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1、第1页/共25页1.二重积分的定义1)引例（考虑曲顶柱体的体积）已知以z=f(x,y)为曲顶，以xoy面上区域D为底，侧面是以D的边界曲线为准线母线平行于z轴的柱面，构成一曲顶柱体，求其体积.xyzoDSolution.第2页/共25页2)二重积分的定义第3页/共25页积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素注意:(1)若二重积分存在,则为一确定数值;(2)若二重积分存在,则取分割为平行坐标轴的直线 网,此时除靠近边界的小区域外均为小矩形,第4页/共25页D D(3)引例中曲顶柱体体积为(5)存在性问题:若f(x,y)在闭区域D上连续,则二重积分存在.第5页/共25页3)几何意义：xy
2、zoaxyzoa第6页/共25页2.二重积分的性质 性质1.性质2.性质3.对区域具有可加性性质4.若 为D的面积，第7页/共25页性质5.特殊地性质6.（二重积分估值不等式）第8页/共25页性质7.（二重积分中值定理）Proof.第9页/共25页几何解释:第10页/共25页Solution.由于被积函数相同,且具有对称性,因此D1,D2的关系反映了I1,I2的关系.第11页/共25页Solution.第12页/共25页第13页/共25页Method1.oxy13如图所示第14页/共25页Method2.第15页/共25页Solution.（积分中值定理）（函数的连续性）第16页/共25页So
3、lution.第17页/共25页Solution.第18页/共25页1.三重积分的定义 1)引例（非均匀分布的立体的质量）oxyzSolution.第19页/共25页2)三重积分的定义第20页/共25页注意:(1)若三重积分存在,则为一确定数值;(2)若三重积分存在,则取分割为平行坐标面的平面 网,此时除靠近边界的小区域外均为小长方体,(3)引例中立体的质量为(5)存在性问题:若f(x,y,z)在闭区域上连续,则三重积分存在.第21页/共25页2.三重积分的性质 性质1.性质2.性质3.对区域具有可加性性质4.第22页/共25页性质5.特殊地性质6.（三重积分估值不等式）第23页/共25页性质7.（三重积分中值定理）The end 第24页/共25页感谢您的欣赏！第25页/共25页