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1、2024年高考圆锥曲线复习题%2 y21.已知双曲线C： -77 = 1（670, /?0）的一个焦点坐标为（3, 0）,其中一条渐近 线的倾斜角的正切值为2vL O为坐标原点.（1）求双曲线C的方程；（2）直线/与x轴正半轴相交于一点D,与双曲线。右支相切（切点不为右顶点），且/ 分别交双曲线C的两条渐近线于M, N两点，证明：MON的面积为定值，并求出该定 值.【分析】（1）由双曲线C的一个焦点坐标为（3, 0）,其中条渐近线的倾斜角的正切值 为2或，求解a, 得到双曲线方程.（2）由于直线/与双曲线C右支相切（切点不为右顶点）则直线/的斜率在不为0.设 直线/的方程为尸木+小a w 2v
2、L机#0）,联立直线与椭圆方程，利用判别式为0,求 出 8 - !?= - m2.求出 |OD| = I - I 通过 Smon= Smod+Sdon= 1 ODyM -）忖=| - 令|k|xM-如l，求解M，N的横坐标，化简求解三角形的面积即可（I）解：由双曲线C的一个焦点坐标为（3,0,其中一条渐近线的倾斜角的正切值为2日，P = 3得：=2或,解得则双曲线C的方程为2一*=1.M + /j2 = C2（2）证明：由于直线/与双曲线C右支相切（切点不为右顶点）则直线/的斜率在不为0.设直线/的方程为），=如+加（kH2企,阳W0）, y = kx m联立,v2 ,消去，得，（8-jt2）
3、 ? - 2u- w2 - 8=0.卜-卷=1由直线与双曲线右支相切得，=4斤尸-4 （8-） （ -/2-8） =0,即8 - F=-机2. 由于直线/与x轴正半轴交于一点。，令）=0,代入直线方程得“一半，即|OD| = |-勤. 所以 Smon=SaMod+Sdon= I ODyM -）w|= I 美 I 1刈 |%“一如|，双曲线两条渐近线方程为y = 2V2x,联立? 二,所以时份先，箸今），（y =依 + m242k 2j2k联立y =所以n（湍，疑），iy = kx + m2J2+/c2J2+ku. ni . . . . m , m .1 . . 4/2m.2/Zm2._ rx故
4、MON的面积为定值2&.【点评】本题考查双曲线方程的求法，直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查方程 思想的应用，是中档题.2.已知椭圆。，抛物线C2的焦点均在x轴上，。的中心和C2的顶点均为坐标原点。，从 每条曲线上各取两个点，其坐标分别是(1, 一字)，(2, -4), (-3, 0), (4, 4V2).(I )求Ci, C2的标准方程；(II)是否存在直线/满足条件：过C2的焦点F；与Ci交于不同的两点M, N且满 足而J_放？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.【分析】(I )设抛物线的方程为32=2px (pWO),由点(2, -4), (4, 472)在抛物线 上，可
5、得”，进而得到抛物线的方程；设椭圆。：三+4=1将(1, -呼),(-3, 0)代入，解方程可得a, b,可得椭圆方程；(II)分别讨论直线/的斜率不存在，验证不成立；设直线/的方程为)，=4(x-2),与 椭圆方程/+9=9联立，运用韦达定理，结合向量垂直时，向量数量枳的坐标表示，解 方程可得斜率火，进而得到直线的方程.解：(I )设抛物线的方程为=2px (pWO),y2所以t =2p,可以验证点(2, -4), (4, 4V2)在抛物线上，所以抛物线的方程为C2： )2=8%.%2 y 2设椭圆。：+ =1 (ab0), a2 b2将(1, ( - 3, 0)代入可得 /=9, 4-=1
6、,解得 a=3, 6=1,x2所以Ci的方程为一+2=1：9(II ) C2的焦点为尸(2, 0),当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为k=2,由椭圆的对称性可得直线/交椭圆Ci于点M(2, y), N (2, 一空)，因为OMON HO,不满足题意;当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=A （x-2）,与椭圆方程/+9=9联立，可得（1+9斤），-36炉工+36斤-9=0,设 M （xi, y）, N（X2, *）,36后一 9l+9/c23 6 Zc 2 9= M（XI -2）（X2 - 2） =1?（X1X2+4 - X - X2）=F（- +47）=7,1+9M1+9 必1+9
7、必由可得。京加=0,b殂 136必一95必J得 X1X2+），1J2=57 =0,1+9/1+9/解得A=士与?.313/31所以存在直线/满足条件，且/的方程为（x-2）.O X【点评】本题考查椭圆和抛物线的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题.3.已知抛物线）2 = 2px（0VV4）的焦点为F,点P在抛物线上，点P的纵坐标为6,且|PF| = 10.（1）求抛物线的标准方程：（2）若A, 6为抛物线上的两个动点（异于。点）且AP_LA3,求点8纵坐标的取值范 围.【分析】（1）将尸的纵坐标代入抛物线的方程可得P的横坐标的值，再由抛物线上的点 到焦点的距
8、离等于到准线的距离的性质，再由的范围求出的值，进而求出抛物线的 方程；（2）设A, B的坐标，由AP, A8垂直可得两条直线斜率的关系，求出直线力的斜率， 设直线AB的方程，与抛物线联立由判别式大于等于0可得8的纵坐标的取值范围. 解：（1）抛物线准线方程为：文=一号将。纵坐标代入抛物线的方程可得：62=2*,所以x=费，由抛物线的性质,10=萼+4p0,解得：=18或=2,因为。4,所以抛物线的标准方程为：/ = 4x；（2）由（1）可得尸（9, 6）,设 4 (9, )，B *),A8所在的直线方程：），=一竽（一9），整理可得：（），+）（+6） +16=0,联立修 It,1n * 6 * 16 一 ,整理可得2+ ()，+6) +6刈6=0, = ()，+6) 2-4 (6y+16) 20,解得 y214 或)W-2.当），=-2时，方程有两个相等实根，不符合题意,所以），214 或 yV - 2,所以点B纵坐标的取值范围比，214或yV-2.【点评】本题考查求抛物线的方程及直线与抛物线的综合，属于中档题.