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1、2024年高考圆锥曲线复习题%? y 2叵1 .已知椭圆C： + = (6/?0)的离心率e= 一,直线x+V5y - 1 =0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为(1)求椭圆。的方程;(2)过点M (4, 0)的直线/交椭圆于4 B两个不同的点，且入=愕:喘,求入的取值范围.【分析】(1)求得原点到直线工+遥)，-1=0的距离，运用弦长公式可得儿 再由椭圆的离心率公式可得，进而得到所求椭圆方程;(2)讨论直线A3的斜率为0,求得M4|, MB,可得入；当直线/的斜率不为。时，设直线/： x=my+4, A (xi, yi), B(X2, y2),代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式,化简整
2、理，结合不等式的性质，即可得到所求范围.解：(1)原点到直线By 7=0的距离为仁患日,1所以(一)2+ (一) 2=b2 (/?0),解得 b=l, 22又7=%=1-5 =1得。=2,%2所以椭圆C的方程为丁 +y%2所以椭圆C的方程为丁 +y2=1;(2)当直线/的斜率为0时，直线/： y=0即x轴,(2)当直线/的斜率为0时，直线/： y=0即x轴,MAMB = S, MAMB=n,则入=微声霜82123当直线/的斜率不为。时，设直线/： xmy+4, A (xi, yi), B (必2),(x = my + 4 彳+y2 = i(x = my + 4 彳+y2 = i得(m2+4)2
3、+8my+12=0,由 = 64/n2 - 48 (m2+4)0,得小12,所以yi+”=-8m12m2+4， 2 m2+40,显然yi, ”同号,/.|AM|+|MB|= Vl+m2 (|yi|+|”|) = Vl+m2|8mm2+4I，MA9MB= Vl+m2*|i|*Vl+m2e|y2|= (1+：),4+m故入=将魁m2+4|2m| _ 23jm2+l 1 m2+l，12, Al一一1一一 mz+l 13 mz+l12_4V39U13 13 kA ( -4, 0), M是抛物线上一动点，设直线CM, DM与抛物线的另一个交点分别是E, F.(1)求抛物线的方程；(2)求证：当M点在抛物
4、线上变动时(只要点、尸存在且不重合)，直线所 恒过一 个定点；并求出这个定点的坐标.【分析】(1)将直线A3的方程与抛物线的方程联立求出两根之和及两根之积，由04与 垂直可得数量积为0,可得p的值，进而求出抛物线的方程；(2)设M, E,歹的坐标，由C, M, E三点共线可得E M的坐标的关系，同理可得八 M的坐标关系，进而求出直线七b的方程，将E尸的坐标代入即可得到直线尸恒过的 定点的坐标.解：(1)设 A (xi, yi), B (x2, ”)，联立整理可得：y-20-4=0,所以可得 yi+”=2p,- 4p,进而可得 xix2=yiy2+2 (yi+y2)+4= - 4p+2X2p+4
5、=4, 由 OAJ_OB,可得：。408=0,即 4 - 4p=0,可得 p=l,所以抛物线的方程为：y=2七(2)证明：设 M (呼，yo), E (呼，ji), F (呼，”),由C, M, 三点共线可得,由C, M, 三点共线可得,_ yp2yi2 yo2 - yo2 42222yi+yo2(y2)y02-8 整理可得：yoy=2 (yo+yi) - 8,所以v=与啰， Vo乙同理可得。，M,尸三点共线，”=言， 为所以直线的方程：y - y=(x-xi)= ”(x-xi), _匕yi+及整理可得：yy2=y (yi+”)- 2%,将yi, ”的值代入直线方程可得：(2x-2y) yo2+4 (4-x) +8 (2y-8) =0,x - y = 04 -% = 0 解得：x=y=4, 2y 8 = 0所以直线石方过定点（4, 4）.【点评】本题考查求抛物线的方程直线与抛物线的综合，和直线恒过定点的证明方法,属于中档题.