形 ABCD 即为所求；（3）连接 BD，过 D 作 DKAB 于 K，如图：ABC90，AB4，BC3，AC5，四边形 ABCD 是美好四边形，ADBD，ADBDAC5，DKAB，AKBKAB2，在 RtADK 中，DK，SABDABDK42，SBCDBCBK323，S四边形ABCDSABD+SBCD2+3；（4）存在这样的点 D，满足 ACBD，且使得四边形 ABCD 的面积最大，理由如下：当对角线相等的四边形对角线不垂直时，如图，过
40、点 D 作 DMAC 于 M，过点 B 作 BNAC 于 N，则 S四边形ABCDSACD+SACBAC（DM+BN），DMDO，BNBO，DM+BNBD，S四边形ABCDACBD，当对角线相等的四边形对角线垂直时，如图：S四边形ABCDSACD+SACBAC（OD+OB）ACBD 当对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大，如图，当 AC 过圆心 E，AC 最长，四边形 ABCD 中，ACBD 时，其面积最大，E 的半径为 200m，点 A 到该湖泊的最近距离为 500m，AC500+2200900（m），ACBD900m，S四边形ABCDACBD900900405000（m2），故四边形 ABCD 的面积最大为 405000m2