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1、一、曲顶柱体的体积一、曲顶柱体的体积二、二重积分的概念二、二重积分的概念三、二重积分的性质三、二重积分的性质四、二重积分的计算四、二重积分的计算五、二重积分的换元五、二重积分的换元六、曲面的面积六、曲面的面积柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点：平顶特点：平顶.柱体体积柱体体积=？特点：曲顶特点：曲顶.一曲顶柱体的体积一曲顶柱体的体积曲顶柱体曲顶柱体求曲顶柱体体积的方法：求曲顶柱体体积的方法：分割、取近似、分割、取近似、求和、取极限求和、取极限。步骤如下：步骤如下：1.1.分割分割把把R R任意分成任意分成n n个小区域个小区域其中表示其中表示第第k k个小区域，设其面积为个小区域，设其面
2、积为对应的小曲顶柱体体积为对应的小曲顶柱体体积为2.2.取近似取近似在每个小区域在每个小区域 上任取一点上任取一点 ,则则此分法记为此分法记为3.3.求和求和4.4.取极限取极限设设n n个小区域的直径分别为个小区域的直径分别为称是曲顶柱体的体积称是曲顶柱体的体积二、二重积分的概念二、二重积分的概念定义定义设设 是有界闭区域是有界闭区域R R上的有界函数上的有界函数,任意分法任意分法T T将将闭区域闭区域R分成分成n个小闭区域：个小闭区域：设设 表示第表示第k个小闭区域个小闭区域的面积，在每个的面积，在每个 上任取一点上任取一点 作乘积作乘积并作和并作和令令如果当如果当 和式的存在极限，记为和
3、式的存在极限，记为则称此函数在闭区域则称此函数在闭区域R R上上可积可积有有是二元函数在是二元函数在R R的二重积分，记为的二重积分，记为积积分分区区域域积积分分和和被被积积函函数数积积分分变变量量面积微元面积微元曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积大和，小和，振幅的定义大和，小和，振幅的定义设与分别是函数在的设与分别是函数在的上确界与下确界，则上确界与下确界，则小和小和大和大和振幅振幅二重积分存在的充分必要条件二重积分存在的充分必要条件定理定理1 1函数函数在有界闭区域在有界闭区域R R可积可积证明证明已知函数已知函数 在在R R可积，设二可积，设二重积分是重积分是I,I,即即有有或或又已知小和与大
4、和分别是积分和又已知小和与大和分别是积分和在在R R的下确界与上确界的下确界与上确界或或则则设设有有由已知条件，当时，有由已知条件，当时，有设，有设，有由已知由已知对积分和对积分和有有由上面两个不等式，有由上面两个不等式，有可得可得即函数即函数 在有界闭区域在有界闭区域R可积可积定理定理2 2若函数若函数在有界闭区域在有界闭区域R R内内连续，则函数连续，则函数在在R可积。可积。证明证明由连续函数的性质由连续函数的性质,函数函数在在R R一致连续，即一致连续，即有有（表示的面积）（表示的面积）将将R分成分成n个小闭区域个小闭区域函数在必能取函数在必能取到最大值与最小值，到最大值与最小值，即存在
5、两点即存在两点使使与与则则有有函数在函数在R R可积可积定理定理3 3若函数若函数在有界闭区域在有界闭区域R R内内则函数则函数在在R可积。可积。有界，间段点只分布在有限条光滑曲线上有界，间段点只分布在有限条光滑曲线上,二重积分的性质二重积分的性质（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）性质性质 当当 k k 为常数时，为常数时，性质性质 若函数若函数 与与 在在R R都可积，则函数都可积，则函数在在R R也可积，且也可积，且性质性质 对区域具有可加性对区域具有可加性没有公共的内点时没有公共的内点时,有有性质性质 若若 为为R R的面积，的面积，性质性质 若函数与在若函
6、数与在R R上可积，上可积，则有则有特殊地特殊地且对且对性质性质 设设 、分别是分别是 在闭区域在闭区域R R上上（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）的最大值和最小值，的最大值和最小值，为为R R的面积，则的面积，则性质性质 设函数设函数 在有界闭区域在有界闭区域R R上上（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）为为R R的面积，则在的面积，则在R R上至少存在一点上至少存在一点使得使得连续，连续，证明证明 由连续函数的性质，在由连续函数的性质，在R上必存在最大值上必存在最大值与最小值，则存在两点与最小值，则存在两点使得使得有有则则由连续函数的介值性至少存在一点由连续函数的介值性至少存在一点使使即即例例考察定义在上函数考察定义在上函数的可积性的可积性