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1、2024年高考圆锥曲线复习题I.已知动点M与两个定点O（0, 0）, 4 （3, 0）的距离的比为动点M的轨迹为曲线C.（I）求C的轨迹方程，并说明其形状；（2）过直线x=3上的动点P （3, p） （pWO）分别作C的两条切线PQ、PR （Q、R为 切点），N为弦QR的中点，直线/： 3x+4.y=6分别与x轴、），轴交于点乐F,求ANEF 的面积S的取值范围.【分析】（1）设出点M的坐标，利用直接法建立关系式，化简即可求解；（2）写出以。户为直径的圆的方程，然后利用Q, A是两个圆的交点得到QK所在直线方程，联立直线QR与圆C的方程，利用韦达定理求出点N的纵坐标，从而得出点N在以。为直径的
2、圆上，求出该圆的圆心以及半径，利用点，直线与圆的位置关系即可求解.解：（1）设”,y）,由翳得VX27(X-3)2+y2化简的/+)2+2_ - 3=0,即(x+1) 2+/=4,故C是以（-1,0）为圆心，半径为2的圆;（2）以线段。P为直径的圆的方程为（X+1） （x-3） + （厂0） （），-）=0,整理可得- 2x - py - 3=0又Q, R在以。尸为直径的圆上，且Q, R在C：/+），2+-3=0-得：4x+py=0,所以，切点弦QR所在直线的方程为4x+py=0,可见QR恒过原点0 （0, 0）,联立方程片:消去x整理可得：（16+/），2*）,- 48=0,设。（xi，户）
3、，R（X2，*），则 y 1 + y2 = TTT_2t lb+p点N的纵坐标y n = ,12及=16+pf因为W0，显然加工0,所以点N与点。（-1, 0）, O （0, 0）均不重合，因为N为弦QR的中点，且。（-I, 0）为C的圆心，由圆的性质可得DN1QR,即DNL ON,11所以点N在以。为直径的圆上，圆心为。（一矛0）,半径为r=2，3因为直线3x+4y=6分别与x轴，），轴交于点E, F,所以E（2, 0）, F （0,-）,因此|EF|二5r圆心 G （2, 0）到直线 3x+4y=6 的距离 d=_ ,，一j32+42-设ANEF的边EQ上的高为/;,则点N到直线3x+4y
4、=6的距离h的最小值为d - r= | -1 = 1,点N到直线3x+4尸6的距离h的最大值为d+?= 1 + y=2, 乙 乙所以 5 的最小值为 Smin= i X X 1 = T S max = i X X 2 二羡， 乙 乙1乙 乙乙55所以三角形NE/的面积S的取值范围为匚， 42【点评】本题考查了圆的方程以及直线与圆的位置关系的应用，涉及到点到直线的距离 以及面积的最值问题，考查了学生的运算推理能力，属于难题.x22.已知椭圆C： +.y2= 1的左、右焦点分别为R,产2,过点A（0, 2）的直线/交椭圆C 于不同的两点P、Q.（1）若直线/经过尸2,求乃PQ的周长；（2）若以线段
5、PQ为直径的圆过点尸2,求直线/的方程；（3）若局=高求实数人的取值范围.【分析】（1）利用椭圆的定义求解即可；（2）当直线/的斜率不存在时，直线/： x=0,符合题意；当直线/的斜率存在时，设直 线/：），=履+2,联立方程组，利用韦达定理表示出F；P-F；Q=0,求出火的值即可得到方 程；（3）当直线/的斜率不存在时，求出入的值，当当直线/的斜率存在时，设直线/： y= 心42,求出入=今，然后利用韦达定理求出入的范围即可.xix2解：（1）因为椭圆C： +y2=l,2所以椭圆。的长半轴长为企，由椭圆的定义可得，PFr + PF2 = 2V2, QFi + QF2 = 2V2,所以QPQ的
6、周长为4企：（2）当直线/的斜率不存在时，直线/： a = 0,此时。（0, 1）, P （0, - 1）,又尸2 (I, 0),所以F2P = (-1, -1), F2Q = (-1, 1),所以尸；尸产b = 0符合题意；当直线/的斜率存在时，设直线/： y=kx+2,设 P (xi, yi), Q(X2, ,2),x2联立直线与0 + y2 = l,则有(1+2F)+8履+6=0, y = kx + 2所以与+2 = 一热、62二备=64d-4 (1+2必)X60,解得因为F2P =(必一1, %), F2Q = (x2 - 1/ y2)F2P - F2Q = (xi - 1)(%2 1
7、) + 力均=(幻-1)(a-2 - 1) + (履 1+2) (kxi+2) =0,所以(9+l) XIX2+(2k- 1 )(A1+A2)+5 = 0,故(e + 1)L+(2k-l)(-J)+ 5 = 0,解得k 二 一詈， 1+2/c1+2/c故直线/的方程为llx+8.y- 16=0,综上所述，直线/的方程为x=0或lLv+8y- 16=0；(3)当直线/的斜率不存在时,直线/： x=0,若 Q(0, 1), P(0, 7),则R = (0, - 1), AP = (0, 一 3),所以花=前，此时a 11 = 3:若 Q(0, - 1), P (0, 1),则花=(0, - 3),
8、 6 = (0, - 1),所以届=3/，此时入=3；当直线/的斜率存在时，设直线/：尸行+2,设 P （xi, yi）, Q（X2, *）,又 4 (0, 2),所以前=(与，yi-2), AQ = (x2, y2-2),因为法=.所啮生/一2），故券由（1 ）可知，%1 + X2 =由（1 ）可知，%1 + X2 =8A1+27X1X2所展3X1X2则辽+ 2 + =42l+2k232k2 at i io元万可即入+ 学一163（1+2必）12,一316、3（l+2k2） ,2, 1 . 10 77T4ri210 , ,25 . 16 日n 4 -5 .4由入+工、手，可得M亍4+ -_,
9、 即-gVg,1所以一A3, 3综上所述，实数人的取值范围为日，1)U(L 3.【点评】本题考查了椭圆定义的应用，直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题.3.如图，已知抛物线 C：)?=4犬的焦点为 R A (xi, ji), B(X2, ”)，P (.r3 y3), Q(%4产)四点都在抛物线上，直线AP与直线6Q相交于点P,且直线A3过定点七(0, - 1).求yy3和y2y4的值;*为定值;(2)证明:【分析】(1)设直线AP： %=切+1,联立抛物线)?=4x,结合韦达定理可得.
10、yi*和”以的值.（2）证明详情见解答.直线PQ的斜率为好。=辨卷=彦玲=谭五，由（1），即可得出答案.解：（1）因为焦点尸（1, 0）,设直线4P的方程为.1=小）41,联立抛物线的方程，得丁 - 4少-4=0,所以V3= - 4,同理 y2y4= - 4.（2）证明：因为直线A4过定点E （0, - 1）,所以设直线人8的方程为y=M- 1,代入抛物线的方程，得62.4），-4=0,一44所以尸+户=/yyi=1 . 1 yi+yz所以一+ = ,vi yz y/2直线PQ的斜率为kPQ=1 . 1 yi+yz所以一+ = ,vi yz y/2直线PQ的斜率为kPQ=y3-y4 _43一%4=x+y/由(1)知 yiy3= - 4,)2网=-4,=1.=1.所以kpQ=【点评】本题考查直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.