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1、高一年级数学科学案 使用日期： 编号：056.2.1 向量的数量积第1课时【学习目标】1. 了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义2. 体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质，并能运用性质进行相关的判断和运算3. 体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力发展学生从特殊到一般的能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯【教学重难点】教学重点：平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角教学难点：平面向量数量积定义的理解，平面向量数量积的性质【学习过程】导入新课：创设情境，引发思考 【实际情境】观察小车的运动，讨论功的
2、计算公式提问：（1）力对小车有没有做功？能不能用初中所学的W=FS，为什么？（2）如何解决力不在位移方向时功的计算？分别考虑力F的两个分力做功的情况？（3）力F在位移方向的分力是什么？功的计算公式是什么？【合作探究 深度学习】学习目标一：向量数量积概念的形成1.1物理背景：如上图，物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功.其中，力是向量，位移是向量，功是数量，q 是.1.2类比物理背景，形成概念两向量的夹角1.定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作a，b，则AOB(0)叫做向量a与b的夹角注意：当0时，向量a与b ；当时，向量a与b ，记作ab；当时，向量a与b 注意：只有两个
3、向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，BAC不是向量与的夹角作，则BAD才是向量与的夹角向量的数量积已知两个 向量a与b，我们把数量|a|b|cos叫做向量a与b的 (或 )，记作ab，即ab|a|b|cos(为a，b的夹角)规定：零向量与任一向量的数量积为 .注意：(1)“”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“”；(2)数量积的结果为数量，不再是向量；(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角决定：当是锐角时，数量积为正；当是钝角时，数量积为负；当是直角时，数量积等于零归纳总结：已知两个非零向量与，它们的夹角为q，我们把称为与的数量积（或内积），记作，即=规定：=，对
4、比向量的线性运算发现，线性运算的结果是向量，而数量积的运算结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量与模的大小有关，还和它们的夹角有关自主检测1已知当与的夹角则为（ ）A.10B.-10C.20D.-20自主检测2已知，则与的夹角为（）A. B. C. D. 学习目标二：向量的投影若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为，则向量a在向量b上的投影向量为|a|cos e.当0时，投影向量为 ；当时，投影向量为 ；当时，投影向量为 .小结：对于任意的，都有.自主检测3已知，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影的数量等于（ ）A.1B.-1C. D. 自主检测4 若向量为单位向量，向量，8，则向
5、量在向量上的投影的数量等于（ ）A.1B.-1C. 2D. -2学习目标三：向量数量积的性质从上面的探究我们看到，两个非零向量与相互平行或垂直时，向量在向量上的投影向量具有特殊性，这时，它们的数量积又有怎样的特殊性?小结：由向量数量积的定义，可以得到如下重要性质：设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则（1）.（2）.（3）当与同向时，；当与反向时，.特别地，或.（4）此外，由还可以得到.自主检测5在中，当时，则的形状为（）A.直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形学习目标四：自主提升 巩固练习自主检测6已知中，则 自主检测7已知，则向量在方向上的投影为_班级： 姓名： 考号： 计分：题次1234567答案自主检测8已知向量与的夹角为，分别求在下列条件下的：（1）；（2）；（3）课堂检测：1下列各式中正确的是（ ）A0a=0 B0a=0 C0a=0 D0a=02已知e为单位向量，|a|=4，a与e夹角为 ，则a在e方向上的投影向量为 3已知|a|=3，|b|=8，则： （1）当ab=0时，a与b的关系为 （2）当ab=24时，a与b的关系为 （3）当ab=-12 时，a与b的夹角为 第 3 页 共 3 页学科网（北京）股份有限公司