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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习圆综合压轴题解答题专题提升训练（附答案）1如图，以线段 AB 为直径作O，交射线 AC 于点 C，AD 平分CAB 交O 于点 D，过点 D 作直线 DEAC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F连接 BD 并延长交 AC 于点 M（1）求证：直线 DE 是O 的切线；（2）求证：ABAM；（3）若 ME1，F30，求 BF 的长 2如图，在O 中，AB 为O 的直径，点 E 在O 上，D 为的中点，连接 AE，BD 并延长交于点 C连接 OD，在 OD 的延长线上取一点 F，连接 BF，使CBFBAC （1）求证：BF 为O 的切线；（2）若 AE4
2、，OF，求O 的半径 3已知：如图，AB 为O 的直径，CD 与O 相切于点 C，交 AB 延长线于点 D，连接 AC，BC，D30，CE 平分ACB 交O 于点 E，过点 B 作 BFCE，垂足为 F（1）求证：CACD；（2）若 AB12，求线段 BF 的长 4如图，在半径为 10cm 的O 中，AB 是O 的直径，CD 是过O 上一点 C 的直线，且ADDC 于点 D，AC 平分BAD，点 E 是 BC 的中点，OE6cm（1）求证：CD 是O 的切线；（2）求 AD 的长 5如图，在ABC 中，ABAC以 AB 为直径的O 与线段 BC 交于点 D，过点 D 作 DEAC，垂足为 E，
3、ED 的延长线与 AB 的延长线交于点 P（1）求证：直线 PE 是O 的切线；（2）若O 的半径为 6，P30，求 CE 的长 6如图，点 O 是ABC 的边 AC 上一点，以点 O 为圆心，OA 为半径作O，与 BC 相切于点 E，交 AB 于点 D，连接 OE，连接 OD 并延长交 CB 的延长线于点 F，AODEOD（1）连接 AF，求证：AF 是O 的切线；（2）若 FC10，AC6，求 FD 的长 7如图，P 为O 外一点，PA、PB 为O 的切线，切点分别为 A、B，直线 PO 交O 于点 D、E，交 AB 于点 C（1）求证：ADEPAE（2）若ADE30，求证：AEPE（3）
4、若 PE4，CD6，求 CE 的长 8如图，ABC 中，ABAC，D 为 AC 上一点，以 CD 为直径的O 与 AB 相切于点 E，交 BC 于点 F，FGAB，垂足为 G（1）求证：FG 是O 的切线；（2）若 BG1，BF3，求 CF 的长 9如图，AB 为O 的直径，过圆上一点 D 作O 的切线 CD 交 BA 的延长线于点 C，过点O 作 OEAD 交 CD 于点 E，连接 BE（1）直线 BE 与O 相切吗？并说明理由；（2）若 CA2，CD4，求 DE 的长 10如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，ABCD，垂足是点 H，过点 C 作直线分别与 AB，AD 的延长线交于点
5、 E，F，且ECD2BAD（1）求证：CF 是O 的切线；（2）如果 AB10，CD6，求 AE 的长；求AEF 的面积 11如图，DP 是O 的切线，D 为切点，弦 ABDP，连接 BO 并延长，与O 交于点 C，与 DP 交于点 E，连接 AC 并延长，与 DP 交于点 F，连接 OD（1）求证：AFOD；（2）若 OD5，AB8，求线段 EF 的长 12如图，ABC 内接于O，ABAC，AD 是O 的直径，交 BC 于点 E，过点 D 作 DFBC，交 AB 的延长线于点 F，连接 BD（1）求证：DF 是O 的切线；（2）已知 AC12，AF15，求 DF 的长 13如图，四边形 AB
6、CD 内接于O，AB 为O 的直径，过点 C 作 CEAD 交 AD 的延长线于点 E，延长 EC，AB 交于点 F，ECDBCF（1）求证：CE 为O 的切线；（2）若 DE1，CD3，求O 的半径 14如图，已知：AB 为O 的直径，O 分别交ABC 的边 AC、BC 于点 D、E，点 F 为AC 的延长线上一点，且CBFBOE（1）求证：BF 是O 的切线；（2）若 AB4，CBF45，BE2EC，求 AD 和 CF 的长 15如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点 D 是的中点，DEBC 交AC 的延长线于点 E（1）求证：直线 DE 与O 相切；（2）若O 的直径是
