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1、第一节第一节一、与区域有关的几个概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的基本概念 第九章 第1页/共28页1邻域一、平面区域(简介)是某一正数，定义为以为中心,半径为的邻域(记为是 xOy 面上的一点，设第2页/共28页2区域的边界点及边界设有区域 E 及一点 P.若点 P 的任一邻域 U(P)内既含属于 E 的点，又含不属于 E 的点,则称 P 为 E 的边界点；(2)E 的边界点的全体称为E 的边界。注意:(1)E的边界点P可以不在E内.第3页/共28页例如：例如：上任一点都是边界点边界为圆周的边界为圆周及圆周的边界为 若点
2、 P 的任一邻域 U(P)内既含属于 E 的点，又含不属于 E 的点,则称 P 为 E 的边界点；E 的边界点的全体称为E 的边界。第4页/共28页3 开区域、闭区域 边界在区域内的区域称为闭区域。边界不在区域内的区域称为开区域.例如:开区域闭区域第5页/共28页为有界闭区域；为无界开区域例如:4.有界区域、无界区域.若平面区域 E 可包含于以原点为中心半径适当大的圆内，则称 E 为有界区域；否则，称 E 为无界区域第6页/共28页以后区域用不等式或不等式组来简单表示.可简单地表示成机动 目录 上页 下页 返回 结束 注1例如o第7页/共28页注2 平面区域的有关概念均可推广到空间中去.如在空
3、间中表示开区域，边界面为如在空间中表示闭区域，边界面为第8页/共28页画出区域解机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1oo第9页/共28页二、多元函数的概念两个自变量的函数称为二元函数，一般记为1多元函数的概念同理，三个自变量的函数称为三元函数，一般记为二元及二元以上的函数称为多元函数。，例如第10页/共28页例2 设解从而求 f(x,y)令则第11页/共28页2.二元函数 的图形二元函数 的图形通常是一张空间曲面，例如：定义域为圆域图形为中心在原点的上半球面。第12页/共28页三、多元函数的极限f(x,y)=3x+2yxyf(x,y)1.52.49.31.11.97.10.992.016.
4、991.0011.9997.0011.00012.00017.0005则称 7是当对应的时的极限当点趋向于点第13页/共28页当点 无限趋近于点 时，由于记或的值无限接近于常数 A，则称 A 是当点 趋向于点 时的极限，记为一般地：因此有第14页/共28页定义1.设函数 f(x,y)的定义域为D，内点或边界点,则称 A 为函数P0 是D的若存在常数A,当都有机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意正数 ,总存时的极限，记作在正数,第15页/共28页例例3.证明证明证:故总有机动 目录 上页 下页 返回 结束 要证 只要取当有第16页/共28页注：若点以两种不同方式趋于时，趋于两个不同值，或当
5、点以某种的极限不存在，方式趋于时，则不存在。第17页/共28页例4 证明 不存在.证故不存在。以两种不同方式趋于，趋于不同值第18页/共28页四、多元函数的连续性定义2设二元函数z=f(x,y)的定义域为D,即若处连续.则称二元函数z=f(x,y)在点是D内的点，说明:如果函数f(x,y)在 D 上的每一点都连续，则称函数 f(x,y)在 D上连续，或者称 f(x,y)是 D上的连续函数。第19页/共28页证：因为所以 不存在。以两种不同方式趋于，趋于不同值例5 讨论，因此，在点(0,0)处不连续。在(0,0)的连续性第20页/共28页定理一切多元初等函数都在其定义区域内连续注定义区域是指包含
6、在定义域内的开区域或闭区域。例6求解 原式=第21页/共28页例7解第22页/共28页4有界闭区域上连续函数的性质(了解,不记)有界闭区域D上的多元连续函数必在D上取得它的最大值和最小值 有界闭区域D上的多元连续函数必在D上取得介于其最小值与最大值之间的一切值。（2）最值性（3）介值性（1）有界性有界闭区域D上的多元连续函数必在D上有界第23页/共28页习题P561,3(1)(4),4,5,6(1)(3)(4)(6),7(1),8(2)第24页/共28页思考题解答不能！例如：取但是，不存在.因为若取 若点沿着无数多条平面曲线趋向于点时，函数都趋向于A，能否断定？第25页/共28页例1解 （理由：无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小。）第26页/共28页例5 讨论在(0,0)的连续性解其值随k的不同而变化，因为因此，在点(0,0)处不连续。故极限 不存在第27页/共28页感谢您的观看！第28页/共28页