《D81多元函数的基本概念.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《D81多元函数的基本概念.pptx（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、一、平面点集、一、平面点集、n维空维空间间1 平面点集平面点集:点集称为在平面上,(圆邻域圆邻域)在空间中,(球邻域球邻域)注注:点 P0 的去心邻域去心邻域记为平面上具有某种性质的点的集合.点 P0 的 邻域邻域.若不需要强调邻域半径,也可写成第1页/共24页(1)内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P:v 若存在点 P 的某邻域 U(P)E,v 若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,v 若对点 P 的任一任一邻域 U(P)既含 E内的点也含 E则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点;则称 P 为 E 的边界点边界点 .外的点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必
2、不属于 E,E 的边界点可能属于 E,也可能不属于 E.2 点与点集的关系点与点集的关系第2页/共24页(2)聚点聚点若对任意给定的正数 ,内总有E 中的点,则称 P 是 E 的聚点聚点.聚点可以属于 E,也可以不属于 E(因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集导集.E 的边界点)第3页/共24页E(3)开区域及闭区域开区域及闭区域若点集 E 的点都是内点,若点集 E E,若点集 E 中任意两点都可用一完全属于 E 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 E 是连通集;连通的开集称为开区域,.E 的边界点的全体称为 E 的边界,对点集 E,则称 E 为有界集有界集,否则
3、称为无无界集界集.简称区域;则称 E 为开集;记作E;则称 E 为闭集;若存在正数 r,使得E U(O,r)第4页/共24页例如，例如，在平面上在平面上开区域闭区域第5页/共24页 整个平面 点集 是开集，是最大的区域,也是最大的闭域;但非区域.3 n 维空间维空间n 元有序数组的全体所构成的集合记作即中的每一个元素用单个粗体字母 x 等表示,称为点或 n 维向量.即第6页/共24页定义:线性运算线性运算 xi 称为 x 的第 i 个坐标 或 第 i 个分量.称为 n 维空间.定义了线性运算的点集的距离距离定义为记作记作或中两点第7页/共24页中点 a 的 邻域邻域为则称 x 显然趋于a,时通
4、常记作与零元 0 的距离为特别地第8页/共24页二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例:v 圆柱体的体积v 一定量理想气体的压强v 三角形面积的海伦公式第9页/共24页定义定义1 点集 D 称为该函数的定义域定义域;数集称为函数 f 的值域值域 .类似地,映射称为定义在 D 上的 二二 元函元函数数,称为自变量，因变量或的函数.称为或当 时,可定义n元函数设非空点集可定义三元函数记作第10页/共24页例如例如,二元函二元函数数定义域为圆域注注:二元函数 z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形为空间曲面.例例1的定义域.解解:定义域为求函数第11页/共24页三、
5、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2 则称 A 为函数(2)二元函数的极限也称为二二 重极限重极限.注注:的极限可写作：若存在常数 A,对任意记作 都有对任意正数 ,的定义域是D,在正数,设 二 元函数当 是 D 的聚点.时的极限,或(1)若记二元函数总存第12页/共24页例例2求证:证明证明:故总有要证要证 设第13页/共24页(3)于不同的极限,则可以断定函数极限以不同方式趋于不存在不存在.函数趋注注:(1)以任何 方式趋于 都无限接近于(2)若 以某一特殊方式趋于 时,即使无限接近于某一确定值,也不能断定函数的极限存在.时,若当点二重极限存在是指:或有的极限不存在,第14页/共24
6、页设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则有k 值不同极限不同值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.显然例例3 讨论函讨论函数数那么？解解:第15页/共24页仅知其中一个存在,不能推出其他二者存在.注注:二重极限二重极限不同不同.如果它们都存在,如如显然与二次极限但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在.则三者相等.第16页/共24页四、四、多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3的定义域为 D,如果函数在 D 上各点处都连续,则称此如果否则称为不连续,此时称为间断点.则称 二 元函数函数在 D 上连续连续.连续；聚点即在点不连续的意不连续的意义
7、？义？设 二 元函数第17页/共24页如函如函数数在点(0,0)极限不存在,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论结论:一切多元初等函数在其定义区域内连续.多元初等函数：多元初等函数：由常数及不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算,式子表示的多元函数.并且可以用一个第18页/共24页例例4 证明证明:在全平面连续.证明证明:显然连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得第19页/共24页定理定理：若若 f(P)在有界闭域在有界闭域 D 上连续上连续,则则在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;(3)对任意(有界性定理有界性定理)(最值定理最值定理)(介值定理介值定理)闭区域闭区域上多元连续函数有与闭区间上一元连续函数使解解:例例5 求原式有类似的性质:第20页/共24页内容小结内容小结1 区域区域 邻域:区域连通的开集 2 多元函数概念多元函数概念n 元函数常用二元函数(图形为空间曲面)三元函数第21页/共24页有3 多元函数的极多元函数的极限限4 多元函数的连续性多元函数的连续性(1)函数(2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理(3)一切多元初等函数在定义区域内连续第22页/共24页极限随k值不同而不同,令极限不存在练习练习:证明极限 不存在证明证明:求极限(2)(1)解解:第23页/共24页感谢您的观看！第24页/共24页