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1、第一节第一节一、平面点集n 维空间二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的基本概念 第九章 第1页/共31页1邻域一、平面点集n 维空间(不记笔记)注称为点 的去心邻域。第2页/共31页2区域(1)内点、外点、边界点与边界设有点集 E 及一点 P，若存在点 P 的某邻域U(P)，使得U(P)E,若存在点 P 的某邻域U(P)，使得 U(P)E=,若点 P 的任一邻域 U(P)内既含属于 E 的点，又含不则称 P 为 E 的内点；属于 E 的点,则称 P 为 E 的边界点；则称 P 为 E 的外点;E 的边界点的全体称为E 的边界。第
2、3页/共31页例如：例如：上任一点都是边界点边界为圆周的边界为圆周及圆周的边界为 若点 P 的任一邻域 U(P)内既含属于 E 的点，又含不属于 E 的点,则称 P 为 E 的边界点；E 的边界点的全体称为E 的边界。第4页/共31页(3)开集、闭集 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；若E 的边界包含在 E 内,则称 E 为闭集；例如：开集为闭集第5页/共31页(4)连通集D若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,则称 D 是连通集;是开集，但不是连通集是连通集第6页/共31页(5)(开)区域、闭区域D 开区域连同它的边界一起称为闭区域。连通的开集称为开区域,简称区域;
3、例如，（开）区域闭区域第7页/共31页为有界闭区域；为无界开区域例如，（6）有界点集、无界点集 若平面点集 E 可包含于原点的某个邻域内，则称 E 为有界点集；否则，称 E 为无界点集第8页/共31页以后区域可简单地表示成机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共31页3n 维空间注注10 设两点为则20 平面点集的有关概念均可推广到n 维空间中去，如，邻域：在空间中表示闭区域，边界面为第10页/共31页二、多元函数的概念两个自变量的函数称为二元函数，一般记为1多元函数的概念同理，三个自变量的函数称为三元函数，一般记为二元及二元以上的函数称为多元函数。，例如第11页/共31页例1 设 求：
4、解：。第12页/共31页例2 求 的定义域解所求定义域为。第13页/共31页2.二元函数 的图形二元函数 的图形通常是一张空间曲面，例如：定义域为圆域图形为中心在原点的上半球面。第14页/共31页三、多元函数的极限f(x,y)=3x+2yxyf(x,y)1.52.49.31.11.97.10.992.016.991.0011.9997.0011.00012.00017.0005则称 7是当对应的时的极限当点趋向于点第15页/共31页当点 无限趋近于点 时，由于记或的值无限接近于常数 A，则称 A 是当点 趋向于点 时的极限，记为一般地：因此有第16页/共31页定义2.设函数 f(x,y)的定义
5、域为D，边界点,则称A为函数P0 是D的内点或若存在常数A,当都有机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意正数 ,总存在正数,时的极限，记作第17页/共31页例例3 3.证证明明证:故总有机动 目录 上页 下页 返回 结束 要证 只要取当有第18页/共31页注：若点以两种不同方式趋于时，趋于两个不同值，或当点以某种的极限不存在，方式趋于时，则不存在。第19页/共31页例4 证明 不存在.证故不存在。以两种不同方式趋于，趋于不同值第20页/共31页四、多元函数的连续性定义3 如果函数 在 D 上的每一点都连续，则称函数 在 D上连续，或者称 是 D上的连续函数。定义4第21页/共31页例5 讨
6、论在(0,0)的连续性解其值随k的不同而变化，因为因此，在点(0,0)处不连续。故极限 不存在第22页/共31页定理一切多元初等函数都在其定义区域内连续注定义区域是指包含在定义域内的开区域或闭区域。例6求解 原式=第23页/共31页例7解第24页/共31页4有界闭区域上连续函数的性质(了解,不记)有界闭区域D上的多元连续函数必在D上取得它的最大值和最小值 有界闭区域D上的多元连续函数必在D上取得介于其最小值与最大值之间的一切值。（2）最值性（3）介值性（1）有界性有界闭区域D上的多元连续函数必在D上有界第25页/共31页习题P561,3(1)(4),4,5,6(1)(3)(4)(6),7(1),8(2)第26页/共31页思考题解答不能！例如：取但是，不存在.因为若取 若点沿着无数多条平面曲线趋向于点时，函数都趋向于A，能否断定？第27页/共31页备用题备用题设求解 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共31页证：因为所以 不存在。以两种不同方式趋于，趋于不同值例4 设，不存在证明：第29页/共31页例8解 （理由：无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小。）第30页/共31页感谢您的观看！第31页/共31页