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1、2024年高考圆锥曲线复习题1.已知曲线。上的点都在），轴及其右侧，且。上的任一点P到 -轴的距离比它到圆F：.r+/ -2a+=0的圆心的距离小1.（I）求曲线C的方程；（2）过点厂分别作直线“，/2,其中直线八交曲线。于点A, B,直线/2交曲线。于点 M, N,且直线AM过定点。（0, V2）,求证：直线BN的斜率为定值.【分析】（1）解法I：配方法可得圆尸的标准方程，进而可得圆心尸坐标，设P的坐标 为（4, y）,由C上的任一点P到y轴的距离比它到圆心F的距离小1,可得 V（x-l）2+y2 =x+h化简即可得出结论.解法2：配方可得圆户的标准方程，进而可得圆心为尸坐标，由抛物线的定义
2、可得知， 点P的轨迹为以点产为焦点的抛物线，即可得出答案.（2）设其方程为工=机（），一四），联立抛物线的方程，则由（）,可得机鱼或机V0,设 4 （xi, yi）, M（X2, ”），结合韦达定理可得 yi+y2, yi12 设 B （巴y3）, N ,44产），设直线48方程为x=y+l,联立抛物线的方程，结合韦达定理可得），1*=-4,进 而可得点8的坐标，同理可得点N的坐标，写出直线8N的斜率，即可得出答案.1解：（1）解法1:配方法可得圆尸的方程为（X- 1） 2+7=（二）2,4即圆尸的圆心为尸（1, 0）,设P的坐标为（x, ,）,由已知可得1+*=x+,化简得，曲线。的方程为）
3、2 = 4x.解法2：配方可得圆尸的方程为（x- 1） 2+/= （i） 2,4即圆尸的圆心为尸（I, 0）,由题意可得。上任意一点P到直线x= - I的距离等于该点到圆心产的距离，由抛物线的定义可得知，点尸的轨迹为以点尸（1, 0）为焦点的抛物线，所以曲线。的方程为=4元（2）证明：依题意可知直线AM不与坐标轴垂直，故可设其方程为（y-V2）,代入）？=4x,得 y2 - 49+4 &= 0,其判别式=16/-6企机0,所以机或加V0,设 A （xi, yi）, M（X2, ）2）,贝|J），1+户=4/，yy2=42m,因为点3, N在曲线。匕所以可设其坐标为8 （1, Y3） N （2一
4、，V4）, 44因为直线43过点尸（1, 0）,所以可设其方程为x=y+l,代入得）?4y4=0, A0,4所以），1*=-4,所以），3= 一丁，所以点8的坐标为（5, -力, 712同理可得点N的坐标为（为，所以直线BN的斜率为k= 丁手）=为及1；2）=-举=-需 =_&,为定 丫2 -当 yi+及 4my/ yr值.【点评】本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的相交的问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.2.已知产为抛物线C：）2=2px （p0）的焦点，点A （-, b） （Z?0）在抛物线C上，且 4AF = 3.（1）求以线段A为直径的圆的方程；（2）不过原点O且斜率为1的直
5、线交抛物线C于M, N两点，若P为线段MN的中点， 且|向=|加|,求直线MN的方程.【分析】（1）由依4的值即抛物线的性质可得的值，进而求出抛物线的方程，将A的点 的只能代入抛物线的方程可得h的值，即A的坐标，由抛物线的方程可得焦点厂的坐标， 进而求出AF的中点的坐标，求出以A尸为直径的圆的方程；（2）由题意设直线MN的方程，由题意可得OMJ_ON,可得M, N的坐标的关系，将直 线MN与抛物线的方程联立可得两根之积，再由垂直可得横纵坐标的关系，进而求出参 数的值，即求出直线M/V的方程.解：（1）由题意，及抛物线的性质可得：|AFl=3=g + M解得：=4,所以抛物线的方程为：/=8x：
6、4 由点A在抛物线上，所以庐=8，。0,4可得：人=2企：所以A （1, 2V2）,由抛物线的方程可得焦点/（2, 0）3所以A尸的中点坐标（3, V2）,所以以线段A尸为直径的圆的方程：|）2+（y-V2） 2=（2）因为P是MN的中点，ROP = MP,可得OM_LOM由题意设直线MN的方程为x=y+m,则相n0,设 M（XI, yi）, N（X2，），2），联立联立yQx ，整理可得：）？8V8?=O,则=64+3260,可得：m - 2,且 yi+=8, yiy2= - 8m,（乃为尸 9贝1川.门=nr,64由 OM_L ON,所以 xxi+yy2=0，即?2 - 8M=0,可得加=
7、8或加=0 （舍）,所以直线的方程为：x=y+8,即直线MN的方程：x- 8=0.【点评】本题考杳求抛物线的方程及圆的方程的求法及直线与抛物线的综合，属于中档题.3.己知椭圆G：卷+ =1,椭圆Q：5+ * l（ab0）经过椭圆Ci的左焦点尸和上下顶点4,从 设斜率为太的直线/与椭圆C2相切，且与椭圆Ci交于P, Q两点.（I）求椭圆C2的方程；（2）若OP-OQ = 4,求攵的值;求PQ弦长最大时Z的值.【分析】（1）根据椭圆方程。的性质，求得Q经过（0,显）,（-V6, 0）,即可求得椭 圆方程：（2）分类讨论，当直线斜率存在时，设直线方程，代入椭圆C2方程，由1=（）,求 得相2=3（2
8、9+1）,将直线方程代入。方程，由韦达定理向量的坐标运算，即可求得 的值；由可知，利用弦长公式及基本不等式的性质和成立条件即可求得k的值.解：（1）题意可知C2经过（0, V3）, （-V6, 0）,%2 y2所以椭圆Q的方程丁 + = 1；63（2）当斜率不存在时，直线尸。方程为 =述，或 = -巫，当无二遍，则P（述，1）, Q（J71一 1）,则办花=5,显然不成立，同理当 二 -历， 不成立，当直线PQ的斜率存在，且不为0,设直线 PQ 的方程y=+皿，P （xi, y）, Q（X2, ,2）（y = kx + m联立方程组卜2 y2 _ ,整理得（1+2必）/+4痴x+2/J - 6
9、=0, 1= 16后/-4 （1+2必） IT + T = 1（2m2 - 6） =0,即?2=3 （2乒+1）,y = kx + m联立 x2 y2 ,整理得(1+3) /+6h小+3? -9=0,(y+t = 1则i +x2 = - 6km2, %1%2 = 3m2-；, l+3r1+3/c血2_9k2hy1y2 = k2xxx2 + fcm(x1 + x2) + m2 = 2由4 6q =+ y02 = 4m2-% -9 =% 整理得4/= 29+3，1+3/c联立,解得在=g,的值土等;由可知，|PQ| =+ %2尸 一 4%iX221心”21心”(1+3F)341当且仅当2K=I+F, F=l,即左=1,所以IP。最大时A的值土 I.【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查基本 不等式求最值，考查计算能力，属于中档题.