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1、一、以一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展为周期的函数的傅里叶展开开周期为周期为 2l 函数函数 f(x)周期为周期为 2 函数函数 F(z)变量代换变量代换将将F(z)作傅氏展开作傅氏展开 f(x)的傅氏展开式的傅氏展开式第1页/共25页设周期为设周期为2l 的周期函数的周期函数 f(x)满足收敛定理条件满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为则它的傅里叶展开式为(在在 f(x)的连续点处的连续点处)其中其中定理定理.第2页/共25页证明证明:令令,则则令令则则所以所以且它满足收敛且它满足收敛定理定理条件条件,将它展成傅里叶级数将它展成傅里叶级数:(在在 F(z)的连续点处的连续点处)变成变成
2、是以是以 2 为周期的周期函数为周期的周期函数,第3页/共25页其中其中令令(在在 f(x)的的 连续点处连续点处)证毕证毕 第4页/共25页说明说明:其中其中(在在 f(x)的连续点处的连续点处)如果如果 f(x)为为偶函数偶函数,则有则有(在在 f(x)的连续点处的连续点处)其中其中注注:无论哪种情况无论哪种情况,在在 f(x)的间断点的间断点 x 处处,傅里叶级数傅里叶级数收敛于收敛于如果如果 f(x)为为奇函数奇函数,则有则有 第5页/共25页例例2.把把展开成展开成(1)正弦级数正弦级数;(2)余弦级数余弦级数.解解:(1)将将 f(x)作作奇奇周期延拓周期延拓,则有则有在在 x=2
3、 k 处级处级数收敛于何值数收敛于何值?第6页/共25页(2)将将 作作偶偶周期延拓周期延拓,则有则有第7页/共25页说明说明:此式对此式对也成立也成立,由此还可导出由此还可导出据此有据此有第8页/共25页当函数定义在当函数定义在任意有限区间任意有限区间上上时时,方法方法1令令即即在在上展成傅里叶级数上展成傅里叶级数周期延拓周期延拓将将在在代入展开式代入展开式上的傅里叶级数上的傅里叶级数 其傅里叶展开方法其傅里叶展开方法:第9页/共25页方法方法2令令在在上展成上展成正弦正弦或或余弦余弦级数级数奇奇或或偶偶式周期延拓式周期延拓将将 代入展开式代入展开式在在即即上的上的正弦正弦或或余弦余弦级数级
4、数 第10页/共25页例例3.将函数将函数展成傅里叶级数展成傅里叶级数.解解:令令设设将将F(z)延拓成周期为延拓成周期为 10 的周期函数的周期函数,理理条件条件.由于由于F(z)是奇函数是奇函数,故故则它满足收敛定则它满足收敛定第11页/共25页利用利用欧拉公式欧拉公式二、傅里叶级数的复数形二、傅里叶级数的复数形式式设设 f(x)是周期为是周期为 2 l 的周期函数的周期函数,则则第12页/共25页注意到注意到同理同理第13页/共25页傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的复数形式:因此得因此得第14页/共25页式式的傅里叶级数的傅里叶级数.例例4.把宽为把宽为 ,高为高为 h,周期为周期为 T
5、 的矩形波展成的矩形波展成复数形复数形解解:在一个周期在一个周期它的复数形式的傅里叶系数为它的复数形式的傅里叶系数为内矩形波的函数表达式为内矩形波的函数表达式为第15页/共25页第16页/共25页为为正弦正弦 级数级数.内容小结内容小结1.周期为周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式的函数的傅里叶级数展开公式(x 间断点间断点)其中其中当当f(x)为为奇奇 函数时函数时,(偶偶)(余弦余弦)2.在在任意有限区间任意有限区间上函数的傅里叶展开法上函数的傅里叶展开法变换变换延拓延拓3.傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的复数形式利用利用欧拉公式欧拉公式导出导出第17页/共25页思考与练思考与练习习1.
6、将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形图形?答答:易看出奇偶性及间断点易看出奇偶性及间断点,2.计算傅里叶系数时哪些系数要单独算计算傅里叶系数时哪些系数要单独算?答答:用系数公式计算用系数公式计算如分母中出现因子如分母中出现因子nk从而便于计算系数和写出从而便于计算系数和写出收敛域收敛域.必须单独计算必须单独计算.第18页/共25页备用题备用题期的傅立叶级数期的傅立叶级数,并由此求级数并由此求级数(91 考研考研)解解:为偶函数为偶函数,因因 f(x)偶延拓后在偶延拓后在展开成以展开成以2为周为周的和的和.故得故得 第19页/共25页得得故故第20页/共25页第21页/共25页第22页/共25页第23页/共25页第24页/共25页感谢您的观看！第25页/共25页