7、 10，A45，求 CE 的长 16如图，以等边三角形 ABC 的 BC 边为直径画圆，交 AC 于点 D，DFAB 于点 F，连接OF，且 AF1（1）求证：DF 是O 的切线；（2）求线段 OF 的长度 17如图，已知ABC 内接于O，AB 是O 的直径，CAB 的平分线交 BC 于点 D，交O 于点 E，连接 EB，作BEFCAE，交 AB 的延长线于点 F（1）求证：EF 是O 的切线；（2）若 BF10，EF20，求O 的半径和 AD 的长 18如图，AB 为O 直径，D 为O 上一点，BCCD 于点 C，交O 于点 E，CD 与 BA的延长线交于点 F，BD 平分ABC（1）求证：
8、CD 是O 的切线；（2）若 AB10，CE1，求 CD 和 DF 的长 19如图，在 RtABC 中，ACB90，延长 CA 到点 D，以 AD 为直径作O，交 BA的延长线于点 E，延长 BC 到点 F，使 BFEF（1）求证：EF 是O 的切线；（2）若 OC9，AC4，AE8，求 BF 的长 20如图，在 RtABC 中，C90，D 是 AB 上的一点，以 AD 为直径的O 与 BC 相切于点 E，连接 AE，DE（1）求证：AE 平分BAC；（2）若B30，求的值 参考答案 1（1）证明：连接 OD，则 ODOA，ODAOAD，AD 平分CAB，OADDAC，ODADAC，ODAC，
9、DEAC，ODFAED90，OD 是O 的半径，且 DEOD，直线 DE 是O 的切线（2）证明：线段 AB 是O 的直径，ADB90，ADM180ADB90，M+DAM90，ABM+DAB90，DAMDAB，MABM，ABAM（3）解：AEF90，F30，BAM60，ABM 是等边三角形，M60，DEM90，ME1，EDM30，MD2ME2，BDMD2，BDFEDM30，BDFF，BFBD2 2（1）证明：如图，连接 AD，AB 是圆的直径，则ADB90，D 为的中点，则BADCADBAC，CBFBAD，BAD+ABD90，ABFABD+CBF90，ABBF，OB 是O 的半径，BF 是O
10、的切线；（2）解：如图，连接 BE，AB 是圆的直径，则AEB90，BOD2BAD，BAC2BAD，BODBAC，又ABFAEB90，OBFAEB，OB：AEOF：AB，OB：4：2OB，OB29，OB0，则 OB3，O 的半径为 3 3（1）证明：连接 OC，CD 与O 相切于点 C，OCD90，D30，COD90D60，ACOD30，AD30，CACD；（2）解：AB 为O 的直径，ACB90，A30，AB12，BCAB6，CE 平分ACB，BCEACB45，BFCE，BFC90，BFBCsin4563，线段 BF 的长为 3 4（1）证明：连接 OC，如图：AC 平分BAD，DACCAO
11、，OAOC，CAOOCA，DACOCA，ADOC，ADDC，CODC，OC 是O 的半径，CD 是O 的切线；（2）解：E 是 BC 的中点，且 OAOB，OE 是ABC 的中位线，AC2OE，OE6cm，AC12cm，AB 是O 的直径，ACB90ADC，又DACCAB，DACCAB，即，ADcm 5（1）证明：连接 OD，如图：ABAC，ABCACB，OBOD，ABCODB，ACBODB，ODAC，DEAC，DEOD，即 PEOD，OD 是O 的半径，PE 是O 的切线；（2）解：连接 AD，连接 OD，如图：DEAC，AEP90，P30，PAE60，ABAC，ABC 是等边三角形，C60
12、，O 的半径为 6，BCAB12，AB 是O 的直径，ADB90，BDCDBC6，在 RtCDE 中，CECDcosC6cos603，答：CE 的长是 3 6（1）证明：在AOF 和EOF 中，AOFEOF（SAS），OAFOEF，BC 与O 相切，OEFC，OAFOEF90，即 OAAF，OA 是O 的半径，AF 是O 的切线；（2）解：在 RtCAF 中，CAF90，FC10，AC6，AF8，OCEFCA，OECFAC90，OECFAC，设O 的半径为 r，则，解得 r，在 RtFAO 中，FAO90，AF8，AO，OF，FDOFOD，即 FD 的长为 7（1）证明：连接 OA，如图，PA
