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1、2023/2/21阜师院数科院 第八章 第一节第一节一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 第1页/共33页2023/2/21阜师院数科院一、一、区区域域1.邻域点集称为点 P0 的 邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成点 P0 的去心邻域记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共33页2023/2/21阜师院数科院在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3
2、页/共33页2023/2/21阜师院数科院2.区域区域(1)内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P:若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一邻域 U(P)既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点；则称 P 为 E 的外点;则称 P 为 E 的边界点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于 E,也可能不属于 E.第4页/共33页2023/2/21阜师院数科院(2)聚点聚点若对任意给定的 ,点P 的去心机动 目录 上页 下页 返回 结束 邻域内总有E 中的
3、点,则称 P 是 E 的聚点.聚点可以属于 E,也可以不属于 E(因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集.E 的边界点)第5页/共33页2023/2/21阜师院数科院D(3)开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；若点集 E E,则称 E 为闭集；若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;机动 目录 上页 下页 返回 结束。E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;第6页/共33页2023/2/21阜师院数科院例如，例如，在平面上在平面上开区域闭区域
4、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共33页2023/2/21阜师院数科院 整个平面 点集 是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 o 对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K,则称 D 为有界域,界域.否则称为无第8页/共33页2023/2/21阜师院数科院3.n 维空间维空间n 元有序数组的全体称为 n 维空间,n 维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第 k 个坐标.记作即机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个点,当所有坐标称该元素为 中的零元,记作 O.第9页/共33页2023/2/21阜师院数
5、科院的距离记作中点 a 的 邻域为机动 目录 上页 下页 返回 结束 规定为 与零元 O 的距离为第10页/共33页2023/2/21阜师院数科院二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例:圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共33页2023/2/21阜师院数科院定义定义1.设非空点设非空点集集点集 D 称为函数的定义域;数集称为函数的值域 .特别地,当 n=2 时,有二元函数当 n=3 时,有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数,记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共33页2023/2/21阜师院数科院例如
6、例如,二元函二元函数数定义域为圆域说明:二元函数 z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球第13页/共33页2023/2/21阜师院数科院三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义2.设 n 元函数点,则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n=2 时,记二元函数的极限可写作：P0 是 D 的聚若存在常数 A,对一记作都有机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意正数 ,总存在正数,切第14页/共33页2023/2/21阜师院数科院例例1.设设求证：证:故总有机动 目录
7、 上页 下页 返回 结束 要证 第15页/共33页2023/2/21阜师院数科院例例2.设设求证：证：故总有要证机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共33页2023/2/21阜师院数科院 若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例例3.讨论函数讨论函数函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共33页2023/2/21阜师院数科院例例4.求求解:因而此函数定义域不包括 x,y 轴则故机动 目录 上页 下页 返回 结
8、束 第18页/共33页2023/2/21阜师院数科院仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.二重极限二重极限不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然与累次极限但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在.例3 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共33页2023/2/21阜师院数科院四四、多元函数的连续性多元函数的连续性 定义3.设 n 元函数定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称 n 元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续.连续,第20页/共33页2023/2/21阜师院数科院例如例如,函函数数在点(0,0
9、)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.第21页/共33页2023/2/21阜师院数科院定理定理：若若 f(P)在有界闭域在有界闭域 D 上连续上连续,则则机动 目录 上页 下页 返回 结束*(4)f(P)必在D 上一致连续.在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)第22页/共33页2023/2/21阜师院数科院解:原式例例5.求求例6.求函数的连续域.解:机动 目录 上页
10、 下页 返回 结束 第23页/共33页2023/2/21阜师院数科院内容小结内容小结1.区域 邻域:区域连通的开集 2.多元函数概念n 元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共33页2023/2/21阜师院数科院有3.多元函数的极多元函数的极限限4.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续P11 题 2;4;5(3),(5)(画图);8P72 题 3;4机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习第25页/共33页2023/2/21阜师院数科院解答提示解答提
11、示:P11 题 2.称为二次齐次函数.P11 题 4.P11 题 5(3).定义域P11 题 5(5).定义域机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共33页2023/2/21阜师院数科院P12 题 8.间断点集P72 题 3.定义域P72 题 4.令 y=k x，若令机动 目录 上页 下页 返回 结束,则 可见极限不存在第27页/共33页2023/2/21阜师院数科院 作业P11 5(2),(4),(6)6 (2),(3),(5),(6)7，9,10第二节 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共33页2023/2/21阜师院数科院备用题备用题1.设求解法1 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共33页2023/2/21阜师院数科院1.设求解法2 令即机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共33页2023/2/21阜师院数科院2.是否存在？解：所以极限不存在.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共33页2023/2/21阜师院数科院 3.证明证明在全平面连续.证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共33页2023/2/21阜师院数科院感谢您的观看！第33页/共33页