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1、第第9 9章章 重重 积积 分分问题的提出问题的提出二重积分的概念二重积分的概念二重积分的性质二重积分的性质小结小结 思考题思考题 作业作业double integral9.1 二重积分二重积分的概念与性质的概念与性质第第9 9章章 重重 积积 分分柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点：平顶特点：平顶.柱体体积柱体体积=？特点：曲顶特点：曲顶.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出一、问题的提出步骤如下：步骤如下：用若干个小用若干个小平平顶顶柱体体积之柱体体积之和近似表示和近似表示曲曲顶顶柱体的体积，柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取小区域，并取小区域，曲顶柱体的体
2、积曲顶柱体的体积分割分割求和求和取极限取极限取近似取近似5(1)分割分割相应地此曲顶相应地此曲顶柱体分为柱体分为n个小曲顶柱体个小曲顶柱体.(2)取近似取近似第第i个小曲顶柱体的体积的近似式个小曲顶柱体的体积的近似式(用用 表示第表示第i个子域的面积个子域的面积).将域将域D任意分为任意分为n个子域个子域在每个子域内任取一点在每个子域内任取一点6(3)求和求和 即得曲顶柱体体积的近似值即得曲顶柱体体积的近似值:(4)取极限取极限作作)趋于零趋于零,求求n个小平顶柱体体积之和个小平顶柱体体积之和令令n个子域的直径中的最大值个子域的直径中的最大值(记记上述和式的极限即为上述和式的极限即为曲顶柱体体
3、积曲顶柱体体积求平面薄片的质量求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量分割分割求和求和取极限取极限取近似取近似二、二重积分的概念二、二重积分的概念积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：连续函数一定可积连续函数一定可积11(2)3.二重积分的几何意
4、义二重积分的几何意义(3)(1)的的二重积分就等于二重积分就等于二重积分是二重积分是二重积分是二重积分是而在其而在其他他的部分区域上是负的的部分区域上是负的.这些这些部分区域上的部分区域上的柱体体积的柱体体积的代数和代数和.那那么，么，f(x,y)在在D上上柱体体积的负值柱体体积的负值;柱体体积柱体体积;当当f(x,y)在在D上的若干部分区域上是正的上的若干部分区域上是正的,12例例 设设D为圆域为圆域二重积分二重积分=解解 上述积分等于上述积分等于由由二重积分的几何意义二重积分的几何意义可知可知,是上半球面是上半球面上半球体的体积上半球体的体积:RD它的面密度它的面密度平面薄片平面薄片D的质
5、量的质量即即在薄片在薄片D上的二重积分上的二重积分,二重积分的物理意义？二重积分的物理意义？在直角坐标系下在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网用平行于坐标轴的直线网来划分区域来划分区域D D，故二重积分可写为故二重积分可写为D D D D则面积元素为则面积元素为三、二重积分的性质三、二重积分的性质复习：定积分的性质复习：定积分的性质（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1性质性质2 2性质性质3 3性质性质4 4性质性质5 5性质性质5 5的推论的推论(1)(1)性质性质5 5的推论：的推论：（2）性质性质6 6性质性质7 7（定积分中
6、值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式性质性质2 2当当 为常数时，为常数时，性质性质1 1（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质 若若 为为D的面积，的面积，性质性质 若在若在D上上特殊地特殊地则有则有性质性质性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）解解解解解解解解二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）四
7、、小结四、小结29选择题选择题(A)(B)(C)(D)提示提示:B设设 f(x,y)是有界闭区域是有界闭区域D:上的上的连续函数连续函数,不存在不存在.利用积分中值定理利用积分中值定理.30利用利用积分中值定理积分中值定理,解解即得即得:由函数的连续性知由函数的连续性知,显然显然,其中点其中点是是圆域圆域内的一点内的一点.思考题思考题1 将二重积分定义与定积分定义进行比较将二重积分定义与定积分定义进行比较,被积函数为定义在平面区域上被积函数为定义在平面区域上思考题解答思考题解答相同点相同点定积分与二重积分都表示某个和式的定积分与二重积分都表示某个和式的极限值极限值,且此值只与被积函数及积分区域有关且此值只与被积函数及积分区域有关.不同点不同点 定积分的积分区域为区间定积分的积分区域为区间,被积函数为被积函数为定义在区间上的一元函数定义在区间上的一元函数,而二重积分的积分而二重积分的积分区域为平面区域区域为平面区域,的二元函数的二元函数.找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处.思考题思考题2二重积分二重积分的几何意义是以的几何意义是以为曲顶为曲顶,D为底的曲顶柱体体积为底的曲顶柱体体积.(是非题是非题)非非.作业作业习题习题9.19.1(375(375页页)