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1、一、以一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展为周期的函数的傅里叶展开开周期为 2l 函数 f(x)周期为 2 函数 F(z)变量代换将F(z)作傅氏展开 f(x)的傅氏展开式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共33页设周期为2l 的周期函数 f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里里叶展开式为(在 f(x)的连续点处)其中定理定理.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共33页则有则有则有则有第3页/共33页证明证明:令令,则令则所以且它满足收敛定理条件,将它展成傅里里叶级数:(在 F(z)的连续点处)变成是以 2 为周期的周期函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共33
2、页其中令(在 f(x)的 连续点处)证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共33页说明说明:其中(在 f(x)的连续点处)如果 f(x)为偶函数,则有(在 f(x)的连续点处)其中注注:无论哪种情况,在 f(x)的间断点 x 处,傅里里叶级数收敛于如果 f(x)为奇函数,则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共33页例例1.把周期为把周期为4函数，一个周期表示为函数，一个周期表示为展开成 傅里叶级数;.解解:在 x=2 k 处级数收敛于何值?机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共33页二、非周期函数的展开二、非周期函数的展开1 1。周期延拓的情形周期延拓的情形
3、设函数 f(t)在-l,l )上满足Dirichlet 条件为了将其展开为Fourier 级数，需要将 f(t)在-l,l )以外进行周期性延拓，也就是作一个周期为 2 l 的函数 F(t)使得F(t)在-l,l )上与f(t)恒等，将F(t)展开成Fourier 级数第8页/共33页而在 -l,l )的连续点处，有 若 t 0 是 -l,l )内的间断点，则在该点处，级数收敛于第9页/共33页2 2。非周期函数的周期性延拓 如果函数 f(t)只是定义在 0,l 上，且在 0,l 上满足Dirichlet 条件，需要展开成 Fourier 级数，就要先在 -l,0）上 补充 定义，或者说构造一
4、个新函数 F(t)使得在区间 0,l 上有F(t)=f(t)然后按照周期延拓的方法将F(t)展开成 Fourier 级数，当限制自变量在 0,l 上时，就得到 f(t)的Fourier 展开式一般而言，奇延拓的收敛域不包括端点 偶延拓的收敛域包括端点第10页/共33页例例2.把把展开成傅里叶级数;.解解:将 f(x)作周期延拓,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共33页例例3.把把展开成(1)正弦级数;(2)余弦级数.解解:(1)将 f(x)作奇周期延拓,则有在 x=2 k 处级数收敛于何值?第12页/共33页(2)将将 作偶周期延拓,则有第13页/共33页 作周期延拓,则有机
5、动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共33页说明说明:此式对也成立,由此还可导出据此有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共33页例例2.交流电压交流电压经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的解解:这个半波整流函数,它在傅里里叶级数.上的表达式为的周期是机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共33页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共33页n 1 时机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共33页由于半波整流函数 f(t)直流部分说明说明:交流部分由收收敛定理可得2 k 次谐波的振幅为 k 越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f(
6、x)了.上述级数可分解为直流部分与交流部分的和.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共33页当函数定义在当函数定义在任意有限区间任意有限区间上上时时,方法方法1令即在上展成傅里里叶级数周期延拓将在代入展开式上的傅里里叶级数 其傅里里叶展开方法:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共33页方法方法2令在上展成正弦或余弦级数奇或偶式周期延拓将 代入展开式在即上的正弦或余弦级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共33页例例3.将函数将函数展成傅里里叶级数.解解:令设将F(z)延拓成周期为 10 的周期函数,理条件.由于F(z)是奇函数,故则它满足收敛定机动 目录 上
7、页 下页 返回 结束 第22页/共33页利用欧拉公式欧拉公式二、傅里叶级数的复数形二、傅里叶级数的复数形式式设 f(x)是周期为 2 l 的周期函数,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共33页注意到同理机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共33页傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的复数形式:因此得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共33页式的傅里里叶级数.例例4.把宽为把宽为 ,高为高为 h,周期为周期为 T 的矩形波展成的矩形波展成复数形复数形解解:在一个周期它的复数形式的傅里里叶系数为内矩形波的函数表达式为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共33
8、页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共33页为正弦 级数.内容小结内容小结1.周期为2l 的函数的傅里里叶级数展开公式(x 间断点)其中当f(x)为奇 函数时,(偶)(余弦)2.在任意有限区间上函数的傅里里叶展开法变换延拓3.傅里里叶级数的复数形式利用欧拉公式导出机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共33页思考与练思考与练习习1.将函数展开为傅里里叶级数时为什么最好先画出其图形?答答:易看出奇偶性及间断点,2.计算傅里里叶系数时哪些系数要单独算?答答:用系数公式计算如分母中出现因子nk作业作业:P256 1(1),(3);2(2);3 从而便于计算系数和写出收敛域.必须单独计算.习题课 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共33页备用题备用题期的傅立叶级数,并由此求级数(91 考研)解解:为偶函数,因 f(x)偶延拓后在展开成以2为周的和.故得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共33页得故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共33页作业作业:P256 1(3);2(2)习题课 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共33页感谢您的观看！第33页/共33页