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1、第八节第八节一般周期的函数的傅里叶级数一般周期的函数的傅里叶级数 以以2 l 为周期的函数的为周期的函数的傅里叶展开傅里叶展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二章 一、以一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开为周期的函数的傅里叶展开周期为周期为 2l 函数函数 f(x)周期为周期为 2 函数函数 F(z)变量代换变量代换将将F(z)作傅氏展开作傅氏展开 f(x)的傅氏展开式的傅氏展开式机动 目录 上页 下页 返回 结束 设周期为设周期为2l 的周期函数的周期函数 f(x)满足收敛定理条件满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为则它的傅里叶展开式为(在在 f(x)的连续点处的连续点处)其
2、中其中定理定理.机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明:令令,则则令令则所以所以且它满足收敛且它满足收敛定理定理条件条件,将它展成傅里叶级数将它展成傅里叶级数:(在在 F(z)的连续点处的连续点处)变成变成是以是以 2 为周期的周期函数为周期的周期函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中令机动 目录 上页 下页 返回 结束(在在 f(x)的的 连续点处连续点处)证毕证毕(在在 F(z)的连续点处的连续点处)机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:其中其中(在在 f(x)的连续点处的连续点处)如果如果 f(x)为为偶函数偶函数,则有则有(在在 f(x)的连续点处的连续点处)其中
3、其中如果如果 f(x)为为奇函数奇函数,则有则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注:无论哪种情况无论哪种情况,在在 f(x)的间断点的间断点 x 处处,收敛于收敛于傅里叶级数傅里叶级数例例1.把把展开成展开成(1)正弦级数正弦级数;(2)余弦级数余弦级数.解解:(1)将将 f(x)作作奇奇周期延拓周期延拓,则则有有在 x=2 k 处级数收敛于何值?机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)将将 作作偶偶周期延拓周期延拓,则有则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:此式对也成立,由此还可导出由此还可导出据此有据此有机动 目录 上页 下页 返回
4、结束 当函数定义在当函数定义在任意有限区间任意有限区间上时上时,令令即即在在上展成傅里叶级数上展成傅里叶级数周期延拓周期延拓将将在在代入展开式代入展开式上的傅里叶级数上的傅里叶级数 其傅里叶展开方法其傅里叶展开方法:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.将函数将函数 展成傅里叶级数展成傅里叶级数.解解:令令设设将将F(z)延拓成周期为延拓成周期为 10 的周期函数的周期函数,理条件理条件.由于由于F(z)是奇函数是奇函数,故故则它满足收敛定则它满足收敛定机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为正弦为正弦 级数级数.内容小结内容小结1.周期为周期为2l 的
5、函数的傅里叶级数展开公式的函数的傅里叶级数展开公式(x 间断点间断点)其中其中当当f(x)为奇为奇 函数时函数时,(偶偶)(余弦余弦)2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换变换延拓延拓机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形图形?答答:易看出奇偶性及间断点易看出奇偶性及间断点,2.计算傅里叶系数时哪些系数要单独算计算傅里叶系数时哪些系数要单独算?答答:用系数公式计算用系数公式计算如分母中出现因子如分母中出现因子nk从而便于计算系数和写出从而便于计算系数和写出收敛域收敛域.必须单独计算必须单独计算.习题课 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题期的傅立叶级数,并由此求级数(91 考研)解解:为偶函数,因 f(x)偶延拓后在展开成以2为周的和.故得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 得故机动 目录 上页 下页 返回 结束