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1、本节的教学要求本节的教学要求掌握多元函数的概念会求二元函数的定义域重点机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意:学习本章,要善于与一元函数类比,区别异同.第1页/共17页(一一)多元函数的定多元函数的定义义两个以上自变量 多元函数 z=f(x,y)某商品的市场需求量Qf(该商品的价格P1,消费者收入水平Y,替代商品的价格P2).机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个自变量 一元函数 y=f(x),长方形面积=长宽 A=xy.多元函数的实例u=f(x,y,z)长方体体积=长宽高 V=xyz.第2页/共17页定义8.2机动 目录 上页 下页 返回 结束 也可记为D(f).其中,变量x,y称为自变
2、量;为函数的定义域,z 称为因变量;设D是一个非空的二元有序数组的集合,f为某一对应规则,使对于每一个有序数组,确定的实数z与之对应,都有唯一则称对应规则 f 为定义在 D上的二元函数,记为 集合D称对于 所对应的z值,记为 或称为当 时,函数z=f(x,y)的函数值.全体函数值的集合 数的值域,记为Z或Z(f).称为函第3页/共17页例例1设Z表示居民人均消费收入,机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义域为S1为消费率,为二元函数,值域为值域为 类似可定义三元函数 和 一般的n元函数.例2Y表示国民收入总额,S2为居民消费率,则有为二元函数,定义域为此函数反映一个国家居民人均消费收入依赖于
3、国民收入总额和总人口数.量为Z,P表示总人口数,自变量为Y 和 P,因变自变量为x,y,因变量为z,第4页/共17页机动 目录 上页 下页 返回 结束(二)二元函数的定义域 可以是整个z=f(x,y)的定义域几何上一般为平面区域,也可以是由几条平面曲线或直线围成的图形.邻域点P0(x0,y0)的 邻域是点集内(部)点平面点集E点P0存在一个 邻域属于E边界点P0的任何邻域内既有属于E的点,E的点P0是E的一个边界点.点P0为E的内(部)点.边界点集E的所有边界点的集合为E的边界.它表示以P0为圆心,以为半径的圆的内部也有不属于E的边界点不一定属于E.xoy平面,外(部)点第5页/共17页机动
4、目录 上页 下页 返回 结束 开集 无界区域开区域(区域)连通集连通的开集就是开区域,闭区域开区域和它的边界构成闭区域有界区域如果存在M0,使区域E中任意点E是开集E中所有的点都是内点集中任意两点都可用折线连接起来的点集也简称为区域.半开区域开区域和它的部分边界构成半开区域若对于任意给定的M0,区域E中总存在点P(x,y)都有则E为有界区域.P(x,y),使则E为无界区域.平面点集E第6页/共17页例如，例如，在平面上在平面上开区域闭区域机动 目录 上页 下页 返回 结束 无界区域无界区域有界区域第7页/共17页 整个平面 点集 是开集，是最大的开区域,也是最大的闭区域；但非区域.机动 目录
5、上页 下页 返回 结束 o 在平面上 是半开区域.第8页/共17页求函数的定义域求函数的定义域机动 目录 上页 下页 返回 结束 的定义域为的定义域为方法同一元函数.长方体体积 的定义域 的定义域如右图.函数是第一象限(不包括坐标轴).第9页/共17页解:例例3机动 目录 上页 下页 返回 结束 求函数的定义域.第10页/共17页例例4 求f(x,y).令解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 设于是所以第11页/共17页(三三)二元函数的几何意二元函数的几何意义义机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个平面区域D(f)三维空间中一个曲面F(x,y,z)=0三维空间中的一个曲面M(x,y)f(
6、x,y)(x,y,f(x,y)P(x,y,z)一元函数 y=f(x)二元函数 z=f(x,y)平面xoy上的一条曲线注意:分清定义域和图形.第12页/共17页例如例如,二元函二元函数数定义域为圆域图形为中心在原点的上半球面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 图形为右图中所示空间曲面.三元函数 定义域为图形为四维空间中的超曲面.单位闭球定义域为xoy平面第13页/共17页例例5机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:作二元函数 的图形.移项得 两边平方 这是中心为(0,1,0),半径为1的球面.是该球面的上半部分.函数的定义域函数的图形第14页/共17页课堂练习课堂练习 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:1.已知函数试求2.求函数定义域,并画图.解:第15页/共17页内容小结内容小结l多元函数的定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P362 1(1)(2)(4)(5),2,3;l二元函数的定义域l二元函数的图形一般是一个空间曲面一般是一个平面区域第16页/共17页感谢您的观看！第17页/共17页