13、 为O 的切线，AOPA，OAE+PAE90 DE 是O 的直径，DAE90，ADE+AED90 OAOE，OAEAED，ADEPAE；（2）证明：由（1）知：ADEPAE30，DAE90，AED90ADE60 AEDPAE+APE，APEPAE30，AEPE；（3）解：设 CEx，则 DECD+CE6+x，OAOE，OCOECE，OPOE+PE PA、PB 为O 的切线，PAPB，PO 平分APB，POAB PA 为O 的切线，AOPA，OACOPA，即：x2+10 x240 解得：x2 或12（不合题意，舍去），CE2 8（1）证明：如图，连接 OF，ABAC，BC，OFOC，COFC，O
14、FCB，OFAB，FGAB，FGOF，又OF 是半径，GF 是O 的切线；（2）解：如图，连接 OE，过点 O 作 OHCF 于 H，BG1，BF3，BGF90，FG2，O 与 AB 相切于点 E，OEAB，又ABGF，OFGF，四边形 GFOE 是矩形，OEGF2，OFOC2，又OHCF，CHFH，cosCcosB，CH，CF 9解：（1）直线 BE 与O 相切，理由：连接 OD，CD 与O 相切于点 D，ODE90，ADOE，ADODOE，DAOEOB，ODOA，ADODAO，DOEEOB，ODOB，OEOE，DOEBOE（SAS），OBEODE90，OB 是O 的半径，直线 BE 与O
15、相切；（2）解法一：设O 的半径为 r，在 RtODC 中，OD2+DC2OC2，r2+42（r+2）2，r3，AB2r6，BCAC+AB2+68，由（1）得：DOEBOE，DEBE，在 RtBCE 中，BC2+BE2CE2，82+BE2（4+DE）2，64+DE2（4+DE）2，DE6；解法二：设O 的半径为 r，在 RtODC 中，OD2+DC2OC2，r2+42（r+2）2，r3，OA3，ADOE，DE6，DE 的长为 6 10（1）证明：连接 OC，如图，AB 是O 的直径，ABCD，CABDAB COB2CAB，COB2BAD ECD2BAD，ECDCOB ABCD，COB+OCH9
16、0，OCH+ECD90，OCE90 OCCF OC 是O 的半径，CF 是O 的切线；（2）解：AB10，OAOBOC5，AB 是O 的直径，ABCD，CHDHCD3 OH4，OCCF，CHOE，OCHOEC，OE AEOA+OE5+；过点 F 作 FGAB，交 AB 的延长线于点 G，如图，OCFFGE90，CEOGEF，OCEFGE，设 FG4k，则 FE5k，EG3k，DHAB，FGAB，DHFG，解得：k FG4k5 AEF 的面积AEFG 11（1）证明：延长 DO 交 AB 于点 H，DP 是O 的切线，ODDP，ABDP，HDAB，BC 为O 的直径，BAC90，AFOD；（2）
17、OHAB，AB8，BHAH4，OH3，BHED，BOHEOD，即，解得：ED，BAC90，DHAB，DHDP，四边形 AFDH 为矩形，DFAH4，EFEDDF4 12（1）证明：AD 是O 的直径，ABD90，即ABC+CBD90，ABAC，ABCC，ADBC，ABCADB，BCDF，CBDFDB，ADB+FDB90，即ADF90，ADDF，又OD 是O 的半径，DF 是O 的切线；（2）解：ABAC12，AF15，BFAFAB3，FF，FBDFDA90，FBDFDA，BF：DFDF：AF，DF2BFAF31545，DF3 13（1）证明：如图 1，连接 OC，OBOC，OCBOBC，四边形
18、 ABCD 内接于O，CDEOBC，CEAD，ECDE+ECD90，ECDBCF，OCB+BCF90，OCE90，即 OCEF，OC 是O 的半径，CE 为O 的切线；（2）解：如图 2，过点 O 作 OGAE 于 G，连接 OC，OD，则OGE90，EOCE90，四边形 OGEC 是矩形，OCEG，OGEC，设O 的半径为 x，RtCDE 中，CD3，DE1，EC2，OG2，GDx1，ODx，由勾股定理得：OD2OG2+DG2，x2（2）2+（x1）2，解得：x4.5，O 的半径是 4.5 14（1）证明：连结 AE，OE，BAEBOE，CBFBOE，BAECBF，AB 为O 的直径，AEB
