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1、2024年高考圆锥曲线复习题1 .在平面直角坐标系xOy中，过工轴上一点P作两条直线4i8i,加历，其中4, Bi,加， 及均在抛物线：/=上.已知4所4小分别经过x轴上的点5, T,试比较扇后与 |OPp的大小，并说明理由.【分析】设。（A0, 0）, A|（XI, yi）, 8|（X2, ”），A2（X3, 33） B2（X4, 54）.设直线 方程人i4i： x=&i）+ro, A282： x=Q），+ao,联立A向与的方程，根据韦达定理，有 = -xo.同理可得户户=-犹.然后求解5,利用向量的数量积求解推出结果即可.【解答】解：设尸（X0，0）, Al （XI, yi）, B （,V
2、2 _V2）, Al（X3，”），Bl（X4, J4）.设直线方程 AiB” x=ky+xn, A2B2： x=k2y+xo,其中内，上为任意实数.联立A161与的方程，得y2 - ky - xo=O,根据韦达定理，有产”=-/0.同理可得”*=-即.因此有直线方程4及：、=驿?（“一右）十九代入y=0,得S（4；二;,4 , 0）.同理可得S（气|笠右，0）.=2y3y4于是 法 小二“4为一打力 欠3丫2T2y3二肾一光为 谚丫2一丫分3 Jyi-y4 力一力 打一、4及 一 丫3op即笈.b= 0P2.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考杳转化思想以及计算能力，是中 档题./
3、y2.如图，在平面直角坐标系X。,，中，设点M（JVO, yo）是椭圆C： 7+ -7=1上一点，从 164原点。向圆M：（X - X0）2+ （y -川）2= J作两条切线，分别与椭圆。交于点P, Q,宜 线OP, OQ的斜率分别记为内,k2.（1）若圆M与X轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；（2）若=#,求证：kk2= -7：0T*（3）在（2）的情况下求|OP|OQ|的最大值.【分析】(1)求出椭圆C的右焦点是(2/3, 0),将X=-2遮，代入椭圆方程，求出y =1,可得圆的圆心，进而可得圆M的方程；(2)因为直线OP： y=kx, 0()： y=kix,与圆M相切，推出内，的是方
4、程(1+3)/-(2xo+2)x+xo2+x)2-i=O的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系推出kh 结 合点M (期，和)在椭圆。上，得出&次2=-上；(3)分直线OP, 0。不落在坐标轴上和直线OP, 0。落在坐标轴上时两种情况，推出 (W+OQ2=20,即可求出|OP|QQ|的最大值./ y2【解答】(1)解：椭圆C的右焦点是(2V3, 0),将x=2g,代入= + -=1,可得,， 164=1,所以 M (2V3, 1)所以圆M的方程为(x-2V3) 2+ (yi) 2=1.(2)证明“因为直线OP： y=kx,。： y=kix,与圆R相切，所以直线。尸：)=丘丫与圆M： (x -
5、 xo)2+(y - jo)2所以直线。尸：)=丘丫与圆M： (x - xo)2+(y - jo)24 一5可得(1+收2)7(2.W+2内yo)O = 4-5 - 2W 2+同理(1+小)*-(Zw+zmvo) xW+w2-e=0由判别式为0，可得内，上是方程(A02-) F - 2A切很+4一/=0的两个不相等的实数根，所以 kk2= /2飞Y 2因为点M (刈，V0)在椭圆C上，所以和2=1 一1所以 kki= 一,.（3）解：当直线OP, OQ不落在坐标轴上时，设P （xi, y）, Q （应，”），因为4秘2+1 =0,所以yi2y22=卷3/,因为户（川，yi）, QG2, ”）在
6、椭圆。上，所以），|2”2= 乎）（4 一军）=七内2通2, 整理得加2+2=16,所以 yi2+”2=4所以 OP2+（）Q2=20.当直线OP, OQ落在坐标轴上时，显然有OPodnZO,综上：0户+0。2=20所以|。川|。区2 （。a+。2） =10,所以|OP|OQ的最大值为10.【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，直线与圆相切关系的应用，考查转化思想与 运算求解能力，属于难题.42 y23.已知抛物线C：/=2px （0）的焦点?和椭圆了 +5= 1的右焦点重合.（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（2）设P（l, 2）,是否存在平行于OP（O为坐标原点）的直线/,使得直线/
7、与抛物线 。有公共点，且直线与/的距离等于恪？若存在，求出直线的方程；若不存在，说 明理由.【分析】（1）由椭圆的右焦点F （I, 0）,知=1, p = 2,由此能求出抛物线C的方 程和其准线方程.（2）假设存在符合题意的直线/,其方程为Zr+4由小/ - 2y+2b=0,由 直线/与抛物线有公共点，知4=4-8心0,由直线。与/的距离公增，知6=1.由 此能导出符合题意的直线/存在，其方程为y=2x-l.【解答】解：（1）:椭圆的右焦点”（1, 0）,，抛物线C的方程为)2=4%,其准线方程为x=-l.(2)假设存在符合题意的直线/,其方程为y=2b,二*,得/， 直线/与抛物线有公共点，
8、 =4-8。20, HP b0)与轨迹卬相交于A, B两点，线段的中点为E,射 线交轨迹W于点G,交直线x=-3于点D 证明：|OG|2=|OQ|O|.【分析】(1)根据题意，利用两点之间的距离公式即可求得动点。的轨迹卬的标准方程；(2)将宜线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得E点坐标，求得直线 。七的方程，联立方程组，求得。和G点坐标，由羽=加弱，即可证明QG|2=|OD|OE1.【解答】解：(1)设尸(X，,) Q(XQ,竽)由题知：10Pl2 + 10Q二1，1 1所以一； + 3 = 1，x2+y2 场+慨又因为 OP_LOQ,所以%为q-挈=0, yQ =(xO)11%
9、2所以得西万+亚荤=L整理得了+ y? = 1,2Xz+2x2所以轨迹W的方程为：+ y2 = 1 (xWO)；(2)证明：由题意：设 A (xi, y), B (x2, y2), AB 的中点为 E (xo, yo), 0(-3, /n)(y = k(x + 1)由/,整理得：(1+3炉)/+6炉x+39-3=0,鸟+y.由韦达定理得:6k2 的卜 3k2X+X2=7，丹T 以 Xo =7,l+3r1+3/y0 = kx0 + k =k1+3必即点E(3k2l+3/c2 l+3/c因为喙=-能，所以射线0氏y = _余( Xy = 3ki唯+3配=康， 3,由y _ 得为)=/，即0(3, 又因为如以=含1 =上，所以嵬=如即|OG|2=|OD|OE.【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及中点坐标 公式，考查计算能力，属于中档题.