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1、2024年高考圆锥曲线复习题21.过双曲线/-卷=1的右支上的一点P作一直线/与两渐近线交于4、8两点，其中尸是 的中点.（1）求双曲线的渐近线方程；（2）若尸纵坐标为2时，求直线/的方程；（3）求证：。川|。阴是一个定值.【分析】（1）求出双曲线的。，b,由双曲线的渐近线方程为），=r,即可得到所求；a（2）令），=2代入双曲线的方程可得。的坐标，再由中点坐标公式，设A （?，2?），B（，-2n）,可得A, B的坐标，运用点斜式方程，即可得到所求直线方程；（3）设尸（,）,和），4 （?，2?），B （，- 2/7）,代入双曲线的方程，运用中点坐标公 式，求得加，”，运用两点的距离公式，即
2、可得到定值.【解答】解：（1）双曲线/一。=1的=l, b=2,可得双曲线的渐近线方程为y=4,a即为y= 2x；（2）令y=2可得刈2= + =2,解得刈=遮，（负的舍去），设 A （/b 2in）, B Cn, -2），由P为A8的中点，可得加+=2&，2m - 2/2=4,解得 m= V2 +1, n=V2-1,即有 A（V2+1, 2V2 +2）,可得PA的斜率为k= 翳写 =2四，则直线，的方程为厂2=2a （x-V2）,即为y=2或x - 2为所求；（3）证明：设户（刈，和），即有刈2一军=1,设 A （m, 2m）, B （, -2），由 P 为 A8 的中点，可得 m+n=2x
3、o, 2m - 2=2yo,解得7=刈+ o, n=xo- 9，则|0川+ 4|/川，1 + 4M| = 5向川=5| (圮+习咕)(xo一之冲)I v 2=5|加一*_|=5为定值.【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，同时考查直线方程 的运用，以及中点坐标公式的运用，属于中档题.2.在平面直角坐标系xQv中，C ( - 2, 0), D (2, 0),曲线E上的动点尸满足|PC|+|PO| =472,直线/过D交曲线E于A、B两点.(1)求曲线E的方程：(2)当AC_LAB时，A在x轴上方时，求小8的坐标；(3)当直线/的斜率为2时，求三角形C4B的面积.【分析】(1
4、)利用椭圆的定义确定点P的轨迹是椭圆，然后利用待定系数法求解椭圆的 方程即可；(2)设人(期，yo) ()x)0),利用向审垂直的坐标表示列式得到xo,和的关系式，结合 点A在椭圆上，求出点A的坐标，然后求出直线AB的方程，与椭圆方程联立，求出点8 的坐标即可；(3)求出直线/的方程，与椭圆方程联立，得到韦达定理，利用弦长公式求出|AB|,由 点到直线的距离公式求解点。到直线/的距离，然后由三角形的面积公式求解即可.【解答】解：(1)因为|PC|+|PD|=4四|CD| =4,则点的轨迹是以C 。为左右焦点的椭圆，%2 y2设椭圆的标准方程为-7 4- - = l(ab 0),则a = 2无，
5、c = 2,所以 b = Va2 c2 = 2,42 y2故曲线E的方程为7 + = 1；84(2)设4 (xo, yo) (yoO),则血-+ 为-=1,84又力。=(-2 -y0), AD = (2 -x0, -%)，因为ACLLAB,且点4, B, D在同一条直线/上，所以ACLA。，故力C AD = (-2 - x0)(2 - %o) + 7o2 = 与2 4-y02 - 4 = 0,（Xq2 yQ2号 + -=1,解得 y02=4,XO2 +yQ2-4 = 0因为）X）。，则 yo=2,代入To? +为2 - 4 = 0中，可得刈=0,所以点A的坐标为（0, 2）,因为 4 （0,
6、2）, D （2, 0）,X V所以直线AB的方程为；+ = 1,化+且=1联立方程组厅J ,解得 川=1故点B的坐标为亭一金：（3）由题意可知，直线/的方程为y=2 （x-2）,即2x-y-4=0,N y2联立方程组9+彳=1,解得9-32x+24=0,2x - y - 4 = 0则4 = 322 - 4X9X24= 1600,设 A （XI VI）, B （.12, V2），则与+ M =等，XjX2则与+ M =等，XjX28-3故|48| = V1 + 22 , V（xi +x2）2 -4xi%2 = V5 x J（等4 一 孥=又点C到直线/的距离为d= |2；（-2）一0二4| 二
7、竿，所以Smbc另1 20/2 8/5= 2X-9-X 16/10-9-【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，椭圆定义的应用以及椭圆标准方程的求解， 弦长公式的应用，直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题 时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究， 属于中档题.3.已知双曲线1的左、右顶点分别为A、B,曲线C是以A、8为短轴的两端点且离心率为W的椭圆，设点尸在第一象限且在双曲线上，直线AP与椭圆相交于另一点T. 2(1)求曲线C的方程；(2)设点P、7的横坐标分别为XI, X2，证明：X1X2=1：(3)设mB与尸OB (其中0为坐标原
8、点)的面积分别为Si与S2,且易而4 10,求贷-S次的取值范围.y2 久2【分析】(1)设椭圆的方程为= + 77 = 1, ab0,依题意可得A (-1,0), B (I, az bzzx0),推出 =1,又椭圆的离心率为77,解得。2,即可得出答案.2(2)设点尸(月，yi), TCx2, yz) (xz0, 70, i=l, 2),直线 AP 的斜至为 & (k0), 则直线人尸的方程为y=* (x+l),联立椭圆的方程，解得北，同理可得= ，进而 可得 X-X2=1.(3)由(2)易=(一1 一%1，-yj,前二(一1 一%2，一丫2)，由易而工 1，得1 Vxt b0, a2 b2
9、依题意可得A ( - 1, 0), B (1, 0),所以 =1,V3因为椭圆的离心率为女，所以e2=今=, 即 J=4,y2 9所以椭圆方程为 + / = 1.4(2)证明：设点尸(不，)，1), 7(x2,月)(x/0, 70, /=!, 2),直线AP的斜至为k (&0),则直线AP的方程为y=A (x+1),联立方程组联立方程组y = /c(x + 1)/ + 4 = 14整理，得(4+必)/+2&+炉-4=0,解得x=7： =益, 所以必=袋，同理可得，巧=，所以巾X2=l.（3）由（2） P4 = （-1-%i，-%）, 尸8 = （-1-2，一丫2），因为易而10,所以（-1 %
10、i）（l 无 1） + yf 10,即 +比 11,因为点P在双曲线上，则与一 4=1,所以埒+4xJ - 4 W 11,即*43,因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以IV/ V3,因为另=刍4团 |力1 = 1%1，52 =刍。8| |%| = |九|，所以肾一 S；=资一打孑=（4 一 4好）一（/一 1） = 5 -好一 4后.由（2）知，XI X2= 1，即2 = 4，X1设亡=*,则 1V/W3,则贷一 S/ = 5-t-%44设/（1） =5-/-j=5- （r+p W54=l,当且仅当t = %即/=2时取等号，所以函数/（，）在（1, 2）上单调递增，在（2, 3上单调递减.因为f=5 - 3=，/（I） = 0,所以/（I）/（3）,所以货-S/的取值范围为（0, 1.【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力, 属于中档题.