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1、一、一、多元函数的极值多元函数的极值 定义10:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.多元函数的极值多元函数的极值第1页/共24页说明:使偏导数都为 0 的点称为驻点.例如,定理定理7(必要条必要条件件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故机动 目录 上页 下页 返回 结束
2、第2页/共24页时,具有极值定理定理8(充分条件充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A0 时取极小值.2)当3)当证明从略.时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共24页例例1.1.求函数解:第一步 求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步 判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共24页在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共24页例例2.讨
3、论函讨论函数数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此 z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有 可能为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共24页2、最值应用问题、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P 时,为极小 值为最小 值(大)(大)依据机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共24页例例3 3.解:设水箱长,宽分别为 x,y m,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实
4、际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共24页例例4.有一宽为有一宽为 24cm 的长方形的长方形铁板铁板,把它折起来做成解:设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大.为问怎样折法才能使断面面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共24页令解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点,故此点即为所求.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共2
5、4页二、多元函数的条件极二、多元函数的条件极值值极值问题无条件极值:条 件 极 值:条件极值的求法:方法1 代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共24页方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法 1 所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记例如,故 故有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共24页引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.机动
6、目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共24页推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共24页例例5.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解:设 x,y,z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共24页得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因此,当高为机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考:1)
7、当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:长、宽、高尺寸相等.第16页/共24页内容小结内容小结1.函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共24页设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数,
8、确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题函数的最值问题在条件求驻点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共24页已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点 C,使ABC 面积 S最大.解答提示:设 C 点坐标为(x,y),思考与练习思考与练习则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共24页设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形面积最大.点击图中任意点动画开始或暂停机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共24页 作业 P61 2，3,4,5,7,习题课 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共24页备用题备用题 1.求半径为求半径为R 的圆的内接三角形中面积的圆的内接三角形中面积最大者最大者.解:设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,则它们所对应的三个三角形面积分别为设拉氏函数解方程组,得故圆内接正三角形面积最大,最大面积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共24页为边的面积最大的四边形,试列出其目标函数和约束条件?提示:目标函数:约束条件:答案:即四边形内接于圆时面积最大.2.求平面上以求平面上以机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共24页感谢您的观看！第24页/共24页