19、90，BAE+ABE90，ABE+CBF90，即ABF90，BFAB，BF 是O 的切线；（2）解：过点 C 作 CGBF 于点 G，连结 BD，CBF45，ABE90CBF45，在 RtABE 中，AB4，AEBE4sin454，BE2EC，EC2，BC6，在 RtCBG 中，CBG45，BC6，CGBG3，CGBF，BFAB，ABCG，FCGFAB，FG9，BF12，在 RtFCG 中，CF6，在 RtABF 中，AF8，AB 为O 的直径，ADB90，又BADBAF，cosBADcosBAF，即，AD 15（1）证明：连接 OD，如图，点 D 是的中点，ODBC，DEBC，ODDE，直线
20、 DE 与O 相切；（2）解：AC 是O 的直径，B90，A45，ACB45，BCDE，E45，而ODE90，ODE 为等腰直角三角形，OEOD5，CEOEOC55 16（1）证明：连接 OD，ABC 是等边三角形，CA60o，OCOD，OCD 是等边三角形，CDOA60o，ODAB，DFAB，FDOAFD90，ODDF，DF 是O 的切线；（2）解：ODAB，OCOB，OD 是ABC 的中位线，AFD90，A60o，ADF30，AF1 CDODAD2AF2，在 RtADF 中，由勾股定理得 DF2AD2AF23，在 RtODF 中，由勾股定理得 OF，线段 OF 的长为 17（1）证明：连接
21、 OE，AB 是O 的直径，AEB90，即AEO+OEB90，AE 平分CAB，CAEBAE，BEFCAE，BEFBAE，OAOE，BAEAEO，BEFAEO，BEF+OEB90，OEF90，OEEF，OE 是O 的半径，EF 是O 的切线；（2）解：如图，设O 的半径为 x，则 OEOBx，OFx+10，在 RtOEF 中，由勾股定理得：OE2+EF2OF2，x2+202（x+10）2，解得：x15，O 的半径为 15；BEFBAE，FF，EBFAEF，设 BEa，则 AE2a，由勾股定理得：AE2+BE2AB2，即 a2+（2a）2302，解得：a6，AE2a12，CAEBAE，OEBC，
22、OEEF，BCEF，即，AD9 18（1）证明：连接 OD，BD 平分ABC ABDDBC，又OBOD，OBDODB，DBCODB，又BCCD，C90，DBC+BDC90，ODB+BDC90，即 ODDC，CD 是O 的切线；（2）解：连接 AE 交 OD 于点 H，AB 为O 直径，AEB90，HEC90，BCCD，ODDC，ODCC90，四边形 HECD 是矩形，DHCE1，HECD，EHD90，HECD，ODAE，AHHE，AB10，OAOD5，OHODDH514，AH，HEAH3，CDHE3，HECD，OAHOFD，DF 19证明：（1）连接 OE，OAOE，OEAOAE，在 RtAB
23、C 中，ACB90，BAC+B90，BFEF，BBEF，OAEBAC，OEABAC，OEFOEA+BEFBAC+B90，OEEF，OE 是O 的半径，EF 是O 的切线；（2）解：连接 DE，OC9，AC4，OAOCAC5，AD2OA，AD10，AD 是O 的直径，AED90，在 RtADE 中，DE6，cosDAE，在 RtABC 中，cosBAC，BACDAE，AB5，BEAB+AE5+813，ODOE，ODEOED，EF 是O 的切线，FEO90，OED+OEA90，FEB+OEA90，FEBOED，BFEBOEDODE，FBEODE，BF 方法二：解：连接 DE，OC9，AC4，OAOCAC5，AD2OA，AD10，AD 是O 的直径，AED90，在 RtADE 中，DE6，cosDAE，在 RtABC 中，cosBAC，BACDAE，AB5，BEAB+AE5+813，过 F 作 FHBE 于 F，则 BH6.5，B 的余弦等于 0.6，BF6.50.6 20（1）证明：连接 OE，BC 是O 的切线，OEBC，即OEB90，C90，OEAC，OEAEAC，OEOA，OEAOAE，OAEEAC，即 AE 平分BAC；（2）解：AD 为O 的直径，AED90，OAEEAC，C90，DAEEAC，C90，B30，BAC903060，DAEBAC30，cosDAE，cos30，