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1、第八章 重积分第一节第一节 重积分的概念和性质重积分的概念和性质引例重积分的定义重积分的性质重积分的计算总结第1页/共45页柱体体积=底面积 高特点特点：平顶.柱体体积=？特点特点：曲顶.曲顶柱体的体积一、问题的提出第2页/共45页步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积第3页/共45页求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量第4页/共45页二、二重积分的概念定义定义 设设),(yxf是有界闭区域是有界闭区域D上的有界函上的有界函数，将闭区域数，将闭区域D任意
2、分成任意分成 n个小闭区域个小闭区域1s sD D，L,2s sD D，ns sD D，其中，其中is sD D表示第表示第i个小闭区域，个小闭区域，也表示它的面积，在每个也表示它的面积，在每个is sD D上任取一点上任取一点),(iih hx x，作乘积作乘积 ),(iifh hx xis sD D，),2,1(niL=，并作和并作和 iiniifs sh hx xD D=),(1，第5页/共45页积积分分区区域域积积分分和和被被积积函函数数积积分分变变量量被被积积表表达达式式面面积积元元素素第6页/共45页对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当
3、被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值第7页/共45页 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D D则面积元素为第8页/共45页三重积分三重积分第9页/共45页性质性质当当 为常数时为常数时，性质性质（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质第10页/共45页性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质 若若 为为D的面积，的面积，性质性质 若在若在D上上特殊地特殊地则有则有第11页/共45页性质性质性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）第12页/共45页
4、重积分的对称性重积分的对称性第13页/共45页重积分的对称性第14页/共45页重积分的对称性第15页/共45页重积分的对称性第16页/共45页重积分的几何意义重积分的性质重积分的对称性四、重积分的计算、比较和估计四、重积分的计算、比较和估计依据：第17页/共45页几何意义计算积分计算积分第18页/共45页区域可加性、对称性第19页/共45页第20页/共45页重积分对称性第21页/共45页重积分对称性第22页/共45页例：比较下列积分的大小:区域 D 的边界为圆周解：比较积分大小比较积分大小第23页/共45页解解 第24页/共45页解：解：第25页/共45页解解 估计积分值估计积分值第26页/共
5、45页解：解：第27页/共45页解：解：第28页/共45页写出积分表达式（定积分的几何意义）写出积分表达式（定积分的几何意义）第29页/共45页二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）五、小结第30页/共45页作业P1111、（3）2、3、（3）4、（2）第31页/共45页解:由它们的积分域范围可知例：比较下列积分值的大小关系:第32页/共45页的大小顺序为()()第33页/共45页第34页/共45页解:原式 =猜想结果为负 但不好估计 舍去此项第35页/共45页解:即:1.96 I 2D第36页/共45页解解第37页/共45页解解第38页/共45页思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.第39页/共45页 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数思考题解答思考题解答第40页/共45页练练 习习 题题第41页/共45页第42页/共45页第43页/共45页练习题答案练习题答案第44页/共45页感谢您的观看！第45页/共45页